Theorem h2hvs 31270

Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2h.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hvs	⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem h2hvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hvsub 31264	. 2 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
2		h2h.2	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		h2h.4	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
4		h2h.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4, 2	h2hva 31267	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 2	h2hsm 31268	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	3, 5, 6, 7	nvmfval 30937	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
9	2, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
10	1, 9	eqtr4i 2795	1 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1c1 11101  -cneg 11442  NrmCVeccnv 30877  BaseSetcba 30879   −_𝑣 cnsb 30882   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213   ·_ℎ csm 31214  norm_ℎcno 31216   −_ℎ cmv 31218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ginv 30788  df-gdiv 30789  df-ablo 30838  df-vc 30852  df-nv 30885  df-va 30888  df-ba 30889  df-sm 30890  df-0v 30891  df-vs 30892  df-nmcv 30893  df-hvsub 31264

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  31271  hhvs  31463