Theorem h2hmetdval 31462

Description: Value of the distance function of the metric space of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hm.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hm.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hmetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem h2hmetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		h2hm.4	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		h2h.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3, 1, 2	h2hvs 31461	. . 3 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 1	h2hnm 31460	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
6		h2hm.5	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 4, 5, 6	imsdval 31170	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
8	1, 7	mp3an1 1477	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴𝐷𝐵) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  NrmCVeccnv 31068  BaseSetcba 31070  IndMetcims 31075   ℋchba 31403   +_ℎ cva 31404   ·_ℎ csm 31405  norm_ℎcno 31407   −_ℎ cmv 31409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-hvsub 31455

This theorem is used by:  h2hcau  31463  h2hlm  31464  hhmetdval  31660