Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goaln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goaln0 34379
Description: The "Godel-set of universal quantification" is a Godel formula of at least height 1. (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
goaln0 (βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜π‘) β†’ 𝑁 β‰  βˆ…)
Distinct variable group:   𝐴,𝑖
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem goaln0
Dummy variables 𝑗 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-goal 34328 . . . 4 βˆ€π‘”π‘–π΄ = ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩
2 2on0 8481 . . . . . . . . . . . 12 2o β‰  βˆ…
32neii 2942 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 2o = βˆ…
43intnanr 488 . . . . . . . . . 10 Β¬ (2o = βˆ… ∧ βŸ¨π‘–, 𝐴⟩ = βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©)
5 2oex 8476 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
6 opex 5464 . . . . . . . . . . 11 βŸ¨π‘–, 𝐴⟩ ∈ V
75, 6opth 5476 . . . . . . . . . 10 (⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©βŸ© ↔ (2o = βˆ… ∧ βŸ¨π‘–, 𝐴⟩ = βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©))
84, 7mtbir 322 . . . . . . . . 9 Β¬ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©βŸ©
9 goel 34333 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—) = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©βŸ©)
109eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—) ↔ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘˜, π‘—βŸ©βŸ©))
118, 10mtbiri 326 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—))
1211rgen2 3197 . . . . . . 7 βˆ€π‘˜ ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)
13 ralnex2 3133 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—) ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—))
1412, 13mpbi 229 . . . . . 6 Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)
1514intnan 487 . . . . 5 Β¬ (⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ ∈ V ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—))
16 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (π‘₯ = ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ β†’ (π‘₯ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—) ↔ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)))
17162rexbidv 3219 . . . . . 6 (π‘₯ = ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)))
18 fmla0 34368 . . . . . 6 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)}
1917, 18elrab2 3686 . . . . 5 (⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…) ↔ (⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ ∈ V ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ = (π‘˜βˆˆπ‘”π‘—)))
2015, 19mtbir 322 . . . 4 Β¬ ⟨2o, βŸ¨π‘–, 𝐴⟩⟩ ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)
211, 20eqneltri 2852 . . 3 Β¬ βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)
22 fveq2 6891 . . . 4 (𝑁 = βˆ… β†’ (Fmlaβ€˜π‘) = (Fmlaβ€˜βˆ…))
2322eleq2d 2819 . . 3 (𝑁 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)))
2421, 23mtbiri 326 . 2 (𝑁 = βˆ… β†’ Β¬ βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜π‘))
2524necon2ai 2970 1 (βˆ€π‘”π‘–π΄ ∈ (Fmlaβ€˜π‘) β†’ 𝑁 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Ο‰com 7854  2oc2o 8459  βˆˆπ‘”cgoe 34319  βˆ€π‘”cgol 34321  Fmlacfmla 34323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-map 8821  df-goel 34326  df-goal 34328  df-sat 34329  df-fmla 34331
This theorem is referenced by:  goalr  34383
  Copyright terms: Public domain W3C validator