MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpwwe2lem10 10584
Description: Lemma for fpwwe2 10587. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
fpwwe2.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
fpwwe2.4 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑒,π‘Ÿ,π‘₯,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘Ÿ,π‘₯   π‘Š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑒,π‘Ÿ)

Proof of Theorem fpwwe2lem10
Dummy variables 𝑠 𝑑 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . 6 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
21relopabiv 5780 . . . . 5 Rel π‘Š
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel π‘Š)
4 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))
5 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
61, 5fpwwe2lem2 10576 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘‘ ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)) ∧ (𝑑 We 𝑀 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 [(◑𝑑 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑑 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
76simprbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)))
87simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
98adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
11 df-ss 3931 . . . . . . . . . 10 (𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀) ↔ (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑑)
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑑)
134, 12eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = 𝑑)
14 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))
151, 5fpwwe2lem2 10576 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)) ∧ (𝑠 We 𝑀 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 [(◑𝑠 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑠 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
1615simprbda 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)))
1716simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
1817adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
20 df-ss 3931 . . . . . . . . . 10 (𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀) ↔ (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑠)
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑠)
2214, 21eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = 𝑑)
235adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
24 fpwwe2.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
2524adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
26 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ π‘€π‘Šπ‘ )
27 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ π‘€π‘Šπ‘‘)
281, 23, 25, 26, 27fpwwe2lem9 10583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀))) ∨ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))))
2913, 22, 28mpjaodan 958 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑠 = 𝑑)
3029ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
3130alrimiv 1931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
3231alrimivv 1932 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€βˆ€π‘ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
33 dffun2 6510 . . . 4 (Fun π‘Š ↔ (Rel π‘Š ∧ βˆ€π‘€βˆ€π‘ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑)))
343, 32, 33sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun π‘Š)
3534funfnd 6536 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn dom π‘Š)
36 vex 3451 . . . . 5 𝑠 ∈ V
3736elrn 5853 . . . 4 (𝑠 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘€ π‘€π‘Šπ‘ )
382releldmi 5907 . . . . . . . . . . . 12 (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑀 ∈ dom π‘Š)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 ∈ dom π‘Š)
40 elssuni 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ dom π‘Š β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ dom π‘Š)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ dom π‘Š)
42 fpwwe2.4 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
4341, 42sseqtrrdi 3999 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑋)
44 xpss12 5652 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4543, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4617, 45sstrd 3958 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4746ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
48 velpw 4569 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4947, 48syl6ibr 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5049exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5137, 50biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ran π‘Š β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5251ssrdv 3954 . 2 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
53 df-f 6504 . 2 (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (π‘Š Fn dom π‘Š ∧ ran π‘Š βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5435, 52, 53sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  [wsbc 3743   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  {copab 5171   We wwe 5591   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  (class class class)co 7361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-oi 9454
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem12  10586  fpwwe2  10587
  Copyright terms: Public domain W3C validator