Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ0)) |
2 | | derang.d |
. . . . . . 7
โข ๐ท = (๐ฅ โ Fin โฆ (โฏโ{๐ โฃ (๐:๐ฅโ1-1-ontoโ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐โ๐ฆ) โ ๐ฆ)})) |
3 | | subfac.n |
. . . . . . 7
โข ๐ = (๐ โ โ0 โฆ (๐ทโ(1...๐))) |
4 | 2, 3 | subfac0 33828 |
. . . . . 6
โข (๐โ0) = 1 |
5 | 1, 4 | eqtrdi 2789 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = 0 โ (๐โ๐ฅ) = 1) |
6 | | fveq2 6843 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = 0 โ (!โ๐ฅ) =
(!โ0)) |
7 | | fac0 14182 |
. . . . . . 7
โข
(!โ0) = 1 |
8 | 6, 7 | eqtrdi 2789 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ (!โ๐ฅ) = 1) |
9 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = 0 โ (0...๐ฅ) = (0...0)) |
10 | 9 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐))) |
11 | 8, 10 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = 0 โ ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
12 | 5, 11 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = 0 โ ((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ 1 = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
13 | | fv0p1e1 12281 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ (๐โ(๐ฅ + 1)) = (๐โ1)) |
14 | 2, 3 | subfac1 33829 |
. . . . . 6
โข (๐โ1) = 0 |
15 | 13, 14 | eqtrdi 2789 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = 0 โ (๐โ(๐ฅ + 1)) = 0) |
16 | | fv0p1e1 12281 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = 0 โ (!โ(๐ฅ + 1)) =
(!โ1)) |
17 | | fac1 14183 |
. . . . . . 7
โข
(!โ1) = 1 |
18 | 16, 17 | eqtrdi 2789 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ (!โ(๐ฅ + 1)) = 1) |
19 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ฅ + 1) = (0 + 1)) |
20 | | 0p1e1 12280 |
. . . . . . . . 9
โข (0 + 1) =
1 |
21 | 19, 20 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ฅ + 1) = 1) |
22 | 21 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = 0 โ (0...(๐ฅ + 1)) =
(0...1)) |
23 | 22 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = 0 โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐))) |
24 | 18, 23 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = 0 โ ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
25 | 15, 24 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = 0 โ ((๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โ 0 = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
26 | 12, 25 | anbi12d 632 |
. . 3
โข (๐ฅ = 0 โ (((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ (1 = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง 0 = (1 ยท ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
27 | | fveq2 6843 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐)) |
28 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ (!โ๐ฅ) = (!โ๐)) |
29 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (0...๐ฅ) = (0...๐)) |
30 | 29 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) |
31 | 28, 30 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
32 | 27, 31 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
33 | | fvoveq1 7381 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ(๐ฅ + 1)) = (๐โ(๐ + 1))) |
34 | | fvoveq1 7381 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ (!โ(๐ฅ + 1)) = (!โ(๐ + 1))) |
35 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ + 1) = (๐ + 1)) |
36 | 35 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (0...(๐ฅ + 1)) = (0...(๐ + 1))) |
37 | 36 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) |
38 | 34, 37 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
39 | 33, 38 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
40 | 32, 39 | anbi12d 632 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
41 | | fveq2 6843 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ(๐ + 1))) |
42 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (!โ๐ฅ) = (!โ(๐ + 1))) |
43 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (0...๐ฅ) = (0...(๐ + 1))) |
44 | 43 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) |
45 | 42, 44 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
46 | 41, 45 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
47 | | fvoveq1 7381 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (๐โ(๐ฅ + 1)) = (๐โ((๐ + 1) + 1))) |
48 | | fvoveq1 7381 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (!โ(๐ฅ + 1)) = (!โ((๐ + 1) + 1))) |
49 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (๐ฅ + 1) = ((๐ + 1) + 1)) |
50 | 49 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (0...(๐ฅ + 1)) = (0...((๐ + 1) + 1))) |
51 | 50 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) |
52 | 48, 51 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
53 | 47, 52 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ ((๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
54 | 46, 53 | anbi12d 632 |
. . 3
โข (๐ฅ = (๐ + 1) โ (((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
55 | | fveq2 6843 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ๐ฅ) = (๐โ๐)) |
