Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  h2hcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem h2hcau 28748
 Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
h2hc.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
h2hc.2 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
h2hcau Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hcau
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3145 . 2 {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥)}
2 df-hcau 28742 . 2 Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥}
3 elin 4167 . . . 4 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4 ancom 463 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5 h2hc.3 . . . . . . . 8 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
65hlex 28667 . . . . . . 7 ℋ ∈ V
7 nnex 11636 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
86, 7elmap 8427 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9 nnuz 12273 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
10 h2hc.2 . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
11 h2hc.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
125, 11imsxmet 28461 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
1310, 12mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14 1zzd 12005 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15 eqidd 2820 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑘))
16 eqidd 2820 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑗))
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
189, 13, 14, 15, 16, 17iscauf 23875 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥))
19 ffvelrn 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓𝑗) ∈ ℋ)
2019adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑓𝑗) ∈ ℋ)
21 eluznn 12310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 ffvelrn 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
2321, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
2423anassrs 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
25 h2hc.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2625, 10, 5, 11h2hmetdval 28747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) = (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))))
2720, 24, 26syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) = (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))))
2827breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ (norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
2928ralbidva 3194 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3029rexbidva 3294 . . . . . . . 8 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3130ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝑓𝑗)𝐷(𝑓𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3218, 31bitrd 281 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
338, 32sylbi 219 . . . . 5 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3433pm5.32i 577 . . . 4 ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
353, 4, 343bitri 299 . . 3 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥))
3635abbi2i 2951 . 2 ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(norm‘((𝑓𝑗) − (𝑓𝑘))) < 𝑥)}
371, 2, 363eqtr4i 2852 1 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {cab 2797  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  {crab 3140   ∩ cin 3933  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  1c1 10530   < clt 10667  ℕcn 11630  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  ∞Metcxmet 20522  Cauccau 23848  NrmCVeccnv 28353  BaseSetcba 28355  IndMetcims 28360   ℋchba 28688   +ℎ cva 28689   ·ℎ csm 28690  normℎcno 28692   −ℎ cmv 28694  Cauchyccauold 28695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-cau 23851  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-hvsub 28740  df-hcau 28742 This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  28767  hhcau  28967
 Copyright terms: Public domain W3C validator