Theorem logneg2 26584

Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i · π less than the original. (Compare logneg 26557.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Proof of Theorem logneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15080	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11089	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
12		picn 26427	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
14		efsub 16029	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
15	10, 13, 14	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
16		eflog 26545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	8, 16	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
18		efipi 26442	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · π)) = -1)
20	17, 19	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))) = (𝐴 / -1))
21		ax-1cn 11088	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11099	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
23		divneg2 11869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
24	21, 22, 23	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
25		div1 11835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
26	25	negeqd 11378	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = -𝐴)
27	24, 26	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / -1) = -𝐴)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / -1) = -𝐴)
29	15, 20, 28	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = -𝐴)
30	29	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = (log‘-𝐴))
31		subcl 11383	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
32	10, 13, 31	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
33		argimgt0 26581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
34		eliooord 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
37		imcl 15038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
39		pire 26426	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
40	39	renegcli 11446	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11632	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
42	38, 40, 41	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
43	36, 42	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π))
44	38	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		negsub 11433	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
46	44, 12, 45	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
47	43, 46	breqtrd 5125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
48		imsub 15062	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
49	10, 13, 48	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
50		reim 15036	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
51	12, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
52		rere 15049	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
53	39, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = π
54	51, 53	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
55	54	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π)
56	49, 55	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
57	47, 56	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))))
58		resubcl 11449	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
59	38, 39, 58	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
60	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
61		0re 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 26428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63	61, 39, 62	ltleii 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ π
64		subge02 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
65	38, 39, 64	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
66	63, 65	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
67		logimcl 26538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
68	8, 67	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
69	68	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
70	59, 38, 60, 66, 69	letrd 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ π)
71	56, 70	eqbrtrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π)
72		ellogrn 26528	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π))
73	32, 57, 71, 72	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log)
74		logef 26550	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
75	73, 74	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
76	30, 75	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  (,)cioo 13265  ℜcre 15024  ℑcim 15025  expce 15988  πcpi 15993  logclog 26523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26885