HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 30221
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2hl.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
h2hlm 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 30213 . . 3 𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)}
21relopabiv 5819 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 6009 . 2 Rel ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
41eleq2i 2826 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)})
5 opabidw 5524 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
6 h2hl.3 . . . . . . . 8 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
76hlex 30139 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
8 nnex 12215 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
97, 8elmap 8862 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
109anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
11 df-br 5149 . . . . . . 7 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽))
12 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
14 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
156, 14imsxmet 29933 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
1613, 15mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17 nnuz 12862 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 12590 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑘))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2112, 16, 17, 18, 19, 20lmmbrf 24771 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22 eluznn 12899 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
24 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2524, 13, 6, 14h2hmetdval 30219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2623, 25sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2726breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
2827an32s 651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
2922, 28sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3029anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3130ralbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3231rexbidva 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3332ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3433pm5.32da 580 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3521, 34bitrd 279 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3611, 35bitr3id 285 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3736pm5.32i 576 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3810, 37bitr2i 276 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
39 anass 470 . . . 4 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
40 opelres 5986 . . . . 5 (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽))))
4140elv 3481 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
4238, 39, 413bitr4i 303 . . 3 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
434, 5, 423bitri 297 . 2 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
442, 3, 43eqrelriiv 5789 1 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210  cres 5678  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  m cmap 8817  1c1 11108   < clt 11245  cn 12209  cuz 12819  +crp 12971  ∞Metcxmet 20922  MetOpencmopn 20927  𝑡clm 22722  NrmCVeccnv 29825  BaseSetcba 29827  IndMetcims 29832  chba 30160   + cva 30161   · csm 30162  normcno 30164   cmv 30166  𝑣 chli 30168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-lm 22725  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-hvsub 30212  df-hlim 30213
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30239  hlimadd  30434  hhlm  30440
  Copyright terms: Public domain W3C validator