Theorem h2hcau 29341

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hc.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hcau

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3073	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
2		df-hcau 29335	. 2 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥}
3		elin 3903	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		ancom 461	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5		h2hc.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	5	hlex 29260	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
7		nnex 11979	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	6, 7	elmap 8659	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9		nnuz 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		h2hc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		h2hc.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
12	5, 11	imsxmet 29054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
13	10, 12	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
16		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
17		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	iscauf 24444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥))
19		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
21		eluznn 12658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24	23	anassrs 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
25		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
26	25, 10, 5, 11	h2hmetdval 29340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
27	20, 24, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
28	27	breq1d 5084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
30	29	rexbidva 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
32	18, 31	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
33	8, 32	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
34	33	pm5.32i 575	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
35	3, 4, 34	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
36	35	abbi2i 2879	. 2 ⊢ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
37	1, 2, 36	3eqtr4i 2776	1 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∩ cin 3886  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  Cauccau 24417  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948  IndMetcims 28953   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ℎ csm 29283  norm_ℎcno 29285   −_ℎ cmv 29287  Cauchyccauold 29288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-cau 24420  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-hvsub 29333  df-hcau 29335

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  29360  hhcau  29560