Theorem lfgrn1cycl 30095

Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfgrn1cycl.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrn1cycl	⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 30083	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		cycliswlk 30088	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		lfgrn1cycl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		lfgrn1cycl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	3, 4	lfgrwlknloop 29978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6		1nn 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
12		fv0p1e1 12362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
13	11, 12	neeq12d 3025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
14	13	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15	10, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
16	15	impcom 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
17		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
18	17	neeq2d 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
22	21	necon2d 2987	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
23	5, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
24	23	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
25	24	com13 89	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
26	25	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
27	1, 2, 26	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1))
28	27	com12 33	1 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  2c2 12295  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  Walkscwlks 29887  Pathscpths 30000  Cyclesccycls 30075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-cycls 30077

This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  30097