Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  loglesqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem loglesqrt 24901
 Description: An upper bound on the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
loglesqrt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))

Proof of Theorem loglesqrt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10358 . . . 4 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpl 476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 elicc2 12526 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
51, 3, 4sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
65biimpa 470 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴))
76simp1d 1176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
86simp2d 1177 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ≤ 𝑥)
97, 8ge0p1rpd 12186 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
109fvresd 6453 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝑥 + 1)))
1110mpteq2dva 4967 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))))
12 eqid 2825 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 22956 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
147ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
1514ssrdv 3833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 ax-resscn 10309 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1715, 16syl6ss 3839 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℂ)
18 resttopon 21336 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
1913, 17, 18sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
209fmpttd 6634 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+)
21 rpssre 12119 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
2221, 16sstri 3836 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℂ
2312addcn 23038 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25 ssid 3848 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
26 cncfmptid 23085 . . . . . . . . . . 11 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
2717, 25, 26sylancl 580 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
28 1cnd 10351 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2925a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℂ ⊆ ℂ)
30 cncfmptc 23084 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3128, 17, 29, 30syl3anc 1494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3212, 24, 27, 31cncfmpt2f 23087 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
33 cncffvrn 23071 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3422, 32, 33sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3520, 34mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+))
36 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴))
37 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)
3812, 36, 37cncfcn 23082 . . . . . . . 8 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
3917, 22, 38sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
4035, 39eleqtrd 2908 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
41 relogcn 24783 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
42 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4312, 37, 42cncfcn 23082 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4422, 16, 43mp2an 683 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4541, 44eleqtri 2904 . . . . . . 7 (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4719, 40, 46cnmpt11f 21838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4812, 36, 42cncfcn 23082 . . . . . 6 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4917, 16, 48sylancl 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5047, 49eleqtrrd 2909 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
5111, 50eqeltrrd 2907 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
52 reelprrecn 10344 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5352a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
54 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
55 1rp 12116 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
56 rpaddcl 12136 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56sylancl 580 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5857relogcld 24768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
5958recnd 10385 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
6057rpreccld 12166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℝ+)
61 1cnd 10351 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
62 relogcl 24721 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6362adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6463recnd 10385 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
65 rpreccl 12140 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
6665adantl 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
67 peano2re 10528 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6867adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 10385 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
70 1cnd 10351 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
7271sselda 3827 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7353dvmptid 24119 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
74 0cnd 10349 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
7553, 28dvmptc 24120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
7653, 72, 70, 73, 70, 74, 75dvmptadd 24122 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
77 1p0e1 11482 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
7877mpteq2i 4964 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)
7976, 78syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
8021a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ⊆ ℝ)
8112tgioo2 22976 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
82 ioorp 12539 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
83 iooretop 22939 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
8482, 83eqeltrri 2903 . . . . . . . 8 + ∈ (topGen‘ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
8653, 69, 70, 79, 80, 81, 12, 85dvmptres 24125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
87 dvrelog 24782 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
88 relogf1o 24712 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
89 f1of 6378 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9088, 89mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9190feqmptd 6496 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
92 fvres 6452 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = (log‘𝑦))
9392mpteq2ia 4963 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
9491, 93syl6eq 2877 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)))
9594oveq2d 6921 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))))
9687, 95syl5reqr 2876 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
97 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥 + 1)))
98 oveq2 6913 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥 + 1)))
9953, 53, 57, 61, 64, 66, 86, 96, 97, 98dvmptco 24134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)))
10060rpcnd 12158 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
