MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem10 29155
Description: Lemma 10 for 3wlkd 29156. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem10
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 3wlkd.e . . . 4 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
61, 2, 3, 4, 53wlkdlem9 29154 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
71, 2, 33wlkdlem3 29147 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
8 preq12 4701 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
98adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
109sseq1d 3980 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
11 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
12 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1311, 12preq12d 4707 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1413sseq1d 3980 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
15 preq12 4701 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1615adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1716sseq1d 3980 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
1810, 14, 173anbi123d 1437 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
197, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2)))))
206, 19mpbird 257 . 2 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
211, 23wlkdlem2 29146 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
2221raleqi 3314 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
23 c0ex 11156 . . . 4 0 ∈ V
24 1ex 11158 . . . 4 1 ∈ V
25 2ex 12237 . . . 4 2 ∈ V
26 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
27 fv0p1e1 12283 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
2826, 27preq12d 4707 . . . . 5 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
29 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘0)))
3028, 29sseq12d 3982 . . . 4 (𝑘 = 0 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
31 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
32 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
33 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3432, 33eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
3534fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
3631, 35preq12d 4707 . . . . 5 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
37 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘1)))
3836, 37sseq12d 3982 . . . 4 (𝑘 = 1 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))
39 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
40 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41 2p1e3 12302 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
4240, 41eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
4342fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
4439, 43preq12d 4707 . . . . 5 (𝑘 = 2 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
45 2fveq3 6852 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘2)))
4644, 45sseq12d 3982 . . . 4 (𝑘 = 2 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
4723, 24, 25, 30, 38, 46raltp 4671 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
4822, 47bitri 275 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘2))))
4920, 48sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wss 3915  {cpr 4593  {ctp 4595  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  2c2 12215  3c3 12216  ..^cfzo 13574  chash 14237  ⟨“cs3 14738  ⟨“cs4 14739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-s4 14746
This theorem is referenced by:  3wlkd  29156
  Copyright terms: Public domain W3C validator