MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logneg2 25986
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i ยท ฯ€ less than the original. (Compare logneg 25959.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜-๐ด) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 15002 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11625 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0)
31, 2sylan 581 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0)
4 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜0))
5 im0 15044 . . . . . . . . 9 (โ„‘โ€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = 0)
76necon3i 2973 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0 โ†’ ๐ด โ‰  0)
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 logcl 25940 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9syldan 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11115 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
12 picn 25832 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„‚
1311, 12mulcli 11167 . . . . 5 (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
14 efsub 15987 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
1510, 13, 14sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
16 eflog 25948 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
178, 16syldan 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
18 efipi 25846 . . . . . 6 (expโ€˜(i ยท ฯ€)) = -1
1918a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท ฯ€)) = -1)
2017, 19oveq12d 7376 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))) = (๐ด / -1))
21 ax-1cn 11114 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
22 ax-1ne0 11125 . . . . . . 7 1 โ‰  0
23 divneg2 11884 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(๐ด / 1) = (๐ด / -1))
2421, 22, 23mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ด / 1) = (๐ด / -1))
25 div1 11849 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
2625negeqd 11400 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ด / 1) = -๐ด)
2724, 26eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / -1) = -๐ด)
2827adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / -1) = -๐ด)
2915, 20, 283eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = -๐ด)
3029fveq2d 6847 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = (logโ€˜-๐ด))
31 subcl 11405 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
3210, 13, 31sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
33 argimgt0 25983 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (0(,)ฯ€))
34 eliooord 13329 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (0(,)ฯ€) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ฯ€))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ฯ€))
3635simpld 496 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
37 imcl 15002 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3810, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
39 pire 25831 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„
4039renegcli 11467 . . . . . . . 8 -ฯ€ โˆˆ โ„
41 ltaddpos2 11651 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†” -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€)))
4238, 40, 41sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†” -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€)))
4336, 42mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€))
4438recnd 11188 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
45 negsub 11454 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
4644, 12, 45sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
4743, 46breqtrd 5132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
48 imsub 15026 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))))
4910, 13, 48sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))))
50 reim 15000 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜ฯ€) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)))
5112, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜ฯ€) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))
52 rere 15013 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜ฯ€) = ฯ€)
5339, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜ฯ€) = ฯ€
5451, 53eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)) = ฯ€
5554oveq2i 7369 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€)
5649, 55eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
5747, 56breqtrrd 5134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))))
58 resubcl 11470 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โˆˆ โ„)
5938, 39, 58sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โˆˆ โ„)
6039a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
61 0re 11162 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
62 pipos 25833 . . . . . . . 8 0 < ฯ€
6361, 39, 62ltleii 11283 . . . . . . 7 0 โ‰ค ฯ€
64 subge02 11676 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ฯ€ โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6538, 39, 64sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค ฯ€ โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6663, 65mpbii 232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
67 logimcl 25941 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
688, 67syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
6968simprd 497 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
7059, 38, 60, 66, 69letrd 11317 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค ฯ€)
7156, 70eqbrtrd 5128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โ‰ค ฯ€)
72 ellogrn 25931 . . . 4 (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โ‰ค ฯ€))
7332, 57, 71, 72syl3anbrc 1344 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log)
74 logef 25953 . . 3 (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
7573, 74syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
7630, 75eqtr3d 2775 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜-๐ด) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  (,)cioo 13270  โ„œcre 14988  โ„‘cim 14989  expce 15949  ฯ€cpi 15954  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26281
  Copyright terms: Public domain W3C validator