Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 28867
 Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2hl.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
h2hlm 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 28859 . . 3 𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)}
21relopabiv 5666 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 5856 . 2 Rel ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
41eleq2i 2843 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)})
5 opabidw 5385 . . 3 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
6 h2hl.3 . . . . . . . 8 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
76hlex 28785 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
8 nnex 11685 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
97, 8elmap 8458 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
109anbi1i 626 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
11 df-br 5036 . . . . . . 7 (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽))
12 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
14 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
156, 14imsxmet 28579 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
1613, 15mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17 nnuz 12326 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 12057 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19 eqidd 2759 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑘))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2112, 16, 17, 18, 19, 20lmmbrf 23967 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22 eluznn 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23 ffvelrn 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
24 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2524, 13, 6, 14h2hmetdval 28865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2623, 25sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓𝑘)𝐷𝑥) = (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)))
2726breq1d 5045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
2827an32s 651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
2922, 28sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3029anassrs 471 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3130ralbidva 3125 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3231rexbidva 3220 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3332ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦))
3433pm5.32da 582 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3521, 34bitrd 282 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3611, 35bitr3id 288 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3736pm5.32i 578 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
3810, 37bitr2i 279 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
39 anass 472 . . . 4 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦)))
40 opelres 5833 . . . . 5 (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽))))
4140elv 3415 . . . 4 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡𝐽)))
4238, 39, 413bitr4i 306 . . 3 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑘) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
434, 5, 423bitri 300 . 2 (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
442, 3, 43eqrelriiv 5636 1 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035  {copab 5097   ↾ cres 5529  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑m cmap 8421  1c1 10581   < clt 10718  ℕcn 11679  ℤ≥cuz 12287  ℝ+crp 12435  ∞Metcxmet 20156  MetOpencmopn 20161  ⇝𝑡clm 21931  NrmCVeccnv 28471  BaseSetcba 28473  IndMetcims 28478   ℋchba 28806   +ℎ cva 28807   ·ℎ csm 28808  normℎcno 28810   −ℎ cmv 28812   ⇝𝑣 chli 28814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-topgen 16780  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-top 21599  df-topon 21616  df-bases 21651  df-lm 21934  df-grpo 28380  df-gid 28381  df-ginv 28382  df-gdiv 28383  df-ablo 28432  df-vc 28446  df-nv 28479  df-va 28482  df-ba 28483  df-sm 28484  df-0v 28485  df-vs 28486  df-nmcv 28487  df-ims 28488  df-hvsub 28858  df-hlim 28859 This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28885  hlimadd  29080  hhlm  29086
 Copyright terms: Public domain W3C validator