Theorem h2hvs 30879

Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2h.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2h.4	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hvs	⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Proof of Theorem h2hvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hvsub 30873	. 2 ⊢ −ℎ = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
2		h2h.2	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		h2h.4	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
4		h2h.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
5	4, 2	h2hva 30876	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 2	h2hsm 30877	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	3, 5, 6, 7	nvmfval 30546	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
9	2, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ, 𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
10	1, 9	eqtr4i 2755	1 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1c1 11045  -cneg 11382  NrmCVeccnv 30486  BaseSetcba 30488   −_𝑣 cnsb 30491   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823  norm_ℎcno 30825   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  30880  hhvs  31072