56 | | fveq2 6843 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ (!โ๐ฅ) = (!โ๐)) |
57 | | oveq2 7366 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (0...๐ฅ) = (0...๐)) |
58 | 57 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) |
59 | 56, 58 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
60 | 55, 59 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
61 | | fvoveq1 7381 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐โ(๐ฅ + 1)) = (๐โ(๐ + 1))) |
62 | | fvoveq1 7381 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ (!โ(๐ฅ + 1)) = (!โ(๐ + 1))) |
63 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ + 1) = (๐ + 1)) |
64 | 63 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = ๐ โ (0...(๐ฅ + 1)) = (0...(๐ + 1))) |
65 | 64 | sumeq1d 15591 |
. . . . . 6
โข (๐ฅ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) |
66 | 62, 65 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ฅ = ๐ โ ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
67 | 61, 66 | eqeq12d 2749 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
68 | 60, 67 | anbi12d 632 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐โ๐ฅ) = ((!โ๐ฅ) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐ฅ)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ฅ + 1)) = ((!โ(๐ฅ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ฅ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
69 | | 0z 12515 |
. . . . . . 7
โข 0 โ
โค |
70 | | ax-1cn 11114 |
. . . . . . 7
โข 1 โ
โ |
71 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 0 โ (-1โ๐) =
(-1โ0)) |
72 | | neg1cn 12272 |
. . . . . . . . . . . 12
โข -1 โ
โ |
73 | | exp0 13977 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (-1
โ โ โ (-1โ0) = 1) |
74 | 72, 73 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(-1โ0) = 1 |
75 | 71, 74 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 0 โ (-1โ๐) = 1) |
76 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 0 โ (!โ๐) =
(!โ0)) |
77 | 76, 7 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 0 โ (!โ๐) = 1) |
78 | 75, 77 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 0 โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = (1 / 1)) |
79 | 70 | div1i 11888 |
. . . . . . . . 9
โข (1 / 1) =
1 |
80 | 78, 79 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 0 โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = 1) |
81 | 80 | fsum1 15637 |
. . . . . . 7
โข ((0
โ โค โง 1 โ โ) โ ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐)) = 1) |
82 | 69, 70, 81 | mp2an 691 |
. . . . . 6
โข
ฮฃ๐ โ
(0...0)((-1โ๐) /
(!โ๐)) =
1 |
83 | 82 | oveq2i 7369 |
. . . . 5
โข (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...0)((-1โ๐) /
(!โ๐))) = (1 ยท
1) |
84 | | 1t1e1 12320 |
. . . . 5
โข (1
ยท 1) = 1 |
85 | 83, 84 | eqtr2i 2762 |
. . . 4
โข 1 = (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...0)((-1โ๐) /
(!โ๐))) |
86 | | nn0uz 12810 |
. . . . . . . . 9
โข
โ0 = (โคโฅโ0) |
87 | | 1e0p1 12665 |
. . . . . . . . 9
โข 1 = (0 +
1) |
88 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = 1 โ (-1โ๐) =
(-1โ1)) |
89 | | exp1 13979 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (-1
โ โ โ (-1โ1) = -1) |
90 | 72, 89 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(-1โ1) = -1 |
91 | 88, 90 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 1 โ (-1โ๐) = -1) |
92 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = 1 โ (!โ๐) =
(!โ1)) |
93 | 92, 17 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 1 โ (!โ๐) = 1) |
94 | 91, 93 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 1 โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = (-1 / 1)) |
95 | 72 | div1i 11888 |
. . . . . . . . . 10
โข (-1 / 1)
= -1 |
96 | 94, 95 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 1 โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = -1) |
97 | | neg1rr 12273 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข -1 โ
โ |
98 | | reexpcl 13990 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((-1
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (-1โ๐) โ โ) |
99 | 97, 98 | mpan 689 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (-1โ๐) โ
โ) |
100 | | faccl 14189 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (!โ๐) โ
โ) |
101 | 99, 100 | nndivred 12212 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ๐) /
(!โ๐)) โ
โ) |
102 | 101 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ๐) /
(!โ๐)) โ
โ) |
103 | 102 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข
((โค โง ๐
โ โ0) โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
104 | | 0nn0 12433 |
. . . . . . . . . . 11
โข 0 โ
โ0 |
105 | 104, 82 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . 10
โข (0 โ
โ0 โง ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐)) = 1) |
106 | 105 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (โค
โ (0 โ โ0 โง ฮฃ๐ โ (0...0)((-1โ๐) / (!โ๐)) = 1)) |
107 | | 1pneg1e0 12277 |
. . . . . . . . . 10
โข (1 + -1)
= 0 |
108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข (โค