101100mulid1d 10374 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / (𝑥 + 1)) · 1) = (1 / (𝑥 + 1)))
102101mpteq2dva 4967 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
10399, 102eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
104 ioossicc 12547 . . . . . . . . 9 (0(,)𝐴) ⊆ (0[,]𝐴)
105104sseli 3823 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
106105, 7sylan2 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107 eliooord 12521 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
108107simpld 490 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 0 < 𝑥)
109108adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 0 < 𝑥)
110106, 109elrpd 12153 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
111110ex 403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+))
112111ssrdv 3833 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ⊆ ℝ+)
113 iooretop 22939 . . . . 5 (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
114113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
11553, 59, 60, 103, 112, 81, 12, 114dvmptres 24125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
116 elrege0 12568 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
1177, 8, 116sylanbrc 578 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
118117ex 403 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
119118ssrdv 3833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
120119resabs1d 5664 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (√ ↾ (0[,]𝐴)))
121 sqrtf 14480 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → √:ℂ⟶ℂ)
123122, 17feqresmpt 6497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√ ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
124120, 123eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
125 resqrtcn 24892 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
126 rescncf 23070 . . . . 5 ((0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ)))
127119, 125, 126mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
128124, 127eqeltrrd 2907 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
129 rpcn 12124 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
130129adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
131130sqrtcld 14553 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
132 2rp 12117 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
133 rpsqrtcl 14382 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
134133adantl 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
135 rpmulcl 12137 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
136132, 134, 135sylancr 581 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
137136rpreccld 12166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
138 dvsqrt 24885 . . . . 5 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
139138a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
14053, 131, 137, 139, 112, 81, 12, 114dvmptres 24125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
141134rpred 12156 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
142 1re 10356 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
143 resubcl 10666 . . . . . . . . 9 (((√‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
144141, 142, 143sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
145144sqge0d 13332 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (((√‘𝑥) − 1)↑2))
146130sqsqrtd 14555 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
147146oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) = (𝑥 − (2 · (√‘𝑥))))
148147oveq1d 6920 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
149 binom2sub1 13276 . . . . . . . . 9 ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
150131, 149syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
151136rpcnd 12158 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
152130, 61, 151addsubd 10734 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
153148, 150, 1523eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
154145, 153breqtrd 4899 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
15557rpred 12156 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
156136rpred 12156 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
157155, 156subge0d 10942 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) ↔ (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1)))
158154, 157mpbid 224 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1))
159136, 57lerecd 12175 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1) ↔ (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
160158, 159mpbid 224 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
161110, 160syldan 585 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
162 rexr 10402 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
163 0xr 10403 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
164 lbicc2 12578 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
165163, 164mp3an1 1576 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
166162, 165sylan 575 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
167 ubicc2 12579 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
168163, 167mp3an1 1576 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
169162, 168sylan 575 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
170 simpr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
171 fv0p1e1 11481 . . . 4 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘1))
172 log1 24731 . . . 4 (log‘1) = 0
173171, 172syl6eq 2877 . . 3 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = 0)
174 fveq2 6433 . . . 4 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = (√‘0))
175 sqrt0 14359 . . . 4 (√‘0) = 0
176174, 175syl6eq 2877 . . 3 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = 0)
177 fvoveq1 6928 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝐴 + 1)))
178 fveq2 6433 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
1792, 3, 51, 115, 128, 140, 161, 166, 169, 170, 173, 176, 177, 178dvle 24169 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0))
180 ge0p1rp 12145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
181180relogcld 24768 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
182 resqrtcl 14371 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
183181, 182, 2lesub1d 10959 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴) ↔ ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0)))
184179, 183mpbird 249 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  {cpr 4399   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ran crn 5343   ↾ cres 5344  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  +∞cpnf 10388  ℝ*cxr 10390   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585   / cdiv 11009  2c2 11406  ℝ+crp 12112  (,)cioo 12463  [,)cico 12465  [,]cicc 12466  ↑cexp 13154  √csqrt 14350   ↾t crest 16434  TopOpenctopn 16435  topGenctg 16451  ℂfldccnfld 20106  TopOnctopon 21085   Cn ccn 21399   ×t ctx 21734  –cn→ccncf 23049   D cdv 24026  logclog 24700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-tan 15174  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703 This theorem is referenced by:  rplogsumlem1  25586
 Copyright terms: Public domain W3C validator