Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval2 34853
Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘ฅโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
subfac.n ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ทโ€˜(1...๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
subfacval2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘   ๐ท,๐‘›   ๐‘†,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘˜)   ๐‘†(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜0))
2 derang.d . . . . . . 7 ๐ท = (๐‘ฅ โˆˆ Fin โ†ฆ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ (๐‘“:๐‘ฅโ€“1-1-ontoโ†’๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰  ๐‘ฆ)}))
3 subfac.n . . . . . . 7 ๐‘† = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ทโ€˜(1...๐‘›)))
42, 3subfac0 34843 . . . . . 6 (๐‘†โ€˜0) = 1
51, 4eqtrdi 2781 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = 1)
6 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜0))
7 fac0 14265 . . . . . . 7 (!โ€˜0) = 1
86, 7eqtrdi 2781 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = 1)
9 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...0))
109sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
118, 10oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
125, 11eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” 1 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
13 fv0p1e1 12363 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (๐‘†โ€˜1))
142, 3subfac1 34844 . . . . . 6 (๐‘†โ€˜1) = 0
1513, 14eqtrdi 2781 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = 0)
16 fv0p1e1 12363 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜1))
17 fac1 14266 . . . . . . 7 (!โ€˜1) = 1
1816, 17eqtrdi 2781 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = 1)
19 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ + 1) = (0 + 1))
20 0p1e1 12362 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
2119, 20eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ + 1) = 1)
2221oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0...(๐‘ฅ + 1)) = (0...1))
2322sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
2418, 23oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
2515, 24eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” 0 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
2612, 25anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†” (1 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง 0 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
27 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘š))
28 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘š))
29 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...๐‘š))
3029sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3128, 30oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
3227, 31eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
33 fvoveq1 7438 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)))
34 fvoveq1 7438 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜(๐‘š + 1)))
35 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐‘ฅ + 1) = (๐‘š + 1))
3635oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (0...(๐‘ฅ + 1)) = (0...(๐‘š + 1)))
3736sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3834, 37oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
3933, 38eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
4032, 39anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
41 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)))
42 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘š + 1)))
43 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...(๐‘š + 1)))
4443sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4542, 44oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
4641, 45eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
47 fvoveq1 7438 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)))
48 fvoveq1 7438 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)))
49 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘ฅ + 1) = ((๐‘š + 1) + 1))
5049oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (0...(๐‘ฅ + 1)) = (0...((๐‘š + 1) + 1)))
5150sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
5248, 51oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
5347, 52eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
5446, 53anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†” ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
55 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘))
56 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
57 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0...๐‘ฅ) = (0...๐‘))
5857sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
5956, 58oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
6055, 59eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
61 fvoveq1 7438 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)))
62 fvoveq1 7438 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = (!โ€˜(๐‘ + 1)))
63 oveq1 7422 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ + 1) = (๐‘ + 1))
6463oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (0...(๐‘ฅ + 1)) = (0...(๐‘ + 1)))
6564sumeq1d 15677 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
6662, 65oveq12d 7433 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
6761, 66eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
6860, 67anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = ((!โ€˜๐‘ฅ) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘ฅ)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ฅ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
69 0z 12597 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
70 ax-1cn 11194 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
71 oveq2 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘0))
72 neg1cn 12354 . . . . . . . . . . . 12 -1 โˆˆ โ„‚
73 exp0 14060 . . . . . . . . . . . 12 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-1โ†‘0) = 1
7571, 74eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = 1)
76 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜0))
7776, 7eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = 1)
7875, 77oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (1 / 1))
7970div1i 11970 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
8078, 79eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1)
8180fsum1 15723 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1)
8269, 70, 81mp2an 690 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1
8382oveq2i 7426 . . . . 5 (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (1 ยท 1)
84 1t1e1 12402 . . . . 5 (1 ยท 1) = 1
8583, 84eqtr2i 2754 . . . 4 1 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
86 nn0uz 12892 . . . . . . . . 9 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
87 1e0p1 12747 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
88 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘1))
89 exp1 14062 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘1) = -1)
9072, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘1) = -1
9188, 90eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = -1)
92 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜1))
9392, 17eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = 1)
9491, 93oveq12d 7433 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (-1 / 1))
9572div1i 11970 . . . . . . . . . 10 (-1 / 1) = -1
9694, 95eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = -1)
97 neg1rr 12355 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โˆˆ โ„
98 reexpcl 14073 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
9997, 98mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
