Theorem h2hcau 28361

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hc.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))

Proof of Theorem h2hcau

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3098	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
2		df-hcau 28355	. 2 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥}
3		elin 3994	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4		ancom 453	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5		h2hc.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	5	hlex 28279	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
7		nnex 11319	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	6, 7	elmap 8124	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9		nnuz 11967	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		h2hc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		h2hc.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
12	5, 11	imsxmet 28072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
13	10, 12	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14		1zzd 11698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15		eqidd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
16		eqidd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
17		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	iscauf 23406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥))
19		ffvelrn 6583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
20	19	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
21		eluznn 12003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		ffvelrn 6583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
23	21, 22	sylan2 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24	23	anassrs 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
25		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
26	25, 10, 5, 11	h2hmetdval 28360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
27	20, 24, 26	syl2anc 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
28	27	breq1d 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
30	29	rexbidva 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
32	18, 31	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
33	8, 32	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
34	33	pm5.32i 571	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
35	3, 4, 34	3bitri 289	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
36	35	abbi2i 2915	. 2 ⊢ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
37	1, 2, 36	3eqtr4i 2831	1 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {cab 2785  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ∩ cin 3768  ⟨cop 4374   class class class wbr 4843  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  1c1 10225   < clt 10363  ℕcn 11312  ℤ_≥cuz 11930  ℝ⁺crp 12074  ∞Metcxmet 20053  Cauccau 23379  NrmCVeccnv 27964  BaseSetcba 27966  IndMetcims 27971   ℋchba 28301   +_ℎ cva 28302   ·_ℎ csm 28303  norm_ℎcno 28305   −_ℎ cmv 28307  Cauchyccauold 28308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-cau 23382  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-hvsub 28353  df-hcau 28355

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28380  hhcau  28580