MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  loglesqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem loglesqrt 25911
Description: An upper bound on the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
loglesqrt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))

Proof of Theorem loglesqrt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 10977 . . . 4 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 elicc2 13144 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
51, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
65biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴))
76simp1d 1141 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
86simp2d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ≤ 𝑥)
97, 8ge0p1rpd 12802 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
109fvresd 6794 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝑥 + 1)))
1110mpteq2dva 5174 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))))
12 eqid 2738 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 23946 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
147ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
1514ssrdv 3927 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16 ax-resscn 10928 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1715, 16sstrdi 3933 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ ℂ)
18 resttopon 22312 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
1913, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) ∈ (TopOn‘(0[,]𝐴)))
209fmpttd 6989 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+)
21 rpssre 12737 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
2221, 16sstri 3930 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℂ
2312addcn 24028 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25 ssid 3943 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
26 cncfmptid 24076 . . . . . . . . . . 11 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
2717, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
28 1cnd 10970 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2925a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℂ ⊆ ℂ)
30 cncfmptc 24075 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3128, 17, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
3212, 24, 27, 31cncfmpt2f 24078 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ))
33 cncffvrn 24061 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3422, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)):(0[,]𝐴)⟶ℝ+))
3520, 34mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+))
36 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴))
37 eqid 2738 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)
3812, 36, 37cncfcn 24073 . . . . . . . 8 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
3917, 22, 38sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
4035, 39eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (𝑥 + 1)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
41 relogcn 25793 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
42 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4312, 37, 42cncfcn 24073 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4422, 16, 43mp2an 689 . . . . . . . 8 (ℝ+cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4541, 44eleqtri 2837 . . . . . . 7 (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4719, 40, 46cnmpt11f 22815 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4812, 36, 42cncfcn 24073 . . . . . 6 (((0[,]𝐴) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4917, 16, 48sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5047, 49eleqtrrd 2842 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
5111, 50eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
52 reelprrecn 10963 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5352a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
54 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
55 1rp 12734 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
56 rpaddcl 12752 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
5857relogcld 25778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℝ)
5958recnd 11003 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
6057rpreccld 12782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℝ+)
61 1cnd 10970 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
62 relogcl 25731 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6362adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
6463recnd 11003 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
65 rpreccl 12756 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
6665adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
67 peano2re 11148 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 11003 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
70 1cnd 10970 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
7271sselda 3921 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7353dvmptid 25121 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
74 0cnd 10968 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
7553, 28dvmptc 25122 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
7653, 72, 70, 73, 70, 74, 75dvmptadd 25124 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
77 1p0e1 12097 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
7877mpteq2i 5179 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)
7976, 78eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
8021a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ⊆ ℝ)
8112tgioo2 23966 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
82 ioorp 13157 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
83 iooretop 23929 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
8482, 83eqeltrri 2836 . . . . . . . 8 + ∈ (topGen‘ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
8653, 69, 70, 79, 80, 81, 12, 85dvmptres 25127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 + 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
87 relogf1o 25722 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
88 f1of 6716 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9089feqmptd 6837 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
91 fvres 6793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = (log‘𝑦))
9291mpteq2ia 5177 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
9390, 92eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)))
9493oveq2d 7291 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))))
95 dvrelog 25792 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
9694, 95eqtr3di 2793 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
97 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥 + 1)))
98 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥 + 1)))
9953, 53, 57, 61, 64, 66, 86, 96, 97, 98dvmptco 25136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)))
10060rpcnd 12774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
101100mulid1d 10992 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / (𝑥 + 1)) · 1) = (1 / (𝑥 + 1)))
102101mpteq2dva 5174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (𝑥 + 1)) · 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
