HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hvs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem h2hvs 30225
Description: The vector subtraction operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2h.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2h.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2h.4 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
h2hvs βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Proof of Theorem h2hvs
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-hvsub 30219 . 2 βˆ’β„Ž = (π‘₯ ∈ β„‹, 𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
2 h2h.2 . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 h2h.4 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 h2h.1 . . . . 5 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
54, 2h2hva 30222 . . . 4 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
64, 2h2hsm 30223 . . . 4 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
83, 5, 6, 7nvmfval 29892 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ β„‹, 𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦))))
92, 8ax-mp 5 . 2 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = (π‘₯ ∈ β„‹, 𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘₯ +β„Ž (-1 Β·β„Ž 𝑦)))
101, 9eqtr4i 2763 1 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1c1 11110  -cneg 11444  NrmCVeccnv 29832  BaseSetcba 29834   βˆ’π‘£ cnsb 29837   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171   βˆ’β„Ž cmv 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-hvsub 30219
This theorem is referenced by:  h2hmetdval  30226  hhvs  30418
  Copyright terms: Public domain W3C validator