Theorem h2hmetdval 28407

Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hm.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hm.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem h2hmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		h2hm.4	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		h2h.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3, 1, 2	h2hvs 28406	. . 3 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 1	h2hnm 28405	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		h2hm.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 4, 5, 6	imsdval 28113	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
8	1, 7	mp3an1 1521	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4404  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  NrmCVeccnv 28011  BaseSetcba 28013  IndMetcims 28018   ℋchba 28348   +_ℎ cva 28349   ·_ℎ csm 28350  norm_ℎcno 28352   −_ℎ cmv 28354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-hvsub 28400

This theorem is referenced by:  h2hcau  28408  h2hlm  28409  hhmetdval  28605