MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  loglesqrt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem loglesqrt 26597
Description: An upper bound on the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
loglesqrt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
Proof of Theorem loglesqrt
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11212 . . . 4 0 ∈ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
3 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 elicc2 13385 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
51, 3, 4sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
65biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
76simp1d 1139 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86simp2d 1140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
97, 8ge0p1rpd 13042 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
109fvresd 6901 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜(π‘₯ + 1)))
1110mpteq2dva 5238 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1))))
12 eqid 2724 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1312cnfldtopon 24609 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
147ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ))
1514ssrdv 3980 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† ℝ)
16 ax-resscn 11162 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1715, 16sstrdi 3986 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚)
18 resttopon 22975 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]𝐴)))
1913, 17, 18sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]𝐴)))
209fmpttd 7106 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+)
21 rpssre 12977 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† ℝ
2221, 16sstri 3983 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† β„‚
2312addcn 24691 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
25 ssid 3996 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
26 cncfmptid 24743 . . . . . . . . . . 11 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
2717, 25, 26sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ π‘₯) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
28 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
2925a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
30 cncfmptc 24742 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
3128, 17, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ 1) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
3212, 24, 27, 31cncfmpt2f 24745 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚))
33 cncfcdm 24728 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+))
3422, 32, 33sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)):(0[,]𝐴)βŸΆβ„+))
3520, 34mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+))
36 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴))
37 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
3812, 36, 37cncfcn 24740 . . . . . . . 8 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
3917, 22, 38sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
4035, 39eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (π‘₯ + 1)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
41 relogcn 26476 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
42 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4312, 37, 42cncfcn 24740 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4422, 16, 43mp2an 689 . . . . . . . 8 (ℝ+–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4541, 44eleqtri 2823 . . . . . . 7 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4719, 40, 46cnmpt11f 23478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4812, 36, 42cncfcn 24740 . . . . . 6 (((0[,]𝐴) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4917, 16, 48sylancl 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]𝐴)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5047, 49eleqtrrd 2828 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(π‘₯ + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
5111, 50eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1))) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
52 reelprrecn 11197 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5352a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
54 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
55 1rp 12974 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
56 rpaddcl 12992 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
5754, 55, 56sylancl 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
5857relogcld 26461 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) ∈ ℝ)
5958recnd 11238 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) ∈ β„‚)
6057rpreccld 13022 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ∈ ℝ+)
61 1cnd 11205 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
62 relogcl 26414 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6463recnd 11238 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
65 rpreccl 12996 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
6665adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
67 peano2re 11383 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6867adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6968recnd 11238 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ β„‚)
70 1cnd 11205 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
7116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
7271sselda 3974 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7353dvmptid 25799 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
74 0cnd 11203 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„‚)
7553, 28dvmptc 25800 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
7653, 72, 70, 73, 70, 74, 75dvmptadd 25802 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
77 1p0e1 12332 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
7877mpteq2i 5243 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1)
7976, 78eqtrdi 2780 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
8021a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
8112tgioo2 24629 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
82 ioorp 13398 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
83 iooretop 24592 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8482, 83eqeltrri 2822 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ℝ+ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8653, 69, 70, 79, 80, 81, 12, 85dvmptres 25805 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ + 1))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1))
87 relogf1o 26405 . . . . . . . . . . 11 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
88 f1of 6823 . . . . . . . . . . 11 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9089feqmptd 6950 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)))
91 fvres 6900 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘¦))
9291mpteq2ia 5241 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))
9390, 92eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦)))
9493oveq2d 7417 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))))
95 dvrelog 26475 . . . . . . 7 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
9694, 95eqtr3di 2779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
97 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜(π‘₯ + 1)))
98 oveq2 7409 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (π‘₯ + 1)))
9953, 53, 57, 61, 64, 66, 86, 96, 97, 98dvmptco 25814 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1)))
10060rpcnd 13014 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ∈ β„‚)
101100mulridd 11227 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1) = (1 / (π‘₯ + 1)))
102101mpteq2dva 5238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((1 / (π‘₯ + 1)) Β· 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
