Theorem facgam 25642

Description: The Gamma function generalizes the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
facgam	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facgam

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6669	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2		fv0p1e1 11759	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘1))
3		gam1 25641	. . . 4 ⊢ (Γ‘1) = 1
4	2, 3	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = 1)
5	1, 4	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑥 = 0 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘0) = 1))
6		fveq2 6669	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
7		fvoveq1 7178	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘(𝑛 + 1)))
8	6, 7	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1))))
9		fveq2 6669	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
10		fvoveq1 7178	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1))))
12		fveq2 6669	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
13		fvoveq1 7178	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Γ‘(𝑥 + 1)) = (Γ‘(𝑁 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥) = (Γ‘(𝑥 + 1)) ↔ (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1))))
15		fac0 13635	. 2 ⊢ (!‘0) = 1
16		oveq1 7162	. . 3 ⊢ ((!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
17		facp1 13637	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
18		nn0p1nn 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
19	18	nncnd 11653	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
20		eldifn 4103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℤ ∖ ℕ) → ¬ (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
21	20, 18	nsyl3 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ¬ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ ∖ ℕ))
22	19, 21	eldifd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
23		gamp1 25634	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1)))
25	17, 24	eqeq12d 2837	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1)) ↔ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) = ((Γ‘(𝑛 + 1)) · (𝑛 + 1))))
26	16, 25	syl5ibr 248	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑛) = (Γ‘(𝑛 + 1)) → (!‘(𝑛 + 1)) = (Γ‘((𝑛 + 1) + 1))))
27	5, 8, 11, 14, 15, 26	nn0ind 12076	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) = (Γ‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  !cfa 13632  Γcgam 25593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-tan 15424  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-ulm 24964  df-log 25139  df-cxp 25140  df-lgam 25595  df-gam 25596

This theorem is referenced by:  gamfac  25643