MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdval 29670
Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
imsdval.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
imsdval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
imsdval.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imsdval ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)))

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
2 imsdval.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
3 imsdval.8 . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
41, 2, 3imsval 29669 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 = (𝑁 ∘ 𝑀))
543ad2ant1 1134 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 = (𝑁 ∘ 𝑀))
65fveq1d 6845 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
7 imsdval.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
87, 1nvmf 29629 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
9 opelxpi 5671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
10 fvco3 6941 . . . . 5 ((𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
118, 9, 10syl2an 597 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
12113impb 1116 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
136, 12eqtrd 2773 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
14 df-ov 7361 . 2 (𝐴𝐷𝐡) = (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
15 df-ov 7361 . . 3 (𝐴𝑀𝐡) = (π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
1615fveq2i 6846 . 2 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2798 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585
This theorem is referenced by:  imsdval2  29671  nvnd  29672  vacn  29678  smcnlem  29681  sspimsval  29722  blometi  29787  blocnilem  29788  ubthlem2  29855  minvecolem2  29859  minvecolem4  29864  minvecolem5  29865  minvecolem6  29866  h2hmetdval  29962  hhssmetdval  30261
  Copyright terms: Public domain W3C validator