Theorem h2hvs 28760

Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2h.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hvs	⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem h2hvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hvsub 28754	. 2 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
2		h2h.2	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		h2h.4	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
4		h2h.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4, 2	h2hva 28757	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 2	h2hsm 28758	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	3, 5, 6, 7	nvmfval 28427	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
9	2, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
10	1, 9	eqtr4i 2824	1 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  1c1 10527  -cneg 10860  NrmCVeccnv 28367  BaseSetcba 28369   −_𝑣 cnsb 28372   ℋchba 28702   +_ℎ cva 28703   ·_ℎ csm 28704  norm_ℎcno 28706   −_ℎ cmv 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-hvsub 28754

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  28761  hhvs  28953