Theorem lfgrn1cycl 29892

Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfgrn1cycl.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrn1cycl	⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 29880	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		cycliswlk 29885	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		lfgrn1cycl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		lfgrn1cycl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	3, 4	lfgrwlknloop 29775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6		1nn 12177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
12		fv0p1e1 12291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
13	11, 12	neeq12d 2995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
14	13	rspcv 3556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
16	15	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
17		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
18	17	neeq2d 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
20	16, 19	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
22	21	necon2d 2957	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
23	5, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
24	23	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
25	24	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
26	25	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
27	1, 2, 26	sylc 65	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1))
28	27	com12 32	1 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5073  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11172  ℕcn 12166  2c2 12228  ..^cfzo 13600  ♯chash 14284  Vtxcvtx 29084  iEdgciedg 29085  Walkscwlks 29684  Pathscpths 29797  Cyclesccycls 29872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-wlks 29687  df-trls 29778  df-pths 29801  df-cycls 29874

This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  29894