Theorem cdlemk53 41333

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 7, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk53	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk53

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp211 1313	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp212 1314	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4	2, 3	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5		simp22 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
6		simp213 1315	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp23 1210	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp1r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
9		cdlemk5.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		cdlemk5.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		cdlemk5.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		cdlemk5.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		cdlemk5.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14		cdlemk5.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		cdlemk5.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		cdlemk5.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17		cdlemk5.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
18		cdlemk5.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
19		cdlemk5.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
20	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	cdlemk35s-id 41314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
21	1, 4, 5, 6, 7, 8, 20	syl132anc 1391	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
22	9, 14, 15	ltrn1o 40500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
23	1, 21, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵)
24		f1of 6782	. . . . 5 ⊢ (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋:𝐵⟶𝐵)
25		fcoi1 6716	. . . . 5 ⊢ (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋:𝐵⟶𝐵 → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)
28		simpl1l 1226	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
29	2, 6, 8	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
31		simpl23 1255	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))
33	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	cdlemkid 41312	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))) → ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
34	28, 30, 31, 32, 33	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
35	34	coeq2d 5819	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋) = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
36	32	coeq2d 5819	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ 𝐼) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
37	9, 14, 15	ltrn1o 40500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
38	1, 5, 37	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
39		f1of 6782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐵⟶𝐵)
40		fcoi1 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
43	36, 42	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ 𝐼) = 𝐺)
44	43	csbeq1d 3855	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋)
45	27, 35, 44	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
46		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
47		simpl2 1194	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)))
48		simpl3l 1230	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑇)
49		simpr 484	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
50		simpl3r 1231	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))
51	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	cdlemk53b 41332	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
52	46, 47, 48, 49, 50, 51	syl113anc 1385	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))
53	45, 52	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐼))) → ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / 𝑔⦌𝑋 = (⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∘ ⦋𝐼 / 𝑔⦌𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3851   class class class wbr 5100   I cid 5526  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360  LTrncltrn 40477  trLctrl 40534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-undef 8225  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535

This theorem is referenced by:  cdlemk54  41334  cdlemk55  41337