Theorem facgam 27130

Description: The Gamma function generalizes the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
facgam	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facgam

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6867	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2		fv0p1e1 12339	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘1))
3		gam1 27129	. . . 4 ⊢ (Γ‘1) = 1
4	2, 3	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = 1)
5	1, 4	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 0 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘0) = 1))
6		fveq2 6867	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
7		fvoveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘(𝑛 + 1)))
8	6, 7	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1))))
9		fveq2 6867	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
10		fvoveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1))))
12		fveq2 6867	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
13		fvoveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘(𝑁 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1))))
15		fac0 14289	. 2 ⊢ (!‘0) = 1
16		oveq1 7403	. . 3 ⊢ ((!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
17		facp1 14291	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
18		nn0p1nn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
20		eldifn 4085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
21	20, 18	nsyl3 138	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ ∖ ℕ))
22	19, 21	eldifd 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
23		gamp1 27122	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
25	17, 24	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) ↔ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1))))
26	16, 25	imbitrrid 248	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1)) → (!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1))))
27	5, 8, 11, 14, 15, 26	nn0ind 12668	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  !cfa 14286  Γcgam 27081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-tan 16101  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-ulm 26440  df-log 26621  df-cxp 26622  df-lgam 27083  df-gam 27084

This theorem is referenced by:  gamfac  27131