Theorem 2wlkdlem10 27082

Description: Lemma 10 for 3wlkd 27350. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem9 27081	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
7	1, 2, 3	2wlkdlem3 27074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
8		preq12 4406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
9	8	3adant3 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
10	9	sseq1d 3781	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
11		preq12 4406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
12	11	3adant1 1124	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
13	12	sseq1d 3781	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
14	10, 13	anbi12d 616	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)))))
15	7, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)))))
16	6, 15	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
17	1, 2	2wlkdlem2 27073	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
18	17	raleqi 3291	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
19		c0ex 10236	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
20		1ex 10237	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
21		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
22		oveq1 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
23		0p1e1 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
24	22, 23	syl6eq 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
25	24	fveq2d 6336	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
26	21, 25	preq12d 4412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
27		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
28	27	fveq2d 6336	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
29	26, 28	sseq12d 3783	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
30		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
31		oveq1 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
32		1p1e2 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
33	31, 32	syl6eq 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
34	33	fveq2d 6336	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
35	30, 34	preq12d 4412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
36		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
37	36	fveq2d 6336	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘1)))
38	35, 37	sseq12d 3783	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
39	19, 20, 29, 38	ralpr 4375	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
40	18, 39	bitri 264	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
41	16, 40	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  {cpr 4318  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  2c2 11272  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  ⟨“cs2 13795  ⟨“cs3 13796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803

This theorem is referenced by:  2wlkd  27083