Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval2 31549
Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑘,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
2 derang.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfac0 31539 . . . . . 6 (𝑆‘0) = 1
51, 4syl6eq 2815 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = 1)
6 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
7 fac0 13267 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
86, 7syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = 1)
9 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...𝑥) = (0...0))
109sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
118, 10oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
125, 11eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
13 fv0p1e1 11402 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘1))
142, 3subfac1 31540 . . . . . 6 (𝑆‘1) = 0
1513, 14syl6eq 2815 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = 0)
16 fv0p1e1 11402 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘1))
17 fac1 13268 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1816, 17syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = 1)
19 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
20 0p1e1 11401 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
2119, 20syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
2221oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...1))
2322sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2418, 23oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
2515, 24eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
2612, 25anbi12d 624 . . 3 (𝑥 = 0 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
27 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑚))
28 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘𝑥) = (!‘𝑚))
29 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...𝑥) = (0...𝑚))
3029sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3128, 30oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3227, 31eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
33 fvoveq1 6865 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
34 fvoveq1 6865 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
35 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 + 1) = (𝑚 + 1))
3635oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑚 + 1)))
3736sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3834, 37oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3933, 38eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
4032, 39anbi12d 624 . . 3 (𝑥 = 𝑚 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
41 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
42 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑚 + 1)))
43 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...𝑥) = (0...(𝑚 + 1)))
4443sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4542, 44oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4641, 45eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
47 fvoveq1 6865 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)))
48 fvoveq1 6865 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
49 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑚 + 1) + 1))
5049oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...(𝑥 + 1)) = (0...((𝑚 + 1) + 1)))
5150sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5248, 51oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
5347, 52eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
5446, 53anbi12d 624 . . 3 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
55 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑁))
56 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
57 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...𝑥) = (0...𝑁))
5857sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5956, 58oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6055, 59eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
61 fvoveq1 6865 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑁 + 1)))
62 fvoveq1 6865 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑁 + 1)))
63 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
6463oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6564sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6662, 65oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6761, 66eqeq12d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
6860, 67anbi12d 624 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
69 0z 11635 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
70 ax-1cn 10247 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
71 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
72 neg1cn 11393 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
73 exp0 13071 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-1↑0) = 1
7571, 74syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = 1)
76 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
7776, 7syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
7875, 77oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (1 / 1))
7970div1i 11007 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
8078, 79syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8180fsum1 14763 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8269, 70, 81mp2an 683 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1
8382oveq2i 6853 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 1)
84 1t1e1 11440 . . . . 5 (1 · 1) = 1
8583, 84eqtr2i 2788 . . . 4 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
86 nn0uz 11922 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
87 1e0p1 11783 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
88 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = (-1↑1))
89 exp1 13073 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
9072, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑1) = -1
9188, 90syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = -1)
92 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = (!‘1))
9392, 17syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = 1)
9491, 93oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (-1 / 1))
9572div1i 11007 . . . . . . . . . 10 (-1 / 1) = -1
9694, 95syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = -1)
97 neg1rr 11394 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℝ
98 reexpcl 13084 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
9997, 98mpan 681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
100 faccl 13274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
10199, 100nndivred 11326 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
102101recnd 10322 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
103102adantl 473 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
104 0nn0 11555 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
105104, 82pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1))
107 1pneg1e0 11398 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1 + -1) = 0)
10986, 87, 96, 103, 106, 108fsump1i 14787 . . . . . . . 8 (⊤ → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0))
110109mptru 1660 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0)
111110simpri 479 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0
112111oveq2i 6853 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 0)
11370mul01i 10480 . . . . 5 (1 · 0) = 0
114112, 113eqtr2i 2788 . . . 4 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11585, 114pm3.2i 462 . . 3 (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
116 simpr 477 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
117116a1i 11 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
118 oveq12 6851 . . . . . . 7 (((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
119118ancoms 450 . . . . . 6 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120119oveq2d 6858 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
121 nn0p1nn 11579 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1222, 3subfacp1 31548 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
123121, 122syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
124 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
125 pncan 10541 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
126124, 70, 125sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
127126fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑆𝑚))
128127oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1))) = ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)))
129128oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
130123, 129eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
131 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
132 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
134 faccl 13274 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
136135nncnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
137 fzfid 12980 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...(𝑚 + 1)) ∈ Fin)
138 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139138adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
141137, 140fsumcl 14751 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
142 expcl 13085 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
14372, 133, 142sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
144135nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ≠ 0)
145143, 136, 144divcld 11055 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
146136, 141, 145adddid 10318 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
148147, 86syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ‘0))
149 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑚 + 1)))
150 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑚 + 1)))
151149, 150oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
152148, 140, 151fsump1 14774 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
153152oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
154 fzfid 12980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...𝑚) ∈ Fin)
155 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
157156, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
158154, 157fsumcl 14751 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
159 expcl 13085 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
16072, 131, 159sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
161 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
162131, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ≠ 0)
165160, 163, 164divcld 11055 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
166136, 158, 165adddid 10318 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
167 facp1 13269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
168131, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
169 facp1 13269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
170 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
171170nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
172121nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
173171, 172mulcomd 10315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
174169, 173eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
175174oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
176133nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ)
177172, 171, 176mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
178168, 175, 1773eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
179178oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
180136, 160, 163, 164div12d 11091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
181168oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
182176, 163, 164divcan3d 11060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
183181, 182eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
184183oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
185180, 184eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
186179, 185oveq12d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
187153, 166, 1863eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
188143, 136, 144divcan2d 11057 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
189187, 188oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))))
190171, 176mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
191172, 190, 158mulassd 10317 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
19272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
193160, 176, 192adddid 10318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
194 negsub 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
195176, 70, 194sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
196 pncan 10541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
197172, 70, 196sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
198195, 197eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (𝑚 + 1))
199198oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
200193, 199eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
201 expp1 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
20272, 131, 201sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
203202oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
204172, 160mulcomd 10315 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
205200, 203, 2043eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))))
206191, 205oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
207172, 190mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
208207, 158mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
209160, 176mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
210208, 209, 143addassd 10316 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))))
211190, 158mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
212172, 211, 160adddid 10318 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
213206, 210, 2123eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
214146, 189, 2133eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
215131, 86syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘0))
216 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
217216adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
218217, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
219 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
220 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (!‘𝑘) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
221219, 220oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))
222215, 218, 221fsump1 14774 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))))
223222oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
224163, 158mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
225171, 158mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
226224, 160, 225add32d 10517 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
227152oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
228163, 158, 165adddid 10318 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
229160, 163, 164divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = (-1↑(𝑚 + 1)))
230229oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
231227, 228, 2303eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
232231oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
23370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
234171, 172, 233adddid 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)))
235169eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
236171mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
237235, 236oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
238234, 237eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
239238oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
240163, 171, 158adddird 10319 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
241239, 240eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
242241oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
243226, 232, 2423eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
244243oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
245214, 223, 2443eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
246130, 245eqeq12d 2780 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))))
247120, 246syl5ibr 237 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
248117, 247jcad 508 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
24926, 40, 54, 68, 115, 248nn0ind 11719 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
250249simpld 488 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  cmpt 4888  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cexp 13067  !cfa 13264  chash 13321  Σcsu 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704
This theorem is referenced by:  subfaclim  31550
  Copyright terms: Public domain W3C validator