MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  loglesqrt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem loglesqrt 26255
Description: An upper bound on the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
loglesqrt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
Proof of Theorem loglesqrt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11212 . . . 4 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 elicc2 13385 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
65biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
76simp1d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
97, 8ge0p1rpd 13042 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
109fvresd 6908 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜(π‘₯ + 1)))
1110mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1))))
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1312cnfldtopon 24290 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
147ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
1514ssrdv 3987 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† ℝ)
16 ax-resscn 11163 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1715, 16sstrdi 3993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚)
18 resttopon 22656 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]𝐴)))
1913, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]𝐴)))
209fmpttd 7111 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+)
21 rpssre 12977 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† ℝ
2221, 16sstri 3990 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† β„‚
2312addcn 24372 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
25 ssid 4003 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
26 cncfmptid 24420 . . . . . . . . . . 11 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
2717, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
28 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
2925a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
30 cncfmptc 24419 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
3128, 17, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
3212, 24, 27, 31cncfmpt2f 24422 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
33 cncfcdm 24405 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+))
3422, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+))
3520, 34mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+))
36 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴))
37 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
3812, 36, 37cncfcn 24417 . . . . . . . 8 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
3917, 22, 38sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
4035, 39eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
41 relogcn 26137 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
42 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4312, 37, 42cncfcn 24417 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4422, 16, 43mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℝ+–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4541, 44eleqtri 2831 . . . . . . 7 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4719, 40, 46cnmpt11f 23159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4812, 36, 42cncfcn 24417 . . . . . 6 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4917, 16, 48sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5047, 49eleqtrrd 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
5111, 50eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
52 reelprrecn 11198 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5352a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
54 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
55 1rp 12974 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
56 rpaddcl 12992 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
5857relogcld 26122 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
5958recnd 11238 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) ∈ β„‚)
6057rpreccld 13022 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ+)
61 1cnd 11205 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
62 relogcl 26075 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6362adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6463recnd 11238 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
65 rpreccl 12996 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
6665adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
67 peano2re 11383 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 11238 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ β„‚)
70 1cnd 11205 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
7116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
7271sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7353dvmptid 25465 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
74 0cnd 11203 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
7553, 28dvmptc 25466 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
7653, 72, 70, 73, 70, 74, 75dvmptadd 25468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
77 1p0e1 12332 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
7877mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1)
7976, 78eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
8021a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
8112tgioo2 24310 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
82 ioorp 13398 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
83 iooretop 24273 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8482, 83eqeltrri 2830 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8653, 69, 70, 79, 80, 81, 12, 85dvmptres 25471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1))
87 relogf1o 26066 . . . . . . . . . . 11 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
88 f1of 6830 . . . . . . . . . . 11 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9089feqmptd 6957 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)))
91 fvres 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘¦))
9291mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))
9390, 92eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦)))
9493oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))))
95 dvrelog 26136 . . . . . . 7 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
9694, 95eqtr3di 2787 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
97 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜(π‘₯ + 1)))
98 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (π‘₯ + 1)))
9953, 53, 57, 61, 64, 66, 86, 96, 97, 98dvmptco 25480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1)))
10060rpcnd 13014 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ∈ β„‚)
101100mulridd 11227 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1) = (1 / (π‘₯ + 1)))
102101mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
10399, 102eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
104 ioossicc 13406 . . . . . . . . 9 (0(,)𝐴) βŠ† (0[,]𝐴)
105104sseli 3977 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴))
106105, 7sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
107 eliooord 13379 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
108107simpld 495 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ 0 < π‘₯)
109108adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ 0 < π‘₯)
110106, 109elrpd 13009 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
111110ex 413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
112111ssrdv 3987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0(,)𝐴) βŠ† ℝ+)
113 iooretop 24273 . . . . 5 (0(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
114113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
11553, 59, 60, 103, 112, 81, 12, 114dvmptres 25471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
116 elrege0 13427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
1177, 8, 116sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
118117ex 413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)))
119118ssrdv 3987 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† (0[,)+∞))
120119resabs1d 6010 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) = (√ β†Ύ (0[,]𝐴)))
121 sqrtf 15306 . . . . . . 7 √:β„‚βŸΆβ„‚
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ √:β„‚βŸΆβ„‚)
123122, 17feqresmpt 6958 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (√ β†Ύ (0[,]𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
124120, 123eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
125 resqrtcn 26246 . . . . 5 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
126 rescncf 24404 . . . . 5 ((0[,]𝐴) βŠ† (0[,)+∞) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ)))
127119, 125, 126mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
128124, 127eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
129 rpcn 12980 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
130129adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
131130sqrtcld 15380 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
132 2rp 12975 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
133 rpsqrtcl 15207 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
134133adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
135 rpmulcl 12993 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
136132, 134, 135sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
137136rpreccld 13022 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
138 dvsqrt 26239 . . . . 5 (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
139138a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
14053, 131, 137, 139, 112, 81, 12, 114dvmptres 25471 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
141134rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
142 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
143 resubcl 11520 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
145144sqge0d 14098 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2))
146130sqsqrtd 15382 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
147146oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
148147oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1) = ((π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
149 binom2sub1 14180 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
150131, 149syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
151136rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
152130, 61, 151addsubd 11588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
153148, 150, 1523eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
154145, 153breqtrd 5173 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
15557rpred 13012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
156136rpred 13012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
157155, 156subge0d 11800 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1)))
158154, 157mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1))
159136, 57lerecd 13031 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1) ↔ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
160158, 159mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
161110, 160syldan 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
162 rexr 11256 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
163 0xr 11257 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
164 lbicc2 13437 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
165163, 164mp3an1 1448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
166162, 165sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
167 ubicc2 13438 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
168163, 167mp3an1 1448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
169162, 168sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
170 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
171 fv0p1e1 12331 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜1))
172 log1 26085 . . . 4 (logβ€˜1) = 0
173171, 172eqtrdi 2788 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = 0)
174 fveq2 6888 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜0))
175 sqrt0 15184 . . . 4 (βˆšβ€˜0) = 0
176174, 175eqtrdi 2788 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = 0)
177 fvoveq1 7428 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
178 fveq2 6888 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
1792, 3, 51, 115, 128, 140, 161, 166, 169, 170, 173, 176, 177, 178dvle 25515 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) βˆ’ 0) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) βˆ’ 0))
180 ge0p1rp 13001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
181180relogcld 26122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
182 resqrtcl 15196 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
183181, 182, 2lesub1d 11817 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄) ↔ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) βˆ’ 0) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) βˆ’ 0)))
184179, 183mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20936  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057
This theorem is referenced by:  rplogsumlem1  26976
  Copyright terms: Public domain W3C validator