HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 30228
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hl.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hl.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
h2hlm ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 30220 . . 3 ⇝𝑣 = {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)}
21relopabiv 5820 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 6010 . 2 Rel ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
41eleq2i 2825 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)})
5 opabidw 5524 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
6 h2hl.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
76hlex 30146 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
8 nnex 12217 . . . . . . 7 β„• ∈ V
97, 8elmap 8864 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
109anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
11 df-br 5149 . . . . . . 7 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
12 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
13 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
14 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
156, 14imsxmet 29940 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1613, 15mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
17 nnuz 12864 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
18 1zzd 12592 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
19 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2112, 16, 17, 18, 19, 20lmmbrf 24778 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦)))
22 eluznn 12901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
23 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
24 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 13, 6, 14h2hmetdval 30226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2623, 25sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2726breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2827an32s 650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2922, 28sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3029anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3130ralbidva 3175 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3231rexbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3332ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3433pm5.32da 579 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3521, 34bitrd 278 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3611, 35bitr3id 284 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3736pm5.32i 575 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3810, 37bitr2i 275 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
39 anass 469 . . . 4 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
40 opelres 5987 . . . . 5 (π‘₯ ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))))
4140elv 3480 . . . 4 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
4238, 39, 413bitr4i 302 . . 3 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
434, 5, 423bitri 296 . 2 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
442, 3, 43eqrelriiv 5790 1 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  1c1 11110   < clt 11247  β„•cn 12211  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  β‡π‘‘clm 22729  NrmCVeccnv 29832  BaseSetcba 29834  IndMetcims 29839   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171   βˆ’β„Ž cmv 30173   ⇝𝑣 chli 30175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-lm 22732  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-hvsub 30219  df-hlim 30220
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30246  hlimadd  30441  hhlm  30447
  Copyright terms: Public domain W3C validator