Theorem logneg2 25200

Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i · π less than the original. (Compare logneg 25173.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Proof of Theorem logneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 14472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11107	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 14514	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 3050	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 25154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11		ax-icn 10598	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
12		picn 25047	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 10650	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
14		efsub 15455	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
15	10, 13, 14	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
16		eflog 25162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	8, 16	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
18		efipi 25061	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · π)) = -1)
20	17, 19	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))) = (𝐴 / -1))
21		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 10608	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
23		divneg2 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
24	21, 22, 23	mp3an23 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
25		div1 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
26	25	negeqd 10882	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = -𝐴)
27	24, 26	eqtr3d 2860	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / -1) = -𝐴)
28	27	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / -1) = -𝐴)
29	15, 20, 28	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = -𝐴)
30	29	fveq2d 6676	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = (log‘-𝐴))
31		subcl 10887	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
32	10, 13, 31	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
33		argimgt0 25197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
34		eliooord 12799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
36	35	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
37		imcl 14472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
39		pire 25046	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
40	39	renegcli 10949	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
42	38, 40, 41	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
43	36, 42	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π))
44	38	recnd 10671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		negsub 10936	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
46	44, 12, 45	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
47	43, 46	breqtrd 5094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
48		imsub 14496	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
49	10, 13, 48	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
50		reim 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
51	12, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
52		rere 14483	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
53	39, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = π
54	51, 53	eqtr3i 2848	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
55	54	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π)
56	49, 55	syl6eq 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
57	47, 56	breqtrrd 5096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))))
58		resubcl 10952	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
59	38, 39, 58	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
60	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
61		0re 10645	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 25048	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63	61, 39, 62	ltleii 10765	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ π
64		subge02 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
65	38, 39, 64	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
66	63, 65	mpbii 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
67		logimcl 25155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
68	8, 67	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
69	68	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
70	59, 38, 60, 66, 69	letrd 10799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ π)
71	56, 70	eqbrtrd 5090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π)
72		ellogrn 25145	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π))
73	32, 57, 71, 72	syl3anbrc 1339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log)
74		logef 25167	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
75	73, 74	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
76	30, 75	eqtr3d 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ran crn 5558  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  (,)cioo 12741  ℜcre 14458  ℑcim 14459  expce 15417  πcpi 15422  logclog 25140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  25495