Theorem 3wlkdlem10 30188

Description: Lemma 10 for 3wlkd 30189. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6	1, 2, 3, 4, 5	3wlkdlem9 30187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
7	1, 2, 3	3wlkdlem3 30180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
8		preq12 4735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
10	9	sseq1d 4015	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
11		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
12		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
13	11, 12	preq12d 4741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
14	13	sseq1d 4015	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
15		preq12 4735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
17	16	sseq1d 4015	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
18	10, 14, 17	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
19	7, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
20	6, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
21	1, 2	3wlkdlem2 30179	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
22	21	raleqi 3324	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		c0ex 11255	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11257	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
25		2ex 12343	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
26		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
27		fv0p1e1 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
28	26, 27	preq12d 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
29		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
30	28, 29	sseq12d 4017	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
31		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
32		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
33		1p1e2 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
35	34	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
36	31, 35	preq12d 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
37		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘1)))
38	36, 37	sseq12d 4017	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
39		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
40		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41		2p1e3 12408	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
42	40, 41	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
43	42	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
44	39, 43	preq12d 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
45		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘2)))
46	44, 45	sseq12d 4017	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 2 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
47	23, 24, 25, 30, 38, 46	raltp 4705	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
48	22, 47	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
49	20, 48	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  {cpr 4628  {ctp 4630  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  3c3 12322  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  ⟨“cs3 14881  ⟨“cs4 14882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889

This theorem is referenced by:  3wlkd  30189