โ (1 + -1) = 0) |
109 | 86, 87, 96, 103, 106, 108 | fsump1i 15659 |
. . . . . . . 8
โข (โค
โ (1 โ โ0 โง ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐)) = 0)) |
110 | 109 | mptru 1549 |
. . . . . . 7
โข (1 โ
โ0 โง ฮฃ๐ โ (0...1)((-1โ๐) / (!โ๐)) = 0) |
111 | 110 | simpri 487 |
. . . . . 6
โข
ฮฃ๐ โ
(0...1)((-1โ๐) /
(!โ๐)) =
0 |
112 | 111 | oveq2i 7369 |
. . . . 5
โข (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...1)((-1โ๐) /
(!โ๐))) = (1 ยท
0) |
113 | 70 | mul01i 11350 |
. . . . 5
โข (1
ยท 0) = 0 |
114 | 112, 113 | eqtr2i 2762 |
. . . 4
โข 0 = (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...1)((-1โ๐) /
(!โ๐))) |
115 | 85, 114 | pm3.2i 472 |
. . 3
โข (1 = (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...0)((-1โ๐) /
(!โ๐))) โง 0 = (1
ยท ฮฃ๐ โ
(0...1)((-1โ๐) /
(!โ๐)))) |
116 | | simpr 486 |
. . . . 5
โข (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
117 | 116 | a1i 11 |
. . . 4
โข (๐ โ โ0
โ (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
118 | | oveq12 7367 |
. . . . . . 7
โข (((๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐)) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
119 | 118 | ancoms 460 |
. . . . . 6
โข (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐)) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
120 | 119 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
โข (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐))) = ((๐ + 1) ยท (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
121 | | nn0p1nn 12457 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
โ) |
122 | 2, 3 | subfacp1 33837 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ + 1) โ โ โ
(๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ((๐ + 1) โ 1))))) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ((๐ + 1) โ 1))))) |
124 | | nn0cn 12428 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โ) |
125 | | pncan 11412 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง 1 โ
โ) โ ((๐ + 1)
โ 1) = ๐) |
126 | 124, 70, 125 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) โ 1)
= ๐) |
127 | 126 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ (๐โ((๐ + 1) โ 1)) = (๐โ๐)) |
128 | 127 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ((๐ + 1) โ 1))) = ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐))) |
129 | 128 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) ยท
((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ((๐ + 1) โ 1)))) = ((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐)))) |
130 | 123, 129 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐)))) |
131 | | peano2nn0 12458 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
โ0) |
132 | | peano2nn0 12458 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ + 1) โ โ0
โ ((๐ + 1) + 1) โ
โ0) |
133 | 131, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) + 1) โ
โ0) |
134 | | faccl 14189 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ + 1) + 1) โ
โ0 โ (!โ((๐ + 1) + 1)) โ โ) |
135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) โ โ) |
136 | 135 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) โ โ) |
137 | | fzfid 13884 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (0...(๐ + 1)) โ
Fin) |
138 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ ๐ โ โ0) |
139 | 138 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ๐ โ
โ0) |
140 | 139, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
141 | 137, 140 | fsumcl 15623 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) โ
โ) |
142 | | expcl 13991 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((-1
โ โ โง ((๐ +
1) + 1) โ โ0) โ (-1โ((๐ + 1) + 1)) โ โ) |
143 | 72, 133, 142 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (-1โ((๐ + 1) +
1)) โ โ) |
144 | 135 | nnne0d 12208 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) โ 0) |
145 | 143, 136,
144 | divcld 11936 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ((๐ + 1) +
1)) / (!โ((๐ + 1) +
1))) โ โ) |
146 | 136, 141,
145 | adddid 11184 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท (ฮฃ๐
โ (0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) +
((-1โ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ((๐ + 1) + 1)))))
= (((!โ((๐ + 1) + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) +
((!โ((๐ + 1) + 1))
ยท ((-1โ((๐ + 1)
+ 1)) / (!โ((๐ + 1) +
1)))))) |
147 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
โ0) |
148 | 147, 86 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ๐ โ
(โคโฅโ0)) |
149 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ + 1) โ (-1โ๐) = (-1โ(๐ + 1))) |
150 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ + 1) โ (!โ๐) = (!โ(๐ + 1))) |
151 | 149, 150 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ + 1) โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1)))) |
152 | 148, 140,
151 | fsump1 15646 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) =
(ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) + ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1))))) |
