MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdval 28472
Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
imsdval.6 𝑁 = (normCV𝑈)
imsdval.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
2 imsdval.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
3 imsdval.8 . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
41, 2, 3imsval 28471 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = (𝑁𝑀))
543ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 = (𝑁𝑀))
65fveq1d 6663 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7 imsdval.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 1nvmf 28431 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
9 opelxpi 5579 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10 fvco3 6751 . . . . 5 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
118, 9, 10syl2an 598 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
12113impb 1112 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝑀)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
136, 12eqtrd 2859 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
14 df-ov 7152 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
15 df-ov 7152 . . 3 (𝐴𝑀𝐵) = (𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
1615fveq2i 6664 . 2 (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝑀‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2884 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cop 4556   × cxp 5540  ccom 5546  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  NrmCVeccnv 28370  BaseSetcba 28372  𝑣 cnsb 28375  normCVcnmcv 28376  IndMetcims 28377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387
This theorem is referenced by:  imsdval2  28473  nvnd  28474  vacn  28480  smcnlem  28483  sspimsval  28524  blometi  28589  blocnilem  28590  ubthlem2  28657  minvecolem2  28661  minvecolem4  28666  minvecolem5  28667  minvecolem6  28668  h2hmetdval  28764  hhssmetdval  29063
  Copyright terms: Public domain W3C validator