Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval2 32666
 Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑘,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
2 derang.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfac0 32656 . . . . . 6 (𝑆‘0) = 1
51, 4eqtrdi 2810 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆𝑥) = 1)
6 fveq2 6659 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
7 fac0 13687 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
86, 7eqtrdi 2810 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = 1)
9 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...𝑥) = (0...0))
109sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
118, 10oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
125, 11eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
13 fv0p1e1 11798 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘1))
142, 3subfac1 32657 . . . . . 6 (𝑆‘1) = 0
1513, 14eqtrdi 2810 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = 0)
16 fv0p1e1 11798 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘1))
17 fac1 13688 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1816, 17eqtrdi 2810 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑥 + 1)) = 1)
19 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
20 0p1e1 11797 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
2119, 20eqtrdi 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
2221oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...1))
2322sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2418, 23oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
2515, 24eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
2612, 25anbi12d 634 . . 3 (𝑥 = 0 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
27 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑚))
28 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘𝑥) = (!‘𝑚))
29 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...𝑥) = (0...𝑚))
3029sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3128, 30oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3227, 31eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
33 fvoveq1 7174 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
34 fvoveq1 7174 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
35 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 + 1) = (𝑚 + 1))
3635oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑚 + 1)))
3736sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3834, 37oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
3933, 38eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
4032, 39anbi12d 634 . . 3 (𝑥 = 𝑚 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
41 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑚 + 1)))
42 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑚 + 1)))
43 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...𝑥) = (0...(𝑚 + 1)))
4443sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4542, 44oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4641, 45eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
47 fvoveq1 7174 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)))
48 fvoveq1 7174 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
49 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑚 + 1) + 1))
5049oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (0...(𝑥 + 1)) = (0...((𝑚 + 1) + 1)))
5150sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5248, 51oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
5347, 52eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
5446, 53anbi12d 634 . . 3 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
55 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑁))
56 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
57 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...𝑥) = (0...𝑁))
5857sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5956, 58oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6055, 59eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
61 fvoveq1 7174 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑆‘(𝑥 + 1)) = (𝑆‘(𝑁 + 1)))
62 fvoveq1 7174 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(𝑁 + 1)))
63 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
6463oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (0...(𝑥 + 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6564sumeq1d 15107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
6662, 65oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
6761, 66eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
6860, 67anbi12d 634 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑆𝑥) = ((!‘𝑥) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑥)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑥 + 1)) = ((!‘(𝑥 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑥 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ↔ ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
69 0z 12032 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
70 ax-1cn 10634 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
71 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
72 neg1cn 11789 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
73 exp0 13484 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-1↑0) = 1
7571, 74eqtrdi 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = 1)
76 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
7776, 7eqtrdi 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
7875, 77oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (1 / 1))
7970div1i 11407 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
8078, 79eqtrdi 2810 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8180fsum1 15151 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
8269, 70, 81mp2an 692 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1
8382oveq2i 7162 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 1)
84 1t1e1 11837 . . . . 5 (1 · 1) = 1
8583, 84eqtr2i 2783 . . . 4 1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
86 nn0uz 12321 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
87 1e0p1 12180 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
88 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = (-1↑1))
89 exp1 13486 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
9072, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑1) = -1
9188, 90eqtrdi 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (-1↑𝑘) = -1)
92 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = (!‘1))
9392, 17eqtrdi 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (!‘𝑘) = 1)
9491, 93oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (-1 / 1))
9572div1i 11407 . . . . . . . . . 10 (-1 / 1) = -1
9694, 95eqtrdi 2810 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = -1)
97 neg1rr 11790 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℝ
98 reexpcl 13497 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
9997, 98mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
100 faccl 13694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
10199, 100nndivred 11729 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
102101recnd 10708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
103102adantl 486 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
104 0nn0 11950 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
105104, 82pm3.2i 475 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1)
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (0 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 1))
107 1pneg1e0 11794 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1 + -1) = 0)
10986, 87, 96, 103, 106, 108fsump1i 15173 . . . . . . . 8 (⊤ → (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0))
110109mptru 1546 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0)
111110simpri 490 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = 0
112111oveq2i 7162 . . . . 5 (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (1 · 0)
11370mul01i 10869 . . . . 5 (1 · 0) = 0
114112, 113eqtr2i 2783 . . . 4 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11585, 114pm3.2i 475 . . 3 (1 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...0)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ 0 = (1 · Σ𝑘 ∈ (0...1)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
116 simpr 489 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
117116a1i 11 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
118 oveq12 7160 . . . . . . 7 (((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
119118ancoms 463 . . . . . 6 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120119oveq2d 7167 . . . . 5 (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
121 nn0p1nn 11974 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1222, 3subfacp1 32665 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
123121, 122syl 17 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))))
124 nn0cn 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
125 pncan 10931 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
126124, 70, 125sylancl 590 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
127126fveq2d 6663 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)) = (𝑆𝑚))
128127oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1))) = ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚)))
129128oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆‘((𝑚 + 1) − 1)))) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
130123, 129eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))))
131 peano2nn0 11975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
132 peano2nn0 11975 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
134 faccl 13694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℕ)
136135nncnd 11691 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
137 fzfid 13391 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...(𝑚 + 1)) ∈ Fin)
138 elfznn0 13050 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139138adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
141137, 140fsumcl 15139 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
142 expcl 13498 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
14372, 133, 142sylancr 591 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
