Theorem h2hlm 30233

Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hl.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hl.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
h2hlm	⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hlim 30225	. . 3 ⊢ ⇝𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)}
2	1	relopabiv 5821	. 2 ⊢ Rel ⇝𝑣
3		relres 6011	. 2 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
4	1	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)})
5		opabidw 5525	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
6		h2hl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
7	6	hlex 30151	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		nnex 12218	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
9	7, 8	elmap 8865	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
10	9	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
11		df-br 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))
12		h2hl.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13		h2hl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14		h2hl.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
15	6, 14	imsxmet 29945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
16	13, 15	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17		nnuz 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
18		1zzd 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
20		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
21	12, 16, 17, 18, 19, 20	lmmbrf 24779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22		eluznn 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		ffvelcdm 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24		h2hl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 13, 6, 14	h2hmetdval 30231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
26	23, 25	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
27	26	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
28	27	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
29	22, 28	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
30	29	anassrs 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
31	30	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
32	31	rexbidva 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
33	32	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
34	33	pm5.32da 580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
35	21, 34	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
36	11, 35	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
37	36	pm5.32i 576	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
38	10, 37	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
39		anass 470	. . . 4 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
40		opelres 5988	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))))
41	40	elv 3481	. . . 4 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
42	38, 39, 41	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
43	4, 5, 42	3bitri 297	. 2 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
44	2, 3, 43	eqrelriiv 5791	1 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  1c1 11111   < clt 11248  ℕcn 12212  ℤ_≥cuz 12822  ℝ⁺crp 12974  ∞Metcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  ⇝_𝑡clm 22730  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  IndMetcims 29844   ℋchba 30172   +_ℎ cva 30173   ·_ℎ csm 30174  norm_ℎcno 30176   −_ℎ cmv 30178   ⇝_𝑣 chli 30180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-hvsub 30224  df-hlim 30225

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30251  hlimadd  30446  hhlm  30452