HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem h2hcau 30263
Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
h2hc.2 π‘ˆ ∈ NrmCVec
h2hc.3 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
h2hc.4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3434 . 2 {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
2 df-hcau 30257 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯}
3 elin 3965 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
4 ancom 462 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 β„‹ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
65hlex 30182 . . . . . . 7 β„‹ ∈ V
7 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
86, 7elmap 8865 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
9 nnuz 12865 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
125, 11imsxmet 29976 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜ β„‹))
14 1zzd 12593 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 1 ∈ β„€)
15 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
16 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘—))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 24797 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯))
19 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹)
21 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2321, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
2423anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 30262 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘—) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2720, 24, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) = (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))))
2827breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ (normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
2928ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆ β„‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3029rexbidva 3177 . . . . . . . 8 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3130ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘“β€˜π‘—)𝐷(π‘“β€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3218, 31bitrd 279 . . . . . 6 (𝑓:β„•βŸΆ β„‹ β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
338, 32sylbi 216 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3433pm5.32i 576 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
353, 4, 343bitri 297 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) ↔ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯))
3635eqabi 2870 . 2 ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(normβ„Žβ€˜((π‘“β€˜π‘—) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜))) < π‘₯)}
371, 2, 363eqtr4i 2771 1 Cauchy = ((Cauβ€˜π·) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  1c1 11111   < clt 11248  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Cauccau 24770  NrmCVeccnv 29868  BaseSetcba 29870  IndMetcims 29875   β„‹chba 30203   +β„Ž cva 30204   Β·β„Ž csm 30205  normβ„Žcno 30207   βˆ’β„Ž cmv 30209  Cauchyccauold 30210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-cau 24773  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-gdiv 29780  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-vs 29883  df-nmcv 29884  df-ims 29885  df-hvsub 30255  df-hcau 30257
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30282  hhcau  30482
  Copyright terms: Public domain W3C validator