MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrn1cycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfgrn1cycl 29323
Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfgrn1cycl.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
lfgrn1cycl.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
lfgrn1cycl (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem lfgrn1cycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 29314 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2 cycliswlk 29319 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 lfgrn1cycl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 lfgrn1cycl.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
53, 4lfgrwlknloop 29210 . . . . . . 7 ((𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
6 1nn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
7 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ↔ 1 ∈ β„•))
86, 7mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
9 lbfzo0 13677 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜0))
12 fv0p1e1 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜1))
1311, 12neeq12d 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
1413rspcv 3609 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
1615impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜1))
1817neeq2d 3000 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2016, 19mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
2120ex 412 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2221necon2d 2962 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
235, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2423ex 412 . . . . 5 (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
2524com13 88 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
2625adantl 481 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
271, 2, 26sylc 65 . 2 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2827com12 32 1 (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  2c2 12272  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Walkscwlks 29117  Pathscpths 29233  Cyclesccycls 29306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wlks 29120  df-trls 29213  df-pths 29237  df-cycls 29308
This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  29325
  Copyright terms: Public domain W3C validator