153 | 152 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) =
((!โ((๐ + 1) + 1))
ยท (ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) + ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1)))))) |
154 | | fzfid 13884 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (0...๐) โ
Fin) |
155 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (0...๐) โ ๐ โ โ0) |
156 | 155 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ โ โ0) |
157 | 156, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...๐)) โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
158 | 154, 157 | fsumcl 15623 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) โ โ) |
159 | | expcl 13991 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((-1
โ โ โง (๐ +
1) โ โ0) โ (-1โ(๐ + 1)) โ โ) |
160 | 72, 131, 159 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (-1โ(๐ + 1))
โ โ) |
161 | | faccl 14189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ + 1) โ โ0
โ (!โ(๐ + 1))
โ โ) |
162 | 131, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ (!โ(๐ + 1))
โ โ) |
163 | 162 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (!โ(๐ + 1))
โ โ) |
164 | 162 | nnne0d 12208 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (!โ(๐ + 1))
โ 0) |
165 | 160, 163,
164 | divcld 11936 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ(๐ + 1)) /
(!โ(๐ + 1))) โ
โ) |
166 | 136, 158,
165 | adddid 11184 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท (ฮฃ๐
โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) + ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1))))) = (((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1)))))) |
167 | | facp1 14184 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ + 1) โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) = ((!โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) +
1))) |
168 | 131, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) = ((!โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) +
1))) |
169 | | facp1 14184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ โ0
โ (!โ(๐ + 1)) =
((!โ๐) ยท
(๐ + 1))) |
170 | | faccl 14189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โ0
โ (!โ๐) โ
โ) |
171 | 170 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ0
โ (!โ๐) โ
โ) |
172 | 121 | nncnd 12174 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
โ) |
173 | 171, 172 | mulcomd 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท (๐ + 1)) = ((๐ + 1) ยท (!โ๐))) |
174 | 169, 173 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ (!โ(๐ + 1)) =
((๐ + 1) ยท
(!โ๐))) |
175 | 174 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) =
(((๐ + 1) ยท
(!โ๐)) ยท
((๐ + 1) +
1))) |
176 | 133 | nn0cnd 12480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) + 1) โ
โ) |
177 | 172, 171,
176 | mulassd 11183 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) ยท
(!โ๐)) ยท
((๐ + 1) + 1)) = ((๐ + 1) ยท ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)))) |
178 | 168, 175,
177 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (!โ((๐ + 1) +
1)) = ((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) +
1)))) |
179 | 178 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) = (((๐ + 1) ยท ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
180 | 136, 160,
163, 164 | div12d 11972 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ((-1โ(๐ +
1)) / (!โ(๐ + 1)))) =
((-1โ(๐ + 1)) ยท
((!โ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ(๐ +
1))))) |
181 | 168 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) / (!โ(๐ + 1))) =
(((!โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ(๐ +
1)))) |
182 | 176, 163,
164 | divcan3d 11941 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ(๐ + 1))) =
((๐ + 1) +
1)) |
183 | 181, 182 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) / (!โ(๐ + 1))) =
((๐ + 1) +
1)) |
184 | 183 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ(๐ + 1))
ยท ((!โ((๐ + 1)
+ 1)) / (!โ(๐ + 1))))
= ((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) +
1))) |
185 | 180, 184 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ((-1โ(๐ +
1)) / (!โ(๐ + 1)))) =
((-1โ(๐ + 1)) ยท
((๐ + 1) +
1))) |
186 | 179, 185 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ((๐ + 1)
+ 1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1))))) = ((((๐ + 1) ยท ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1)))) |
187 | 153, 166,
186 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) = ((((๐ + 1) ยท ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1)))) |
188 | 143, 136,
144 | divcan2d 11938 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ((-1โ((๐
+ 1) + 1)) / (!โ((๐ +
1) + 1)))) = (-1โ((๐ +
1) + 1))) |
189 | 187, 188 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ((๐ + 1)
+ 1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) +
((!โ((๐ + 1) + 1))
ยท ((-1โ((๐ + 1)
+ 1)) / (!โ((๐ + 1) +
1))))) = (((((๐ + 1)
