Theorem h2hlm 31298

Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hl.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hl.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hl.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hl.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
h2hl.5	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
h2hlm	⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hlm

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hlim 31290	. . 3 ⊢ ⇝𝑣 = {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)}
2	1	relopabiv 5807	. 2 ⊢ Rel ⇝𝑣
3		relres 6004	. 2 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
4	1	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)})
5		opabidw 5508	. . 3 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑥⟩ ∣ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
6		h2hl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
7	6	hlex 31216	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
8		nnex 12238	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
9	7, 8	elmap 8868	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
10	9	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
11		df-br 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))
12		h2hl.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13		h2hl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
14		h2hl.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
15	6, 14	imsxmet 31010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
16	13, 15	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
17		nnuz 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
18		1zzd 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
19		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
20		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
21	12, 16, 17, 18, 19, 20	lmmbrf 25400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦)))
22		eluznn 12941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24		h2hl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 13, 6, 14	h2hmetdval 31296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓‘𝑘) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
26	23, 25	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) = (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)))
27	26	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
28	27	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
29	22, 28	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
30	29	anassrs 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
31	30	ralbidva 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
32	31	rexbidva 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
33	32	ralbidv 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦))
34	33	pm5.32da 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑘)𝐷𝑥) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
35	21, 34	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
36	11, 35	bitr3id 288	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
37	36	pm5.32i 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
38	10, 37	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
39		anass 473	. . . 4 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ (𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦)))
40		opelres 5984	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽))))
41	40	elv 3458	. . . 4 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘𝐽)))
42	38, 39, 41	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑘) −ℎ 𝑥)) < 𝑦) ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
43	4, 5, 42	3bitri 300	. 2 ⊢ (⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ ⟨𝑓, 𝑥⟩ ∈ ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
44	2, 3, 43	eqrelriiv 5776	1 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3453  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  {copab 5172   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  1c1 11100   < clt 11242  ℕcn 12232  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  ∞Metcxmet 21486  MetOpencmopn 21491  ⇝_𝑡clm 23362  NrmCVeccnv 30902  BaseSetcba 30904  IndMetcims 30909   ℋchba 31237   +_ℎ cva 31238   ·_ℎ csm 31239  norm_ℎcno 31241   −_ℎ cmv 31243   ⇝_𝑣 chli 31245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-lm 23365  df-grpo 30811  df-gid 30812  df-ginv 30813  df-gdiv 30814  df-ablo 30863  df-vc 30877  df-nv 30910  df-va 30913  df-ba 30914  df-sm 30915  df-0v 30916  df-vs 30917  df-nmcv 30918  df-ims 30919  df-hvsub 31289  df-hlim 31290

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  31316  hlimadd  31511  hhlm  31517