MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem5 29454
Description: Lemma 5 for 3wlkd 29461. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem5
StepHypRef Expression
1 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
2 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐴𝐵)
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
4 id 22 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
52, 3, 43anim123i 1151 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷))
7 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
8 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
9 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
107, 8, 93wlkdlem3 29452 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
11 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
1311, 12neeq12d 3002 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1413adantr 481 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1512adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
16 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1815, 17neeq12d 3002 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
19 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
2016, 19neeq12d 3002 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶𝐷))
2120adantl 482 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶𝐷))
2214, 18, 213anbi123d 1436 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷)))
2310, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷)))
246, 23mpbird 256 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
257, 83wlkdlem2 29451 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
2625raleqi 3323 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
27 c0ex 11210 . . . 4 0 ∈ V
28 1ex 11212 . . . 4 1 ∈ V
29 2ex 12291 . . . 4 2 ∈ V
30 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
31 fv0p1e1 12337 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
3230, 31neeq12d 3002 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
33 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
34 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
35 1p1e2 12339 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3634, 35eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
3736fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
3833, 37neeq12d 3002 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
39 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
40 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41 2p1e3 12356 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
4240, 41eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
4342fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
4439, 43neeq12d 3002 . . . 4 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4527, 28, 29, 32, 38, 44raltp 4709 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4626, 45bitri 274 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4724, 46sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  {ctp 4632  cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  2c2 12269  3c3 12270  ..^cfzo 13629  chash 14292  ⟨“cs3 14795  ⟨“cs4 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803
This theorem is referenced by:  3wlkd  29461
  Copyright terms: Public domain W3C validator