Theorem h2hcau 31240

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hc.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hcau

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3418	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
2		df-hcau 31234	. 2 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥}
3		elin 3923	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5		h2hc.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	5	hlex 31159	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
7		nnex 12230	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	6, 7	elmap 8857	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9		nnuz 12892	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		h2hc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		h2hc.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
12	5, 11	imsxmet 30953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
13	10, 12	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14		1zzd 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
16		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
17		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	iscauf 25400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥))
19		ffvelcdm 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
21		eluznn 12933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		ffvelcdm 7066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
23	21, 22	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24	23	anassrs 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
25		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
26	25, 10, 5, 11	h2hmetdval 31239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
27	20, 24, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
28	27	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
30	29	rexbidva 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
32	18, 31	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
33	8, 32	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
34	33	pm5.32i 584	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
35	3, 4, 34	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
36	35	eqabi 2900	. 2 ⊢ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
37	1, 2, 36	3eqtr4i 2798	1 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ∩ cin 3906  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  1c1 11089   < clt 11231  ℕcn 12224  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ∞Metcxmet 21467  Cauccau 25373  NrmCVeccnv 30845  BaseSetcba 30847  IndMetcims 30852   ℋchba 31180   +_ℎ cva 31181   ·_ℎ csm 31182  norm_ℎcno 31184   −_ℎ cmv 31186  Cauchyccauold 31187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-cau 25376  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-hvsub 31232  df-hcau 31234

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  31259  hhcau  31459