HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hmetdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hmetdval 28913
Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2h.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hm.4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hm.5 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
h2hmetdval ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (norm‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem h2hmetdval
StepHypRef Expression
1 h2h.2 . 2 𝑈 ∈ NrmCVec
2 h2hm.4 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3 h2h.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
43, 1, 2h2hvs 28912 . . 3 = ( −𝑣𝑈)
53, 1h2hnm 28911 . . 3 norm = (normCV𝑈)
6 h2hm.5 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
72, 4, 5, 6imsdval 28621 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (norm‘(𝐴 𝐵)))
81, 7mp3an1 1449 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (norm‘(𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cop 4522  cfv 6339  (class class class)co 7170  NrmCVeccnv 28519  BaseSetcba 28521  IndMetcims 28526  chba 28854   + cva 28855   · csm 28856  normcno 28858   cmv 28860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-sub 10950  df-neg 10951  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-gdiv 28431  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-vs 28534  df-nmcv 28535  df-ims 28536  df-hvsub 28906
This theorem is referenced by:  h2hcau  28914  h2hlm  28915  hhmetdval  29111
  Copyright terms: Public domain W3C validator