MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logneg2 26123
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i ยท ฯ€ less than the original. (Compare logneg 26096.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜-๐ด) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 15058 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11679 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0)
31, 2sylan 581 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0)
4 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜0))
5 im0 15100 . . . . . . . . 9 (โ„‘โ€˜0) = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = 0)
76necon3i 2974 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โ‰  0 โ†’ ๐ด โ‰  0)
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 logcl 26077 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9syldan 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11169 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
12 picn 25969 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„‚
1311, 12mulcli 11221 . . . . 5 (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
14 efsub 16043 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
1510, 13, 14sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
16 eflog 26085 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
178, 16syldan 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
18 efipi 25983 . . . . . 6 (expโ€˜(i ยท ฯ€)) = -1
1918a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท ฯ€)) = -1)
2017, 19oveq12d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))) = (๐ด / -1))
21 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
22 ax-1ne0 11179 . . . . . . 7 1 โ‰  0
23 divneg2 11938 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(๐ด / 1) = (๐ด / -1))
2421, 22, 23mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ด / 1) = (๐ด / -1))
25 div1 11903 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
2625negeqd 11454 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(๐ด / 1) = -๐ด)
2724, 26eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / -1) = -๐ด)
2827adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / -1) = -๐ด)
2915, 20, 283eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = -๐ด)
3029fveq2d 6896 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = (logโ€˜-๐ด))
31 subcl 11459 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
3210, 13, 31sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
33 argimgt0 26120 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (0(,)ฯ€))
34 eliooord 13383 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (0(,)ฯ€) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ฯ€))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ฯ€))
3635simpld 496 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
37 imcl 15058 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3810, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
39 pire 25968 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„
4039renegcli 11521 . . . . . . . 8 -ฯ€ โˆˆ โ„
41 ltaddpos2 11705 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†” -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€)))
4238, 40, 41sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†” -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€)))
4336, 42mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€))
4438recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
45 negsub 11508 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
4644, 12, 45sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + -ฯ€) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
4743, 46breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
48 imsub 15082 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))))
4910, 13, 48sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))))
50 reim 15056 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜ฯ€) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)))
5112, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜ฯ€) = (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))
52 rere 15069 . . . . . . . . 9 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜ฯ€) = ฯ€)
5339, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜ฯ€) = ฯ€
5451, 53eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€)) = ฯ€
5554oveq2i 7420 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ (โ„‘โ€˜(i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€)
5649, 55eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€))
5747, 56breqtrrd 5177 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))))
58 resubcl 11524 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โˆˆ โ„)
5938, 39, 58sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โˆˆ โ„)
6039a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
61 0re 11216 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
62 pipos 25970 . . . . . . . 8 0 < ฯ€
6361, 39, 62ltleii 11337 . . . . . . 7 0 โ‰ค ฯ€
64 subge02 11730 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ฯ€ โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6538, 39, 64sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค ฯ€ โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6663, 65mpbii 232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
67 logimcl 26078 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
688, 67syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
6968simprd 497 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
7059, 38, 60, 66, 69letrd 11371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฯ€) โ‰ค ฯ€)
7156, 70eqbrtrd 5171 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โ‰ค ฯ€)
72 ellogrn 26068 . . . 4 (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€))) โ‰ค ฯ€))
7332, 57, 71, 72syl3anbrc 1344 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log)
74 logef 26090 . . 3 (((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ ran log โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
7573, 74syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
7630, 75eqtr3d 2775 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 < (โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜-๐ด) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท ฯ€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  (,)cioo 13324  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045  expce 16005  ฯ€cpi 16010  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26420
  Copyright terms: Public domain W3C validator