MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdval 28243
Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
imsdval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsdval.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
2 imsdval.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
3 imsdval.8 . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
41, 2, 3imsval 28242 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = (𝑁𝑀))
543ad2ant1 1113 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 = (𝑁𝑀))
65fveq1d 6503 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7 imsdval.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 1nvmf 28202 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
9 opelxpi 5445 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10 fvco3 6590 . . . . 5 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
118, 9, 10syl2an 586 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
12113impb 1095 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
136, 12eqtrd 2814 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
14 df-ov 6981 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
15 df-ov 6981 . . 3 (𝐴𝑀𝐵) = (𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
1615fveq2i 6504 . 2 (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2839 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cop 4448   × cxp 5406  ccom 5412  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  NrmCVeccnv 28141  BaseSetcba 28143  𝑣 cnsb 28146  normCVcnmcv 28147  IndMetcims 28148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-ltxr 10481  df-sub 10674  df-neg 10675  df-grpo 28050  df-gid 28051  df-ginv 28052  df-gdiv 28053  df-ablo 28102  df-vc 28116  df-nv 28149  df-va 28152  df-ba 28153  df-sm 28154  df-0v 28155  df-vs 28156  df-nmcv 28157  df-ims 28158
This theorem is referenced by:  imsdval2  28244  nvnd  28245  vacn  28251  smcnlem  28254  sspimsval  28295  blometi  28360  blocnilem  28361  ubthlem2  28429  minvecolem2  28433  minvecolem4  28438  minvecolem5  28439  minvecolem6  28440  h2hmetdval  28537  hhssmetdval  28837
  Copyright terms: Public domain W3C validator