144135nnne0d 11725 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) ≠ 0)
145143, 136, 144divcld 11455 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
146136, 141, 145adddid 10704 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
148147, 86eleqtrdi 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ‘0))
149 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑚 + 1)))
150 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑚 + 1) → (!‘𝑘) = (!‘(𝑚 + 1)))
151149, 150oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚 + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
152148, 140, 151fsump1 15160 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
153152oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
154 fzfid 13391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (0...𝑚) ∈ Fin)
155 elfznn0 13050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑚) → 𝑘 ∈ ℕ0)
156155adantl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
157156, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
158154, 157fsumcl 15139 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
159 expcl 13498 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
16072, 131, 159sylancr 591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
161 faccl 13694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
162131, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 11691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 11725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) ≠ 0)
165160, 163, 164divcld 11455 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
166136, 158, 165adddid 10704 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
167 facp1 13689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
168131, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
169 facp1 13689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)))
170 faccl 13694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℕ)
171170nncnd 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘𝑚) ∈ ℂ)
172121nncnd 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
173171, 172mulcomd 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
174169, 173eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑚 + 1)) = ((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)))
175174oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
176133nn0cnd 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ)
177172, 171, 176mulassd 10703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · (!‘𝑚)) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
178168, 175, 1773eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))))
179178oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
180136, 160, 163, 164div12d 11491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))))
181168oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))
182176, 163, 164divcan3d 11460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
183181, 182eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))) = ((𝑚 + 1) + 1))
184183oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
185180, 184eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)))
186179, 185oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
187153, 166, 1863eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))))
188143, 136, 144divcan2d 11457 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
189187, 188oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))))
190171, 176mulcld 10700 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
191172, 190, 158mulassd 10703 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
19272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → -1 ∈ ℂ)
193160, 176, 192adddid 10704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
194 negsub 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 + 1) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
195176, 70, 194sylancl 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (((𝑚 + 1) + 1) − 1))
196 pncan 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
197172, 70, 196sylancl 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) − 1) = (𝑚 + 1))
198195, 197eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) + 1) + -1) = (𝑚 + 1))
199198oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · (((𝑚 + 1) + 1) + -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
200193, 199eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
201 expp1 13487 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
20272, 131, 201sylancr 591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (-1↑((𝑚 + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1))
203202oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · -1)))
204172, 160mulcomd 10701 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))) = ((-1↑(𝑚 + 1)) · (𝑚 + 1)))
205200, 203, 2043eqtr4d 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1))))
206191, 205oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
207172, 190mulcld 10700 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) ∈ ℂ)
208207, 158mulcld 10700 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
209160, 176mulcld 10700 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
210208, 209, 143addassd 10702 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1)) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))))
211190, 158mulcld 10700 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
212172, 211, 160adddid 10704 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))) = (((𝑚 + 1) · (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + ((𝑚 + 1) · (-1↑(𝑚 + 1)))))
213206, 210, 2123eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((((𝑚 + 1) · ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1))) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((-1↑(𝑚 + 1)) · ((𝑚 + 1) + 1))) + (-1↑((𝑚 + 1) + 1))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
214146, 189, 2133eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
215131, 86eleqtrdi 2863 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘0))
216 elfznn0 13050 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
217216adantl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
218217, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
219 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑚 + 1) + 1)))
220 fveq2 6659 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → (!‘𝑘) = (!‘((𝑚 + 1) + 1)))
221219, 220oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((𝑚 + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))
222215, 218, 221fsump1 15160 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1)))))
223222oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑((𝑚 + 1) + 1)) / (!‘((𝑚 + 1) + 1))))))
224163, 158mulcld 10700 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
225171, 158mulcld 10700 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
226224, 160, 225add32d 10906 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
227152oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
228163, 158, 165adddid 10704 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · (Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))))
229160, 163, 164divcan2d 11457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1)))) = (-1↑(𝑚 + 1)))
230229oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘(𝑚 + 1)) · ((-1↑(𝑚 + 1)) / (!‘(𝑚 + 1))))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
231227, 228, 2303eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
232231oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
23370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
234171, 172, 233adddid 10704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)))
235169eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) = (!‘(𝑚 + 1)))
236171mulid1d 10697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · 1) = (!‘𝑚))
237235, 236oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · (𝑚 + 1)) + ((!‘𝑚) · 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
238234, 237eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)))
239238oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
240163, 171, 158adddird 10705 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) + (!‘𝑚)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
241239, 240eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
242241oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))) = ((((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
243226, 232, 2423eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1))))
244243oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))) = ((𝑚 + 1) · ((((!‘𝑚) · ((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + (-1↑(𝑚 + 1)))))
245214, 223, 2443eqtr4d 2804 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
246130, 245eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑚 + 1) · ((𝑆‘(𝑚 + 1)) + (𝑆𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))))
247120, 246syl5ibr 249 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
248117, 247jcad 517 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝑆𝑚) = ((!‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) → ((𝑆‘(𝑚 + 1)) = ((!‘(𝑚 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘((𝑚 + 1) + 1)) = ((!‘((𝑚 + 1) + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))))
24926, 40, 54, 68, 115, 248nn0ind 12117 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∧ (𝑆‘(𝑁 + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
250249simpld 499 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2952  ∀wral 3071   ↦ cmpt 5113  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℂcc 10574  ℝcr 10575  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579   · cmul 10581   − cmin 10909  -cneg 10910   / cdiv 11336  ℕcn 11675  ℕ0cn0 11935  ℤcz 12021  ℤ≥cuz 12283  ...cfz 12940  ↑cexp 13480  !cfa 13684  ♯chash 13741  Σcsu 15091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-oi 9008  df-dju 9364  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-exp 13481  df-fac 13685  df-hash 13742  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-clim 14894  df-sum 15092 This theorem is referenced by:  subfaclim  32667
 Copyright terms: Public domain W3C validator