ยท ((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1)))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1))) + (-1โ((๐ + 1) + 1)))) |
190 | 171, 176 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1))
โ โ) |
191 | 172, 190,
158 | mulassd 11183 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) = ((๐ + 1) ยท (((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
192 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ -1 โ โ) |
193 | 160, 176,
192 | adddid 11184 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ(๐ + 1))
ยท (((๐ + 1) + 1) +
-1)) = (((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) +
((-1โ(๐ + 1)) ยท
-1))) |
194 | | negsub 11454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ + 1) + 1) โ โ โง
1 โ โ) โ (((๐ + 1) + 1) + -1) = (((๐ + 1) + 1) โ 1)) |
195 | 176, 70, 194 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) + 1) + -1)
= (((๐ + 1) + 1) โ
1)) |
196 | | pncan 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ + 1) โ โ โง 1
โ โ) โ (((๐
+ 1) + 1) โ 1) = (๐ +
1)) |
197 | 172, 70, 196 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) + 1)
โ 1) = (๐ +
1)) |
198 | 195, 197 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) + 1) + -1)
= (๐ + 1)) |
199 | 198 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ(๐ + 1))
ยท (((๐ + 1) + 1) +
-1)) = ((-1โ(๐ + 1))
ยท (๐ +
1))) |
200 | 193, 199 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) +
((-1โ(๐ + 1)) ยท
-1)) = ((-1โ(๐ + 1))
ยท (๐ +
1))) |
201 | | expp1 13980 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((-1
โ โ โง (๐ +
1) โ โ0) โ (-1โ((๐ + 1) + 1)) = ((-1โ(๐ + 1)) ยท -1)) |
202 | 72, 131, 201 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ (-1โ((๐ + 1) +
1)) = ((-1โ(๐ + 1))
ยท -1)) |
203 | 202 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) +
(-1โ((๐ + 1) + 1))) =
(((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) +
((-1โ(๐ + 1)) ยท
-1))) |
204 | 172, 160 | mulcomd 11181 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) ยท
(-1โ(๐ + 1))) =
((-1โ(๐ + 1)) ยท
(๐ + 1))) |
205 | 200, 203,
204 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1)) +
(-1โ((๐ + 1) + 1))) =
((๐ + 1) ยท
(-1โ(๐ +
1)))) |
206 | 191, 205 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1)) + (-1โ((๐ + 1) + 1)))) = (((๐ + 1) ยท (((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) + ((๐ + 1) ยท (-1โ(๐ + 1))))) |
207 | 172, 190 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) โ
โ) |
208 | 207, 158 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ โ) |
209 | 160, 176 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((-1โ(๐ + 1))
ยท ((๐ + 1) + 1))
โ โ) |
210 | 208, 209,
143 | addassd 11182 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ (((((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1))) + (-1โ((๐ + 1) + 1))) = ((((๐ + 1) ยท ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1))) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1)) + (-1โ((๐ + 1) + 1))))) |
211 | 190, 158 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ โ) |
212 | 172, 211,
160 | adddid 11184 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) ยท
((((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1)) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1)))) = (((๐ + 1) ยท (((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) + ((๐ + 1) ยท (-1โ(๐ + 1))))) |
213 | 206, 210,
212 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ (((((๐ + 1) ยท
((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1))) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((-1โ(๐ + 1)) ยท ((๐ + 1) + 1))) + (-1โ((๐ + 1) + 1))) = ((๐ + 1) ยท ((((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))))) |
214 | 146, 189,
213 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท (ฮฃ๐
โ (0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) +
((-1โ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ((๐ + 1) + 1)))))
= ((๐ + 1) ยท
((((!โ๐) ยท
((๐ + 1) + 1)) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))))) |
215 | 131, 86 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ (๐ + 1) โ
(โคโฅโ0)) |
216 | | elfznn0 13540 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (0...((๐ + 1) + 1)) โ ๐ โ
โ0) |
217 | 216 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))) โ ๐ โ
โ0) |
218 | 217, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))) โ
((-1โ๐) /
(!โ๐)) โ
โ) |
219 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ((๐ + 1) + 1) โ (-1โ๐) = (-1โ((๐ + 1) + 1))) |
220 | | fveq2 6843 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ((๐ + 1) + 1) โ (!โ๐) = (!โ((๐ + 1) + 1))) |
221 | 219, 220 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ((๐ + 1) + 1) โ ((-1โ๐) / (!โ๐)) = ((-1โ((๐ + 1) + 1)) / (!โ((๐ + 1) + 1)))) |
222 | 215, 218,
221 | fsump1 15646 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ ฮฃ๐ โ
(0...((๐ + 1) +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) =
(ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) +
((-1โ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ((๐ + 1) +