10399, 102eqtrd 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
104 ioossicc 13165 . . . . . . . . 9 (0(,)𝐴) ⊆ (0[,]𝐴)
105104sseli 3917 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
106105, 7sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
107 eliooord 13138 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → (0 < 𝑥𝑥 < 𝐴))
108107simpld 495 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 0 < 𝑥)
109108adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 0 < 𝑥)
110106, 109elrpd 12769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
111110ex 413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ+))
112111ssrdv 3927 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ⊆ ℝ+)
113 iooretop 23929 . . . . 5 (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
114113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
11553, 59, 60, 103, 112, 81, 12, 114dvmptres 25127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (log‘(𝑥 + 1)))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (𝑥 + 1))))
116 elrege0 13186 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
1177, 8, 116sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
118117ex 413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
119118ssrdv 3927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
120119resabs1d 5922 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (√ ↾ (0[,]𝐴)))
121 sqrtf 15075 . . . . . . 7 √:ℂ⟶ℂ
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → √:ℂ⟶ℂ)
123122, 17feqresmpt 6838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√ ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
124120, 123eqtrd 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) = (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)))
125 resqrtcn 25902 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
126 rescncf 24060 . . . . 5 ((0[,]𝐴) ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ)))
127119, 125, 126mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
128124, 127eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
129 rpcn 12740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
130129adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
131130sqrtcld 15149 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
132 2rp 12735 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
133 rpsqrtcl 14976 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
134133adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
135 rpmulcl 12753 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
136132, 134, 135sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
137136rpreccld 12782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
138 dvsqrt 25895 . . . . 5 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
139138a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
14053, 131, 137, 139, 112, 81, 12, 114dvmptres 25127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
141134rpred 12772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
142 1re 10975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
143 resubcl 11285 . . . . . . . . 9 (((√‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
144141, 142, 143sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
145144sqge0d 13966 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (((√‘𝑥) − 1)↑2))
146130sqsqrtd 15151 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
147146oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) = (𝑥 − (2 · (√‘𝑥))))
148147oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
149 binom2sub1 13936 . . . . . . . . 9 ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
150131, 149syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((((√‘𝑥)↑2) − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
151136rpcnd 12774 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ)
152130, 61, 151addsubd 11353 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) = ((𝑥 − (2 · (√‘𝑥))) + 1))
153148, 150, 1523eqtr4d 2788 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((√‘𝑥) − 1)↑2) = ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
154145, 153breqtrd 5100 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))))
15557rpred 12772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
156136rpred 12772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
157155, 156subge0d 11565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ ((𝑥 + 1) − (2 · (√‘𝑥))) ↔ (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1)))
158154, 157mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1))
159136, 57lerecd 12791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ≤ (𝑥 + 1) ↔ (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
160158, 159mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
161110, 160syldan 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝐴)) → (1 / (𝑥 + 1)) ≤ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
162 rexr 11021 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
163 0xr 11022 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
164 lbicc2 13196 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
165163, 164mp3an1 1447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
166162, 165sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ (0[,]𝐴))
167 ubicc2 13197 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
168163, 167mp3an1 1447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
169162, 168sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
170 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
171 fv0p1e1 12096 . . . 4 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘1))
172 log1 25741 . . . 4 (log‘1) = 0
173171, 172eqtrdi 2794 . . 3 (𝑥 = 0 → (log‘(𝑥 + 1)) = 0)
174 fveq2 6774 . . . 4 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = (√‘0))
175 sqrt0 14953 . . . 4 (√‘0) = 0
176174, 175eqtrdi 2794 . . 3 (𝑥 = 0 → (√‘𝑥) = 0)
177 fvoveq1 7298 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘(𝑥 + 1)) = (log‘(𝐴 + 1)))
178 fveq2 6774 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
1792, 3, 51, 115, 128, 140, 161, 166, 169, 170, 173, 176, 177, 178dvle 25171 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0))
180 ge0p1rp 12761 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
181180relogcld 25778 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
182 resqrtcl 14965 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
183181, 182, 2lesub1d 11582 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴) ↔ ((log‘(𝐴 + 1)) − 0) ≤ ((√‘𝐴) − 0)))
184179, 183mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(𝐴 + 1)) ≤ (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ran crn 5590  cres 5591  wf 6429  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  [,]cicc 13082  cexp 13782  csqrt 14944  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  fldccnfld 20597  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375   ×t ctx 22711  cnccncf 24039   D cdv 25027  logclog 25710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713
This theorem is referenced by:  rplogsumlem1  26632
  Copyright terms: Public domain W3C validator