HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hvs 28185
Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2h.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2h.4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
h2hvs = ( −𝑣𝑈)

Proof of Theorem h2hvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hvsub 28179 . 2 = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2 h2h.2 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
3 h2h.4 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
4 h2h.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
54, 2h2hva 28182 . . . 4 + = ( +𝑣𝑈)
64, 2h2hsm 28183 . . . 4 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2817 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
83, 5, 6, 7nvmfval 27850 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
92, 8ax-mp 5 . 2 ( −𝑣𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
101, 9eqtr4i 2842 1 = ( −𝑣𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  cop 4387  cfv 6111  (class class class)co 6884  cmpt2 6886  1c1 10232  -cneg 10562  NrmCVeccnv 27790  BaseSetcba 27792  𝑣 cnsb 27795  chil 28127   + cva 28128   · csm 28129  normcno 28131   cmv 28133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-po 5245  df-so 5246  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-ltxr 10374  df-sub 10563  df-neg 10564  df-grpo 27699  df-gid 27700  df-ginv 27701  df-gdiv 27702  df-ablo 27751  df-vc 27765  df-nv 27798  df-va 27801  df-ba 27802  df-sm 27803  df-0v 27804  df-vs 27805  df-nmcv 27806  df-hvsub 28179
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  28186  hhvs  28378
  Copyright terms: Public domain W3C validator