MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkdlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkdlem10 28922
Description: Lemma 10 for 3wlkd 29156. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
Assertion
Ref Expression
2wlkdlem10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem10
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 2wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2wlkd.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
4 2wlkd.n . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
5 2wlkd.e . . . 4 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
61, 2, 3, 4, 52wlkdlem9 28921 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
71, 2, 32wlkdlem3 28914 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
8 preq12 4701 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
983adant3 1133 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
109sseq1d 3980 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
11 preq12 4701 . . . . . . 7 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
12113adant1 1131 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1312sseq1d 3980 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
1410, 13anbi12d 632 . . . 4 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)))))
157, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)))))
166, 15mpbird 257 . 2 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
171, 22wlkdlem2 28913 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
1817raleqi 3314 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
19 c0ex 11156 . . . 4 0 ∈ V
20 1ex 11158 . . . 4 1 ∈ V
21 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
22 fv0p1e1 12283 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
2321, 22preq12d 4707 . . . . 5 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
24 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
2523, 24sseq12d 3982 . . . 4 (𝑘 = 0 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
26 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
27 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
28 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
2927, 28eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
3029fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
3126, 30preq12d 4707 . . . . 5 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
32 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘1)))
3331, 32sseq12d 3982 . . . 4 (𝑘 = 1 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
3419, 20, 25, 33ralpr 4666 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
3518, 34bitri 275 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
3616, 35sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wss 3915  {cpr 4593  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  2c2 12215  ..^cfzo 13574  chash 14237  ⟨“cs2 14737  ⟨“cs3 14738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745
This theorem is referenced by:  2wlkd  28923
  Copyright terms: Public domain W3C validator