MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpwwe2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fpwwe2lem10 10634
Description: Lemma for fpwwe2 10637. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
fpwwe2.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
fpwwe2.4 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑒,π‘Ÿ,π‘₯,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘Ÿ,π‘₯   π‘Š,π‘Ÿ,𝑒,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑒,π‘Ÿ)
Proof of Theorem fpwwe2lem10
Dummy variables 𝑠 𝑑 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2.1 . . . . . 6 π‘Š = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∧ (π‘Ÿ We π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ [(β—‘π‘Ÿ β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(π‘Ÿ ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))}
21relopabiv 5820 . . . . 5 Rel π‘Š
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel π‘Š)
4 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))
5 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
61, 5fpwwe2lem2 10626 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘‘ ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)) ∧ (𝑑 We 𝑀 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 [(◑𝑑 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑑 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
76simprbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)))
87simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
98adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
11 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑑 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀) ↔ (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑑)
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑑)
134, 12eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = 𝑑)
14 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))
151, 5fpwwe2lem2 10626 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)) ∧ (𝑠 We 𝑀 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑀 [(◑𝑠 β€œ {𝑦}) / 𝑒](𝑒𝐹(𝑠 ∩ (𝑒 Γ— 𝑒))) = 𝑦))))
1615simprbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀)))
1716simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
1817adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀))
20 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 (𝑠 βŠ† (𝑀 Γ— 𝑀) ↔ (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑠)
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = 𝑠)
2214, 21eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))) β†’ 𝑠 = 𝑑)
235adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
24 fpwwe2.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
2524adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯)) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ 𝐴)
26 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ π‘€π‘Šπ‘ )
27 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ π‘€π‘Šπ‘‘)
281, 23, 25, 26, 27fpwwe2lem9 10633 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑠 = (𝑑 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀))) ∨ (𝑀 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑑 = (𝑠 ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))))
2913, 22, 28mpjaodan 957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘)) β†’ 𝑠 = 𝑑)
3029ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
3130alrimiv 1930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
3231alrimivv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€βˆ€π‘ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑))
33 dffun2 6553 . . . 4 (Fun π‘Š ↔ (Rel π‘Š ∧ βˆ€π‘€βˆ€π‘ βˆ€π‘‘((π‘€π‘Šπ‘  ∧ π‘€π‘Šπ‘‘) β†’ 𝑠 = 𝑑)))
343, 32, 33sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun π‘Š)
3534funfnd 6579 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn dom π‘Š)
36 vex 3478 . . . . 5 𝑠 ∈ V
3736elrn 5893 . . . 4 (𝑠 ∈ ran π‘Š ↔ βˆƒπ‘€ π‘€π‘Šπ‘ )
382releldmi 5947 . . . . . . . . . . . 12 (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑀 ∈ dom π‘Š)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 ∈ dom π‘Š)
40 elssuni 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ dom π‘Š β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ dom π‘Š)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ dom π‘Š)
42 fpwwe2.4 . . . . . . . . . 10 𝑋 = βˆͺ dom π‘Š
4341, 42sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑋)
44 xpss12 5691 . . . . . . . . 9 ((𝑀 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4543, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4617, 45sstrd 3992 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘€π‘Šπ‘ ) β†’ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4746ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
48 velpw 4607 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ 𝑠 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
4947, 48syl6ibr 251 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5049exlimdv 1936 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ π‘€π‘Šπ‘  β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5137, 50biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ran π‘Š β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5251ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
53 df-f 6547 . 2 (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (π‘Š Fn dom π‘Š ∧ ran π‘Š βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
5435, 52, 53sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ’« (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  [wsbc 3777   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   We wwe 5630   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-oi 9504
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem12  10636  fpwwe2  10637
  Copyright terms: Public domain W3C validator