HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem h2hcau 30776
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hc.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hc.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hc.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3428 . 2 {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
2 df-hcau 30770 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯}
3 elin 3960 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
4 ancom 460 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
65hlex 30695 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
7 nnex 12240 . . . . . . 7 β„• ∈ V
86, 7elmap 8881 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
9 nnuz 12887 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
125, 11imsxmet 30489 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
14 1zzd 12615 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
15 eqidd 2728 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
16 eqidd 2728 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘—))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 25195 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯))
19 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
21 eluznn 12924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2321, 22sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2423anassrs 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 30775 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2720, 24, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2827breq1d 5152 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
2928ralbidva 3170 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3029rexbidva 3171 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3130ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3218, 31bitrd 279 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
338, 32sylbi 216 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3433pm5.32i 574 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
353, 4, 343bitri 297 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3635eqabi 2864 . 2 ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
371, 2, 363eqtr4i 2765 1 Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   ∩ cin 3943  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  1c1 11131   < clt 11270  β„•cn 12234  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  βˆžMetcxmet 21251  Cauccau 25168  NrmCVeccnv 30381  BaseSetcba 30383  IndMetcims 30388   β„‹chba 30716   +β„Ž cva 30717   Β·β„Ž csm 30718  normβ„Žcno 30720   βˆ’β„Ž cmv 30722  Cauchyccauold 30723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-cau 25171  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-gdiv 30293  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-vs 30396  df-nmcv 30397  df-ims 30398  df-hvsub 30768  df-hcau 30770
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30795  hhcau  30995
  Copyright terms: Public domain W3C validator