HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hlm 29971
Description: The limit sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hl.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hl.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hl.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
h2hl.5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
h2hlm ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))

Proof of Theorem h2hlm
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hlim 29963 . . 3 ⇝𝑣 = {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)}
21relopabiv 5780 . 2 Rel ⇝𝑣
3 relres 5970 . 2 Rel ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
41eleq2i 2826 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)})
5 opabidw 5485 . . 3 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∣ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)} ↔ ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
6 h2hl.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
76hlex 29889 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
8 nnex 12167 . . . . . . 7 β„• ∈ V
97, 8elmap 8815 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
109anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
11 df-br 5110 . . . . . . 7 (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))
12 h2hl.5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
13 h2hl.2 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
14 h2hl.4 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
156, 14imsxmet 29683 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1613, 15mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
17 nnuz 12814 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
18 1zzd 12542 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
19 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2112, 16, 17, 18, 19, 20lmmbrf 24649 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦)))
22 eluznn 12851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
23 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
24 h2hl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 13, 6, 14h2hmetdval 29969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2623, 25sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)))
2726breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2827an32s 651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
2922, 28sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3029anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3130ralbidva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3231rexbidva 3170 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3332ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦))
3433pm5.32da 580 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘˜)𝐷π‘₯) < 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3521, 34bitrd 279 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3611, 35bitr3id 285 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3736pm5.32i 576 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
3810, 37bitr2i 276 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
39 anass 470 . . . 4 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦)))
40 opelres 5947 . . . . 5 (π‘₯ ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½))))
4140elv 3453 . . . 4 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ (β‡π‘‘β€˜π½)))
4238, 39, 413bitr4i 303 . . 3 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’β„Ž π‘₯)) < 𝑦) ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
434, 5, 423bitri 297 . 2 (βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ⇝𝑣 ↔ βŸ¨π‘“, π‘₯⟩ ∈ ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)))
442, 3, 43eqrelriiv 5750 1 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜π½) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109  {copab 5171   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  1c1 11060   < clt 11197  β„•cn 12161  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600  NrmCVeccnv 29575  BaseSetcba 29577  IndMetcims 29582   β„‹chba 29910   +β„Ž cva 29911   Β·β„Ž csm 29912  normβ„Žcno 29914   βˆ’β„Ž cmv 29916   ⇝𝑣 chli 29918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-hvsub 29962  df-hlim 29963
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  29989  hlimadd  30184  hhlm  30190
  Copyright terms: Public domain W3C validator