100 faccl 14272 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
10199, 100nndivred 12294 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
102101recnd 11270 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
103102adantl 480 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
104 0nn0 12515 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„•0
105104, 82pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1)
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ (0 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 1))
107 1pneg1e0 12359 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ (1 + -1) = 0)
10986, 87, 96, 103, 106, 108fsump1i 15745 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ (1 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 0))
110109mptru 1540 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 0)
111110simpri 484 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = 0
112111oveq2i 7426 . . . . 5 (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (1 ยท 0)
11370mul01i 11432 . . . . 5 (1 ยท 0) = 0
114112, 113eqtr2i 2754 . . . 4 0 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11585, 114pm3.2i 469 . . 3 (1 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง 0 = (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
116 simpr 483 . . . . 5 (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
117116a1i 11 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
118 oveq12 7424 . . . . . . 7 (((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š)) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
119118ancoms 457 . . . . . 6 (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š)) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
120119oveq2d 7431 . . . . 5 (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š))) = ((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
121 nn0p1nn 12539 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•)
1222, 3subfacp1 34852 . . . . . . . 8 ((๐‘š + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) โˆ’ 1)))))
123121, 122syl 17 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) โˆ’ 1)))))
124 nn0cn 12510 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
125 pncan 11494 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š + 1) โˆ’ 1) = ๐‘š)
126124, 70, 125sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) โˆ’ 1) = ๐‘š)
127126fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) โˆ’ 1)) = (๐‘†โ€˜๐‘š))
128127oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) โˆ’ 1))) = ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š)))
129128oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) โˆ’ 1)))) = ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š))))
130123, 129eqtrd 2765 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š))))
131 peano2nn0 12540 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0)
132 peano2nn0 12540 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„•0)
134 faccl 14272 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„•)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„•)
136135nncnd 12256 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
137 fzfid 13968 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘š + 1)) โˆˆ Fin)
138 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
139138adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
141137, 140fsumcl 15709 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
142 expcl 14074 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
14372, 133, 142sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
144135nnne0d 12290 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) โ‰  0)
145143, 136, 144divcld 12018 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))) โˆˆ โ„‚)
146136, 141, 145adddid 11266 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))) = (((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))))
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
148147, 86eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
149 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘š + 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)))
150 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘š + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜(๐‘š + 1)))
151149, 150oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘š + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))
152148, 140, 151fsump1 15732 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))))
153152oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))))
154 fzfid 13968 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...๐‘š) โˆˆ Fin)
155 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
156155adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
157156, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
158154, 157fsumcl 15709 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
159 expcl 14074 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โˆˆ โ„‚)
16072, 131, 159sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(๐‘š + 1)) โˆˆ โ„‚)
161 faccl 14272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) โˆˆ โ„•)
162131, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) โˆˆ โ„•)
163162nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) โˆˆ โ„‚)
164162nnne0d 12290 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) โ‰  0)
165160, 163, 164divcld 12018 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))) โˆˆ โ„‚)
166136, 158, 165adddid 11266 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))) = (((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))))
167 facp1 14267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)))
168131, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)))
169 facp1 14267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜๐‘š) ยท (๐‘š + 1)))
170 faccl 14272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
171170nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
172121nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ โ„‚)
173171, 172mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท (๐‘š + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท (!โ€˜๐‘š)))
174169, 173eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘š + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท (!โ€˜๐‘š)))
175174oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) = (((๐‘š + 1) ยท (!โ€˜๐‘š)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)))
176133nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„‚)
177172, 171, 176mulassd 11265 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) ยท (!โ€˜๐‘š)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))))
178168, 175, 1773eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))))
179178oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
180136, 160, 163, 164div12d 12054 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))))
181168oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))
182176, 163, 164divcan3d 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))) = ((๐‘š + 1) + 1))
183181, 182eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))) = ((๐‘š + 1) + 1))
184183oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)))
185180, 184eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)))
186179, 185oveq12d 7433 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))) = ((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1))))
187153, 166, 1863eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1))))
188143, 136, 144divcan2d 12020 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)))) = (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)))
