HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem h2hcau 30845
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hc.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hc.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hc.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3420 . 2 {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
2 df-hcau 30839 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯}
3 elin 3961 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
4 ancom 459 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
65hlex 30764 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
7 nnex 12248 . . . . . . 7 β„• ∈ V
86, 7elmap 8888 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
9 nnuz 12895 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
125, 11imsxmet 30558 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
14 1zzd 12623 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
15 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
16 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘—))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 25238 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯))
19 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
21 eluznn 12932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2321, 22sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2423anassrs 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 30844 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2720, 24, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2827breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
2928ralbidva 3166 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3029rexbidva 3167 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3130ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3218, 31bitrd 278 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
338, 32sylbi 216 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3433pm5.32i 573 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
353, 4, 343bitri 296 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3635eqabi 2861 . 2 ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
371, 2, 363eqtr4i 2763 1 Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   ∩ cin 3944  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑m cmap 8843  1c1 11139   < clt 11278  β„•cn 12242  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  βˆžMetcxmet 21268  Cauccau 25211  NrmCVeccnv 30450  BaseSetcba 30452  IndMetcims 30457   β„‹chba 30785   +β„Ž cva 30786   Β·β„Ž csm 30787  normβ„Žcno 30789   βˆ’β„Ž cmv 30791  Cauchyccauold 30792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-cau 25214  df-grpo 30359  df-gid 30360  df-ginv 30361  df-gdiv 30362  df-ablo 30411  df-vc 30425  df-nv 30458  df-va 30461  df-ba 30462  df-sm 30463  df-0v 30464  df-vs 30465  df-nmcv 30466  df-ims 30467  df-hvsub 30837  df-hcau 30839
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30864  hhcau  31064
  Copyright terms: Public domain W3C validator