Theorem lfgrn1cycl 30276

Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfgrn1cycl.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrn1cycl	⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 30262	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		cycliswlk 30268	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		lfgrn1cycl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		lfgrn1cycl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	3, 4	lfgrwlknloop 30154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6		1nn 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 13758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
12		fv0p1e1 12389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
13	11, 12	neeq12d 3016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
14	13	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15	10, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
16	15	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
17		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
18	17	neeq2d 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
21	20	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
22	21	necon2d 2978	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
23	5, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
25	24	com13 89	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
27	1, 2, 26	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1))
28	27	com12 33	1 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  2c2 12322  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Vtxcvtx 29456  iEdgciedg 29457  Walkscwlks 30059  Pathscpths 30177  Cyclesccycls 30254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-wlks 30062  df-trls 30157  df-pths 30181  df-cycls 30256

This theorem is used by:  umgrn1cycl  30278