10399, 102eqtrd 2764 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
104 ioossicc 13406 . . . . . . . . 9 (0(,)𝐴) βŠ† (0[,]𝐴)
105104sseli 3970 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴))
106105, 7sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
107 eliooord 13379 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ (0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
108107simpld 494 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ 0 < π‘₯)
109108adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ 0 < π‘₯)
110106, 109elrpd 13009 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
111110ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
112111ssrdv 3980 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0(,)𝐴) βŠ† ℝ+)
113 iooretop 24592 . . . . 5 (0(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
114113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
11553, 59, 60, 103, 112, 81, 12, 114dvmptres 25805 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (logβ€˜(π‘₯ + 1)))) = (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (π‘₯ + 1))))
116 elrege0 13427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
1177, 8, 116sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
118117ex 412 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)))
119118ssrdv 3980 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (0[,]𝐴) βŠ† (0[,)+∞))
120119resabs1d 6002 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) = (√ β†Ύ (0[,]𝐴)))
121 sqrtf 15306 . . . . . . 7 √:β„‚βŸΆβ„‚
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ √:β„‚βŸΆβ„‚)
123122, 17feqresmpt 6951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (√ β†Ύ (0[,]𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
124120, 123eqtrd 2764 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)))
125 resqrtcn 26588 . . . . 5 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
126 rescncf 24727 . . . . 5 ((0[,]𝐴) βŠ† (0[,)+∞) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ)))
127119, 125, 126mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞)) β†Ύ (0[,]𝐴)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
128124, 127eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]𝐴)–cn→ℝ))
129 rpcn 12980 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
130129adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
131130sqrtcld 15380 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
132 2rp 12975 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
133 rpsqrtcl 15207 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
134133adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
135 rpmulcl 12993 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
136132, 134, 135sylancr 586 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
137136rpreccld 13022 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
138 dvsqrt 26580 . . . . 5 (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
139138a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
14053, 131, 137, 139, 112, 81, 12, 114dvmptres 25805 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0(,)𝐴) ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
141134rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
142 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
143 resubcl 11520 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
144141, 142, 143sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
145144sqge0d 14098 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2))
146130sqsqrtd 15382 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
147146oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
148147oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1) = ((π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
149 binom2sub1 14180 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
150131, 149syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
151136rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
152130, 61, 151addsubd 11588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = ((π‘₯ βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) + 1))
153148, 150, 1523eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βˆšβ€˜π‘₯) βˆ’ 1)↑2) = ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
154145, 153breqtrd 5164 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
15557rpred 13012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
156136rpred 13012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
157155, 156subge0d 11800 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ ((π‘₯ + 1) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ↔ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1)))
158154, 157mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1))
159136, 57lerecd 13031 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘₯ + 1) ↔ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
160158, 159mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
161110, 160syldan 590 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)𝐴)) β†’ (1 / (π‘₯ + 1)) ≀ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
162 rexr 11256 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
163 0xr 11257 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
164 lbicc2 13437 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
165163, 164mp3an1 1444 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
166162, 165sylan 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]𝐴))
167 ubicc2 13438 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
168163, 167mp3an1 1444 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
169162, 168sylan 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]𝐴))
170 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝐴)
171 fv0p1e1 12331 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜1))
172 log1 26424 . . . 4 (logβ€˜1) = 0
173171, 172eqtrdi 2780 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = 0)
174 fveq2 6881 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜0))
175 sqrt0 15184 . . . 4 (βˆšβ€˜0) = 0
176174, 175eqtrdi 2780 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = 0)
177 fvoveq1 7424 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜(π‘₯ + 1)) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
178 fveq2 6881 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
1792, 3, 51, 115, 128, 140, 161, 166, 169, 170, 173, 176, 177, 178dvle 25850 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) βˆ’ 0) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) βˆ’ 0))
180 ge0p1rp 13001 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
181180relogcld 26461 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
182 resqrtcl 15196 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ ℝ)
183181, 182, 2lesub1d 11817 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄) ↔ ((logβ€˜(𝐴 + 1)) βˆ’ 0) ≀ ((βˆšβ€˜π΄) βˆ’ 0)))
184179, 183mpbird 257 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ≀ (βˆšβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {cpr 4622   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   Β· cmul 11110  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 21223  TopOnctopon 22722   Cn ccn 23038   Γ—t ctx 23374  β€“cnβ†’ccncf 24706   D cdv 25702  logclog 26393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-fbas 21220  df-fg 21221  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cld 22833  df-ntr 22834  df-cls 22835  df-nei 22912  df-lp 22950  df-perf 22951  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-haus 23129  df-cmp 23201  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-fil 23660  df-fm 23752  df-flim 23753  df-flf 23754  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138  df-cncf 24708  df-limc 25705  df-dv 25706  df-log 26395  df-cxp 26396
This theorem is referenced by:  rplogsumlem1  27321
  Copyright terms: Public domain W3C validator