HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 30498
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hl.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hl.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
h2hlm ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 30490 . . 3 ⇝𝑣 = {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)}
21relopabiv 5821 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 6011 . 2 Rel ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
41eleq2i 2823 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)})
5 opabidw 5525 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
6 h2hl.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
76hlex 30416 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
8 nnex 12224 . . . . . . 7 β„• ∈ V
97, 8elmap 8869 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
109anbi1i 622 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
11 df-br 5150 . . . . . . 7 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
12 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
13 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
14 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
156, 14imsxmet 30210 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1613, 15mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
17 nnuz 12871 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
18 1zzd 12599 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
19 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2112, 16, 17, 18, 19, 20lmmbrf 25012 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦)))
22 eluznn 12908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
23 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
24 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 13, 6, 14h2hmetdval 30496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2623, 25sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2726breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2827an32s 648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2922, 28sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3029anassrs 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3130ralbidva 3173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3231rexbidva 3174 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3332ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3433pm5.32da 577 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3521, 34bitrd 278 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3611, 35bitr3id 284 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3736pm5.32i 573 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3810, 37bitr2i 275 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
39 anass 467 . . . 4 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
40 opelres 5988 . . . . 5 (π‘₯ ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))))
4140elv 3478 . . . 4 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
4238, 39, 413bitr4i 302 . . 3 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
434, 5, 423bitri 296 . 2 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
442, 3, 43eqrelriiv 5791 1 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8824  1c1 11115   < clt 11254  β„•cn 12218  β„€β‰₯cuz 12828  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21131  MetOpencmopn 21136  β‡π‘‘clm 22952  NrmCVeccnv 30102  BaseSetcba 30104  IndMetcims 30109   β„‹chba 30437   +β„Ž cva 30438   Β·β„Ž csm 30439  normβ„Žcno 30441   βˆ’β„Ž cmv 30443   ⇝𝑣 chli 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-lm 22955  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-hvsub 30489  df-hlim 30490
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30516  hlimadd  30711  hhlm  30717
  Copyright terms: Public domain W3C validator