MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem5 30192
Description: Lemma 5 for 3wlkd 30199. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem5
StepHypRef Expression
1 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐴𝐵)
3 simpl 482 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
4 id 22 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
52, 3, 43anim123i 1150 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷))
7 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
8 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
9 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
107, 8, 93wlkdlem3 30190 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
11 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
12 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
1311, 12neeq12d 3000 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1413adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1512adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
16 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1815, 17neeq12d 3000 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
19 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
2016, 19neeq12d 3000 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶𝐷))
2120adantl 481 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐶𝐷))
2214, 18, 213anbi123d 1435 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷)))
2310, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷)))
246, 23mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
257, 83wlkdlem2 30189 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
2625raleqi 3322 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
27 c0ex 11253 . . . 4 0 ∈ V
28 1ex 11255 . . . 4 1 ∈ V
29 2ex 12341 . . . 4 2 ∈ V
30 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
31 fv0p1e1 12387 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
3230, 31neeq12d 3000 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
33 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
34 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
35 1p1e2 12389 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
3634, 35eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
3736fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
3833, 37neeq12d 3000 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
39 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
40 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
41 2p1e3 12406 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
4240, 41eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
4342fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
4439, 43neeq12d 3000 . . . 4 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4527, 28, 29, 32, 38, 44raltp 4710 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4626, 45bitri 275 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
4724, 46sylibr 234 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {ctp 4635  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319  3c3 12320  ..^cfzo 13691  chash 14366  ⟨“cs3 14878  ⟨“cs4 14879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886
This theorem is referenced by:  3wlkd  30199
  Copyright terms: Public domain W3C validator