Theorem logneg2 26579

Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i · π less than the original. (Compare logneg 26552.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Proof of Theorem logneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11615	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15115	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11097	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
12		picn 26422	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11152	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
14		efsub 16067	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
15	10, 13, 14	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
16		eflog 26540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	8, 16	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
18		efipi 26437	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · π)) = -1)
20	17, 19	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))) = (𝐴 / -1))
21		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
23		divneg2 11879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
24	21, 22, 23	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
25		div1 11844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
26	25	negeqd 11387	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = -𝐴)
27	24, 26	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / -1) = -𝐴)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / -1) = -𝐴)
29	15, 20, 28	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = -𝐴)
30	29	fveq2d 6845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = (log‘-𝐴))
31		subcl 11392	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
32	10, 13, 31	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
33		argimgt0 26576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
34		eliooord 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
37		imcl 15073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
39		pire 26421	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
40	39	renegcli 11455	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
42	38, 40, 41	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
43	36, 42	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π))
44	38	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		negsub 11442	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
46	44, 12, 45	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
47	43, 46	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
48		imsub 15097	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
49	10, 13, 48	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
50		reim 15071	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
51	12, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
52		rere 15084	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
53	39, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = π
54	51, 53	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
55	54	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π)
56	49, 55	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
57	47, 56	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))))
58		resubcl 11458	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
59	38, 39, 58	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
60	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
61		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 26423	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63	61, 39, 62	ltleii 11269	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ π
64		subge02 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
65	38, 39, 64	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
66	63, 65	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
67		logimcl 26533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
68	8, 67	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
69	68	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
70	59, 38, 60, 66, 69	letrd 11303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ π)
71	56, 70	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π)
72		ellogrn 26523	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π))
73	32, 57, 71, 72	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log)
74		logef 26545	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
75	73, 74	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
76	30, 75	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  (,)cioo 13298  ℜcre 15059  ℑcim 15060  expce 16026  πcpi 16031  logclog 26518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26879