Theorem logneg2 26114

Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is i · π less than the original. (Compare logneg 26087.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Proof of Theorem logneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
4		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
5		im0 15096	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
7	6	necon3i 2973	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
9		logcl 26068	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11165	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
12		picn 25960	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
13	11, 12	mulcli 11217	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
14		efsub 16039	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
15	10, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))))
16		eflog 26076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	8, 16	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
18		efipi 25974	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘(i · π)) = -1)
20	17, 19	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(i · π))) = (𝐴 / -1))
21		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11175	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
23		divneg2 11934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
24	21, 22, 23	mp3an23 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = (𝐴 / -1))
25		div1 11899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
26	25	negeqd 11450	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 1) = -𝐴)
27	24, 26	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / -1) = -𝐴)
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (𝐴 / -1) = -𝐴)
29	15, 20, 28	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) − (i · π))) = -𝐴)
30	29	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = (log‘-𝐴))
31		subcl 11455	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
32	10, 13, 31	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ)
33		argimgt0 26111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
34		eliooord 13379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
36	35	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
37		imcl 15054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
39		pire 25959	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
40	39	renegcli 11517	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11701	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
42	38, 40, 41	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π)))
43	36, 42	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π))
44	38	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		negsub 11504	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
46	44, 12, 45	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + -π) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
47	43, 46	breqtrd 5173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
48		imsub 15078	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
49	10, 13, 48	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))))
50		reim 15052	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
51	12, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
52		rere 15065	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
53	39, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘π) = π
54	51, 53	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · π)) = π
55	54	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π)
56	49, 55	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π))
57	47, 56	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))))
58		resubcl 11520	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
59	38, 39, 58	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ∈ ℝ)
60	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
61		0re 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
62		pipos 25961	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
63	61, 39, 62	ltleii 11333	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ π
64		subge02 11726	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
65	38, 39, 64	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 ≤ π ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
66	63, 65	mpbii 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
67		logimcl 26069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
68	8, 67	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
69	68	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
70	59, 38, 60, 66, 69	letrd 11367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) − π) ≤ π)
71	56, 70	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π)
72		ellogrn 26059	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) − (i · π))) ≤ π))
73	32, 57, 71, 72	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log)
74		logef 26081	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) − (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
75	73, 74	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (i · π)))) = ((log‘𝐴) − (i · π)))
76	30, 75	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) − (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  (,)cioo 13320  ℜcre 15040  ℑcim 15041  expce 16001  πcpi 16006  logclog 26054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26409