1))))) |
223 | 222 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...((๐ + 1) +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) =
((!โ((๐ + 1) + 1))
ยท (ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐)) +
((-1โ((๐ + 1) + 1)) /
(!โ((๐ + 1) +
1)))))) |
224 | 163, 158 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ โ) |
225 | 171, 158 | mulcld 11180 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โ โ) |
226 | 224, 160,
225 | add32d 11387 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) = ((((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) + (-1โ(๐ + 1)))) |
227 | 152 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) =
((!โ(๐ + 1)) ยท
(ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) + ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1)))))) |
228 | 163, 158,
165 | adddid 11184 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท (ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)) + ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1))))) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ(๐ + 1)) ยท ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1)))))) |
229 | 160, 163,
164 | divcan2d 11938 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท ((-1โ(๐ + 1))
/ (!โ(๐ + 1)))) =
(-1โ(๐ +
1))) |
230 | 229 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ(๐ + 1)) ยท ((-1โ(๐ + 1)) / (!โ(๐ + 1))))) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1)))) |
231 | 227, 228,
230 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) =
(((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1)))) |
232 | 231 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) +
((!โ๐) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) = ((((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
233 | 70 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ 1 โ โ) |
234 | 171, 172,
233 | adddid 11184 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1)) =
(((!โ๐) ยท
(๐ + 1)) + ((!โ๐) ยท 1))) |
235 | 169 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท (๐ + 1)) =
(!โ(๐ +
1))) |
236 | 171 | mulid1d 11177 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท 1) = (!โ๐)) |
237 | 235, 236 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ๐)
ยท (๐ + 1)) +
((!โ๐) ยท 1)) =
((!โ(๐ + 1)) +
(!โ๐))) |
238 | 234, 237 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1)) =
((!โ(๐ + 1)) +
(!โ๐))) |
239 | 238 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) = (((!โ(๐ + 1)) + (!โ๐)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |
240 | 163, 171,
158 | adddird 11185 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ(๐ + 1))
+ (!โ๐)) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
241 | 239, 240 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) = (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
242 | 241 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โ ((((!โ๐)
ยท ((๐ + 1) + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))) = ((((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) + (-1โ(๐ + 1)))) |
243 | 226, 232,
242 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ (((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) +
((!โ๐) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) = ((((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1)))) |
244 | 243 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ + 1) ยท
(((!โ(๐ + 1))
ยท ฮฃ๐ โ
(0...(๐ +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) +
((!โ๐) ยท
ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))) = ((๐ + 1) ยท ((((!โ๐) ยท ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) + (-1โ(๐ + 1))))) |
245 | 214, 223,
244 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ0
โ ((!โ((๐ + 1) +
1)) ยท ฮฃ๐
โ (0...((๐ + 1) +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) = ((๐ + 1) ยท (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
246 | 130, 245 | eqeq12d 2749 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ0
โ ((๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท
ฮฃ๐ โ
(0...((๐ + 1) +
1))((-1โ๐) /
(!โ๐))) โ
((๐ + 1) ยท ((๐โ(๐ + 1)) + (๐โ๐))) = ((๐ + 1) ยท (((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) + ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))))))) |
247 | 120, 246 | syl5ibr 246 |
. . . 4
โข (๐ โ โ0
โ (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
248 | 117, 247 | jcad 514 |
. . 3
โข (๐ โ โ0
โ (((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))) โ ((๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ((๐ + 1) + 1)) = ((!โ((๐ + 1) + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...((๐ + 1) + 1))((-1โ๐) / (!โ๐)))))) |
249 | 26, 40, 54, 68, 115, 248 | nn0ind 12603 |
. 2
โข (๐ โ โ0
โ ((๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐))) โง (๐โ(๐ + 1)) = ((!โ(๐ + 1)) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((-1โ๐) / (!โ๐))))) |
250 | 249 | simpld 496 |
1
โข (๐ โ โ0
โ (๐โ๐) = ((!โ๐) ยท ฮฃ๐ โ (0...๐)((-1โ๐) / (!โ๐)))) |