HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem h2hcau 30227
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hc.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hc.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hc.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3433 . 2 {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
2 df-hcau 30221 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯}
3 elin 3964 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
4 ancom 461 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
65hlex 30146 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
7 nnex 12217 . . . . . . 7 β„• ∈ V
86, 7elmap 8864 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
9 nnuz 12864 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
125, 11imsxmet 29940 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
14 1zzd 12592 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
15 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
16 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘—))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 24796 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯))
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
21 eluznn 12901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2321, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2423anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 30226 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2720, 24, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2827breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
2928ralbidva 3175 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3029rexbidva 3176 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3130ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3218, 31bitrd 278 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
338, 32sylbi 216 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3433pm5.32i 575 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
353, 4, 343bitri 296 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3635eqabi 2869 . 2 ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
371, 2, 363eqtr4i 2770 1 Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  1c1 11110   < clt 11247  β„•cn 12211  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  Cauccau 24769  NrmCVeccnv 29832  BaseSetcba 29834  IndMetcims 29839   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  normβ„Žcno 30171   βˆ’β„Ž cmv 30173  Cauchyccauold 30174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-cau 24772  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-hvsub 30219  df-hcau 30221
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30246  hhcau  30446
  Copyright terms: Public domain W3C validator