Theorem h2hlm 31067

Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hl.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hl.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
h2hlm	⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hlim 31059	. . 3 ⊢ ⇝𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)}
2	1	relopabiv 5777	. 2 ⊢ Rel ⇝𝑣
3		relres 5972	. 2 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
4	1	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)})
5		opabidw 5480	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
6		h2hl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
7	6	hlex 30985	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		nnex 12163	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
9	7, 8	elmap 8821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
10	9	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
11		df-br 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))
12		h2hl.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13		h2hl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14		h2hl.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
15	6, 14	imsxmet 30779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
16	13, 15	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17		nnuz 12802	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
18		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
20		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
21	12, 16, 17, 18, 19, 20	lmmbrf 25230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22		eluznn 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24		h2hl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 13, 6, 14	h2hmetdval 31065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
26	23, 25	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
27	26	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
28	27	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
29	22, 28	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
30	29	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
31	30	ralbidva 3159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
32	31	rexbidva 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
33	32	ralbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
34	33	pm5.32da 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
35	21, 34	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
36	11, 35	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
37	36	pm5.32i 574	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
38	10, 37	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
39		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
40		opelres 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))))
41	40	elv 3447	. . . 4 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
42	38, 39, 41	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
43	4, 5, 42	3bitri 297	. 2 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
44	2, 3, 43	eqrelriiv 5747	1 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  1c1 11039   < clt 11178  ℕcn 12157  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  ∞Metcxmet 21306  MetOpencmopn 21311  ⇝_𝑡clm 23182  NrmCVeccnv 30671  BaseSetcba 30673  IndMetcims 30678   ℋchba 31006   +_ℎ cva 31007   ·_ℎ csm 31008  norm_ℎcno 31010   −_ℎ cmv 31012   ⇝_𝑣 chli 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-lm 23185  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-hvsub 31058  df-hlim 31059

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  31085  hlimadd  31280  hhlm  31286