Theorem 3wlkdlem5 29680

Description: Lemma 5 for 3wlkd 29687. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → 𝐵 ≠ 𝐶)
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ≠ 𝐷)
5	2, 3, 4	3anim123i 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
7		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
8		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
9		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
10	7, 8, 9	3wlkdlem3 29678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
13	11, 12	neeq12d 3001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
15	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
16		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
18	15, 17	neeq12d 3001	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
19		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
20	16, 19	neeq12d 3001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
22	14, 18, 21	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)))
23	10, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)))
24	6, 23	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
25	7, 8	3wlkdlem2 29677	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
26	25	raleqi 3322	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
27		c0ex 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
28		1ex 11215	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
29		2ex 12294	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
30		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
31		fv0p1e1 12340	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
32	30, 31	neeq12d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
33		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
34		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
35		1p1e2 12342	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
36	34, 35	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
37	36	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
38	33, 37	neeq12d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
39		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
40		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41		2p1e3 12359	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
42	40, 41	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
43	42	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
44	39, 43	neeq12d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
45	27, 28, 29, 32, 38, 44	raltp 4710	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
46	26, 45	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
47	24, 46	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {ctp 4633  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  2c2 12272  3c3 12273  ..^cfzo 13632  ♯chash 14295  ⟨“cs3 14798  ⟨“cs4 14799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-s4 14806

This theorem is referenced by:  3wlkd  29687