Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkdlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkdlem5 27729
 Description: Lemma 5 for 2wlkd 27736. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
2wlkdlem5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem5
StepHypRef Expression
1 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2 2wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4 2wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
52, 3, 42wlkdlem3 27727 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
86, 7neeq12d 3048 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
9 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
107, 9neeq12d 3048 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
118, 10anbi12d 633 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶)))
1211bicomd 226 . . . 4 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
135, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
141, 13mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
152, 32wlkdlem2 27726 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
1615raleqi 3362 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
17 c0ex 10631 . . . 4 0 ∈ V
18 1ex 10633 . . . 4 1 ∈ V
19 fveq2 6650 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
20 fv0p1e1 11755 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
2119, 20neeq12d 3048 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
22 fveq2 6650 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
23 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
24 1p1e2 11757 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
2523, 24eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
2625fveq2d 6654 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
2722, 26neeq12d 3048 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
2817, 18, 21, 27ralpr 4596 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
2916, 28bitri 278 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3014, 29sylibr 237 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {cpr 4527  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  0cc0 10533  1c1 10534   + caddc 10536  2c2 11687  ..^cfzo 13035  ♯chash 13693  ⟨“cs2 14201  ⟨“cs3 14202 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13921  df-s1 13948  df-s2 14208  df-s3 14209 This theorem is referenced by:  2wlkd  27736
 Copyright terms: Public domain W3C validator