Theorem h2hmetdval 31051

Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hm.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hm.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem h2hmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		h2hm.4	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		h2h.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3, 1, 2	h2hvs 31050	. . 3 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 1	h2hnm 31049	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		h2hm.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 4, 5, 6	imsdval 30759	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
8	1, 7	mp3an1 1451	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  NrmCVeccnv 30657  BaseSetcba 30659  IndMetcims 30664   ℋchba 30992   +_ℎ cva 30993   ·_ℎ csm 30994  norm_ℎcno 30996   −_ℎ cmv 30998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-ltxr 11186  df-sub 11381  df-neg 11382  df-grpo 30566  df-gid 30567  df-ginv 30568  df-gdiv 30569  df-ablo 30618  df-vc 30632  df-nv 30665  df-va 30668  df-ba 30669  df-sm 30670  df-0v 30671  df-vs 30672  df-nmcv 30673  df-ims 30674  df-hvsub 31044

This theorem is referenced by:  h2hcau  31052  h2hlm  31053  hhmetdval  31249