189187, 188oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))) = (((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1))))
190171, 176mulcld 11262 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
191172, 190, 158mulassd 11265 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
19272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
193160, 176, 192adddid 11266 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท (((๐‘š + 1) + 1) + -1)) = (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท -1)))
194 negsub 11536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘š + 1) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘š + 1) + 1) + -1) = (((๐‘š + 1) + 1) โˆ’ 1))
195176, 70, 194sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) + 1) + -1) = (((๐‘š + 1) + 1) โˆ’ 1))
196 pncan 11494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘š + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘š + 1) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘š + 1))
197172, 70, 196sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘š + 1))
198195, 197eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) + 1) + -1) = (๐‘š + 1))
199198oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท (((๐‘š + 1) + 1) + -1)) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท (๐‘š + 1)))
200193, 199eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท -1)) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท (๐‘š + 1)))
201 expp1 14063 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท -1))
20272, 131, 201sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท -1))
203202oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1))) = (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท -1)))
204172, 160mulcomd 11263 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (-1โ†‘(๐‘š + 1))) = ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท (๐‘š + 1)))
205200, 203, 2043eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1))) = ((๐‘š + 1) ยท (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
206191, 205oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)))) = (((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) + ((๐‘š + 1) ยท (-1โ†‘(๐‘š + 1)))))
207172, 190mulcld 11262 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) โˆˆ โ„‚)
208207, 158mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
209160, 176mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) โˆˆ โ„‚)
210208, 209, 143addassd 11264 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1))) = ((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)))))
211190, 158mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
212172, 211, 160adddid 11266 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1)))) = (((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) + ((๐‘š + 1) ยท (-1โ†‘(๐‘š + 1)))))
213206, 210, 2123eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((๐‘š + 1) ยท ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) ยท ((๐‘š + 1) + 1))) + (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1))) = ((๐‘š + 1) ยท ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1)))))
214146, 189, 2133eqtrd 2769 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))) = ((๐‘š + 1) ยท ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1)))))
215131, 86eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
216 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
217216adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
218217, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
219 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ((๐‘š + 1) + 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)))
220 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ((๐‘š + 1) + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)))
221219, 220oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ((๐‘š + 1) + 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))
222215, 218, 221fsump1 15732 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)))))
223222oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘((๐‘š + 1) + 1)) / (!โ€˜((๐‘š + 1) + 1))))))
224163, 158mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
225171, 158mulcld 11262 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
226224, 160, 225add32d 11469 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) = ((((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
227152oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))))
228163, 158, 165adddid 11266 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))))
229160, 163, 164divcan2d 12020 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1)))) = (-1โ†‘(๐‘š + 1)))
230229oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ((-1โ†‘(๐‘š + 1)) / (!โ€˜(๐‘š + 1))))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
231227, 228, 2303eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
232231oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) = ((((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
23370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
234171, 172, 233adddid 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) = (((!โ€˜๐‘š) ยท (๐‘š + 1)) + ((!โ€˜๐‘š) ยท 1)))
235169eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท (๐‘š + 1)) = (!โ€˜(๐‘š + 1)))
236171mulridd 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท 1) = (!โ€˜๐‘š))
237235, 236oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘š) ยท (๐‘š + 1)) + ((!โ€˜๐‘š) ยท 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) + (!โ€˜๐‘š)))
238234, 237eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) + (!โ€˜๐‘š)))
239238oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) + (!โ€˜๐‘š)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
240163, 171, 158adddird 11267 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘š + 1)) + (!โ€˜๐‘š)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
241239, 240eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
242241oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))) = ((((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
243226, 232, 2423eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) = ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1))))
244243oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))) = ((๐‘š + 1) ยท ((((!โ€˜๐‘š) ยท ((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + (-1โ†‘(๐‘š + 1)))))
245214, 223, 2443eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = ((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
246130, 245eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โ†” ((๐‘š + 1) ยท ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) + (๐‘†โ€˜๐‘š))) = ((๐‘š + 1) ยท (((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) + ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))))
247120, 246imbitrrid 245 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
248117, 247jcad 511 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘š) = ((!โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘š + 1)) = ((!โ€˜(๐‘š + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘š + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) = ((!โ€˜((๐‘š + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...((๐‘š + 1) + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))))
24926, 40, 54, 68, 115, 248nn0ind 12685 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))))
250249simpld 493 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051   โ†ฆ cmpt 5226  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  ...cfz 13514  โ†‘cexp 14056  !cfa 14262  โ™ฏchash 14319  ฮฃcsu 15662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  subfaclim  34854
  Copyright terms: Public domain W3C validator