MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logneg2 25114
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i · π less than the original. (Compare logneg 25087.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 14460 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2 gt0ne0 11094 . . . . . . . 8 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
31, 2sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5 im0 14502 . . . . . . . . 9 (ℑ‘0) = 0
64, 5syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
76necon3i 3053 . . . . . . 7 ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9 logcl 25068 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
108, 9syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11 ax-icn 10585 . . . . . 6 i ∈ ℂ
12 picn 24963 . . . . . 6 π ∈ ℂ
1311, 12mulcli 10637 . . . . 5 (i · π) ∈ ℂ
14 efsub 15443 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
1510, 13, 14sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
16 eflog 25076 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
178, 16syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
18 efipi 24977 . . . . . 6 (exp‘(i · π)) = -1
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · π)) = -1)
2017, 19oveq12d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))) = (𝐴 / -1))
21 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
22 ax-1ne0 10595 . . . . . . 7 1 ≠ 0
23 divneg2 11353 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
2421, 22, 23mp3an23 1446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
25 div1 11318 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
2625negeqd 10869 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = -𝐴)
2724, 26eqtr3d 2863 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / -1) = -𝐴)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / -1) = -𝐴)
2915, 20, 283eqtrd 2865 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = -𝐴)
3029fveq2d 6671 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = (log‘-𝐴))
31 subcl 10874 . . . . 5 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
3210, 13, 31sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
33 argimgt0 25111 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
34 eliooord 12786 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
3635simpld 495 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
37 imcl 14460 . . . . . . . . 9 ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3810, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
39 pire 24962 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
4039renegcli 10936 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
41 ltaddpos2 11120 . . . . . . . 8 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
4238, 40, 41sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
4336, 42mpbid 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π))
4438recnd 10658 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
45 negsub 10923 . . . . . . 7 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
4644, 12, 45sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
4743, 46breqtrd 5089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
48 imsub 14484 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
4910, 13, 48sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
50 reim 14458 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
5112, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
52 rere 14471 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
5339, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℜ‘π) = π
5451, 53eqtr3i 2851 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · π)) = π
5554oveq2i 7159 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π)
5649, 55syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
5747, 56breqtrrd 5091 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))))
58 resubcl 10939 . . . . . . 7 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
5938, 39, 58sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
6039a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
61 0re 10632 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
62 pipos 24964 . . . . . . . 8 0 < π
6361, 39, 62ltleii 10752 . . . . . . 7 0 ≤ π
64 subge02 11145 . . . . . . . 8 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
6538, 39, 64sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
6663, 65mpbii 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
67 logimcl 25069 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
688, 67syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
6968simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
7059, 38, 60, 66, 69letrd 10786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ π)
7156, 70eqbrtrd 5085 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π)
72 ellogrn 25059 . . . 4 (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π))
7332, 57, 71, 72syl3anbrc 1337 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log)
74 logef 25081 . . 3 (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
7573, 74syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
7630, 75eqtr3d 2863 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  ran crn 5555  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  (,)cioo 12728  cre 14446  cim 14447  expce 15405  πcpi 15410  logclog 25054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-log 25056
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  25409
  Copyright terms: Public domain W3C validator