MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdval 30516
Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
imsdval.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
imsdval.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
imsdval.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imsdval ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)))

Proof of Theorem imsdval
StepHypRef Expression
1 imsdval.3 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
2 imsdval.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
3 imsdval.8 . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
41, 2, 3imsval 30515 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 = (𝑁 ∘ 𝑀))
543ad2ant1 1130 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 = (𝑁 ∘ 𝑀))
65fveq1d 6904 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
7 imsdval.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
87, 1nvmf 30475 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
9 opelxpi 5719 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
10 fvco3 7002 . . . . 5 ((𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
118, 9, 10syl2an 594 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
12113impb 1112 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∘ 𝑀)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
136, 12eqtrd 2768 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
14 df-ov 7429 . 2 (𝐴𝐷𝐡) = (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
15 df-ov 7429 . . 3 (𝐴𝑀𝐡) = (π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
1615fveq2i 6905 . 2 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘β€˜(π‘€β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
1713, 14, 163eqtr4g 2793 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416   βˆ’π‘£ cnsb 30419  normCVcnmcv 30420  IndMetcims 30421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431
This theorem is referenced by:  imsdval2  30517  nvnd  30518  vacn  30524  smcnlem  30527  sspimsval  30568  blometi  30633  blocnilem  30634  ubthlem2  30701  minvecolem2  30705  minvecolem4  30710  minvecolem5  30711  minvecolem6  30712  h2hmetdval  30808  hhssmetdval  31107
  Copyright terms: Public domain W3C validator