Theorem 3wlkdlem10 30800

Description: Lemma 10 for 3wlkd 30801. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6	1, 2, 3, 4, 5	3wlkdlem9 30799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
7	1, 2, 3	3wlkdlem3 30792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
8		preq12 4696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
10	9	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
11		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
12		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
13	11, 12	preq12d 4702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
14	13	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
15		preq12 4696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
17	16	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
18	10, 14, 17	3anbi123d 1465	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
19	7, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
20	6, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
21	1, 2	3wlkdlem2 30791	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
22	21	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		c0ex 11327	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11330	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
25		2ex 12447	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
26		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
27		fv0p1e1 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
28	26, 27	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
29		2fveq3 6913	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
30	28, 29	sseq12d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
31		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
32		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
33		1p1e2 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
34	32, 33	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
35	34	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
36	31, 35	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
37		2fveq3 6913	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘1)))
38	36, 37	sseq12d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
39		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
40		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41		2p1e3 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
42	40, 41	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
43	42	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
44	39, 43	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
45		2fveq3 6913	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘2)))
46	44, 45	sseq12d 3946	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 2 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
47	23, 24, 25, 30, 38, 46	raltp 4666	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
48	22, 47	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
49	20, 48	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  {ctp 4592  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  2c2 12424  3c3 12425  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  ⟨“cs3 15021  ⟨“cs4 15022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029

This theorem is used by:  3wlkd  30801