MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  loglesqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem loglesqrt 26111
Description: An upper bound on the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
loglesqrt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))

Proof of Theorem loglesqrt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11157 . . . 4 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 elicc2 13329 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
65biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴))
76simp1d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
86simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ≤ 𝑥)
97, 8ge0p1rpd 12987 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
109fvresd 6862 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝑥 + 1)))
1110mpteq2dva 5205 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))))
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 24146 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
147ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
1514ssrdv 3950 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1715, 16sstrdi 3956 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℂ)
18 resttopon 22512 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
1913, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
209fmpttd 7063 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+)
21 rpssre 12922 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
2221, 16sstri 3953 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℂ
2312addcn 24228 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25 ssid 3966 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
26 cncfmptid 24276 . . . . . . . . . . 11 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
2717, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
28 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2925a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℂ ⊆ ℂ)
30 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3128, 17, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3212, 24, 27, 31cncfmpt2f 24278 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
33 cncfcdm 24261 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3422, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3520, 34mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+))
36 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴))
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)
3812, 36, 37cncfcn 24273 . . . . . . . 8 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
3917, 22, 38sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
4035, 39eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
41 relogcn 25993 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4312, 37, 42cncfcn 24273 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4422, 16, 43mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4541, 44eleqtri 2836 . . . . . . 7 (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4719, 40, 46cnmpt11f 23015 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4812, 36, 42cncfcn 24273 . . . . . 6 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4917, 16, 48sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5047, 49eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
5111, 50eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
52 reelprrecn 11143 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5352a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
54 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
55 1rp 12919 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
56 rpaddcl 12937 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5857relogcld 25978 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
6057rpreccld 12967 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℝ+)
61 1cnd 11150 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
62 relogcl 25931 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6362adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6463recnd 11183 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
65 rpreccl 12941 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
6665adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
67 peano2re 11328 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
70 1cnd 11150 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
7271sselda 3944 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7353dvmptid 25321 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
74 0cnd 11148 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
7553, 28dvmptc 25322 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
7653, 72, 70, 73, 70, 74, 75dvmptadd 25324 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
77 1p0e1 12277 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
7877mpteq2i 5210 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)
7976, 78eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
8021a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ⊆ ℝ)
8112tgioo2 24166 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
82 ioorp 13342 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
83 iooretop 24129 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
8482, 83eqeltrri 2835 . . . . . . . 8 + ∈ (topGen‘ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
8653, 69, 70, 79, 80, 81, 12, 85dvmptres 25327 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
87 relogf1o 25922 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
88 f1of 6784 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9089feqmptd 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
91 fvres 6861 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = (log‘𝑦))
9291mpteq2ia 5208 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
9390, 92eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)))
9493oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))))
95 dvrelog 25992 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
9694, 95eqtr3di 2791 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
97 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥 + 1)))
98 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥 + 1)))
9953, 53, 57, 61, 64, 66, 86, 96, 97, 98dvmptco 25336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)))
10060rpcnd 12959 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
101100mulid1d 11172 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / (𝑥 + 1)) · 1) = (1 / (𝑥 + 1)))
102101mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
10399, 102eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
104 ioossicc 13350 . . . . . . . . 9 (0(,)𝐴) ⊆ (0[,]𝐴)
105104sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
106105, 7sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107 eliooord 13323 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
108107simpld 495 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 0 < 𝑥)
109108adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 0 < 𝑥)
110106, 109elrpd 12954 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
111110ex 413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+))
112111ssrdv 3950 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ⊆ ℝ+)
113 iooretop 24129 . . . . 5 (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
114113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
11553, 59, 60, 103, 112, 81, 12, 114dvmptres 25327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
116 elrege0 13371 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
1177, 8, 116sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
118117ex 413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
119118ssrdv 3950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
120119resabs1d 5968 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (√ ↾ (0[,]𝐴)))
121 sqrtf 15248 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → √:ℂ⟶ℂ)
123122, 17feqresmpt 6911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√ ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
124120, 123eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
125 resqrtcn 26102 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
126 rescncf 24260 . . . . 5 ((0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ)))
127119, 125, 126mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
128124, 127eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
129 rpcn 12925 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
130129adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
131130sqrtcld 15322 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
132 2rp 12920 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
133 rpsqrtcl 15149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
134133adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
135 rpmulcl 12938 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
136132, 134, 135sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
137136rpreccld 12967 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
138 dvsqrt 26095 . . . . 5 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
139138a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
14053, 131, 137, 139, 112, 81, 12, 114dvmptres 25327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
141134rpred 12957 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
142 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
143 resubcl 11465 . . . . . . . . 9 (((√‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
145144sqge0d 14042 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (((√‘𝑥) − 1)↑2))
146130sqsqrtd 15324 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
147146oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) = (𝑥 − (2 · (√‘𝑥))))
148147oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
149 binom2sub1 14124 . . . . . . . . 9 ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
150131, 149syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
151136rpcnd 12959 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
152130, 61, 151addsubd 11533 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
153148, 150, 1523eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
154145, 153breqtrd 5131 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
15557rpred 12957 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
156136rpred 12957 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
157155, 156subge0d 11745 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) ↔ (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1)))
158154, 157mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1))
159136, 57lerecd 12976 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1) ↔ (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
160158, 159mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
161110, 160syldan 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
162 rexr 11201 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
163 0xr 11202 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
164 lbicc2 13381 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
165163, 164mp3an1 1448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
166162, 165sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
167 ubicc2 13382 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
168163, 167mp3an1 1448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
169162, 168sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
170 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
171 fv0p1e1 12276 . . . 4 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘1))
172 log1 25941 . . . 4 (log‘1) = 0
173171, 172eqtrdi 2792 . . 3 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = 0)
174 fveq2 6842 . . . 4 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = (√‘0))
175 sqrt0 15126 . . . 4 (√‘0) = 0
176174, 175eqtrdi 2792 . . 3 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = 0)
177 fvoveq1 7380 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝐴 + 1)))
178 fveq2 6842 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
1792, 3, 51, 115, 128, 140, 161, 166, 169, 170, 173, 176, 177, 178dvle 25371 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0))
180 ge0p1rp 12946 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
181180relogcld 25978 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
182 resqrtcl 15138 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
183181, 182, 2lesub1d 11762 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴) ↔ ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0)))
184179, 183mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  cexp 13967  csqrt 15118  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  cnccncf 24239   D cdv 25227  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  rplogsumlem1  26832
  Copyright terms: Public domain W3C validator