Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk53 36732
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 7, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk53 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk53
StepHypRef Expression
1 simp1l 1247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp211 1403 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹𝑇)
3 simp212 1404 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
42, 3jca 503 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp22 1257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺𝑇)
6 simp213 1405 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑁𝑇)
7 simp23 1258 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp1r 1248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
9 cdlemk5.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 cdlemk5.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 cdlemk5.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 cdlemk5.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
13 cdlemk5.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk5.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk5.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
209, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s-id 36713 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐺𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
211, 4, 5, 6, 7, 8, 20syl132anc 1500 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
229, 14, 15ltrn1o 35898 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → 𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
231, 21, 22syl2anc 575 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
24 f1of 6347 . . . . 5 (𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵)
25 fcoi1 6287 . . . . 5 (𝐺 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵 → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
2623, 24, 253syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
2726adantr 468 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺 / 𝑔𝑋)
28 simpl1l 1286 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
292, 6, 83jca 1151 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3029adantr 468 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
31 simpl23 1332 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
32 simpr 473 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))
339, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemkid 36711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3428, 30, 31, 32, 33syl112anc 1486 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3534coeq2d 5480 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) = (𝐺 / 𝑔𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
3632coeq2d 5480 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
379, 14, 15ltrn1o 35898 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
381, 5, 37syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
39 f1of 6347 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
40 fcoi1 6287 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4241adantr 468 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
4336, 42eqtrd 2836 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = 𝐺)
4443csbeq1d 3729 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = 𝐺 / 𝑔𝑋)
4527, 35, 443eqtr4rd 2847 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
46 simpl1 1235 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
47 simpl2 1237 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)))
48 simpl3l 1294 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼𝑇)
49 simpr 473 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
50 simpl3r 1296 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))
519, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk53b 36731 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5246, 47, 48, 49, 50, 51syl113anc 1494 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5345, 52pm2.61dane 3061 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇 ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  csb 3722   class class class wbr 4837   I cid 5212  ccnv 5304  cres 5307  ccom 5309  wf 6091  1-1-ontowf1o 6094  cfv 6095  crio 6828  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  lecple 16154  joincjn 17143  meetcmee 17144  Atomscatm 35037  HLchlt 35124  LHypclh 35758  LTrncltrn 35875  trLctrl 35933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-riotaBAD 34726
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-undef 7628  df-map 8088  df-proset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-oposet 34950  df-ol 34952  df-oml 34953  df-covers 35040  df-ats 35041  df-atl 35072  df-cvlat 35096  df-hlat 35125  df-llines 35272  df-lplanes 35273  df-lvols 35274  df-lines 35275  df-psubsp 35277  df-pmap 35278  df-padd 35570  df-lhyp 35762  df-laut 35763  df-ldil 35878  df-ltrn 35879  df-trl 35934
This theorem is referenced by:  cdlemk54  36733  cdlemk55  36736
  Copyright terms: Public domain W3C validator