Theorem h2hcau 30915

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2hc.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
h2hc.2	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
h2hc.3	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
h2hc.4	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
h2hcau	⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem h2hcau

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3409	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
2		df-hcau 30909	. 2 ⊢ Cauchy = {𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥}
3		elin 3933	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5		h2hc.3	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	5	hlex 30834	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
7		nnex 12199	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	6, 7	elmap 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
9		nnuz 12843	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		h2hc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		h2hc.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
12	5, 11	imsxmet 30628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
13	10, 12	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ))
14		1zzd 12571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 1 ∈ ℤ)
15		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
16		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
17		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	iscauf 25187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥))
19		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑗) ∈ ℋ)
21		eluznn 12884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
24	23	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ)
25		h2hc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
26	25, 10, 5, 11	h2hmetdval 30914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑗) ∈ ℋ ∧ (𝑓‘𝑘) ∈ ℋ) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
27	20, 24, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) = (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))))
28	27	breq1d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ (normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶ ℋ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
30	29	rexbidva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
31	30	ralbidv 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑓‘𝑗)𝐷(𝑓‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
32	18, 31	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶ ℋ → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
33	8, 32	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
34	33	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
35	3, 4, 34	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥))
36	35	eqabi 2864	. 2 ⊢ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(normℎ‘((𝑓‘𝑗) −ℎ (𝑓‘𝑘))) < 𝑥)}
37	1, 2, 36	3eqtr4i 2763	1 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∩ cin 3916  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  1c1 11076   < clt 11215  ℕcn 12193  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  Cauccau 25160  NrmCVeccnv 30520  BaseSetcba 30522  IndMetcims 30527   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861  Cauchyccauold 30862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-cau 25163  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-hvsub 30907  df-hcau 30909

This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30934  hhcau  31134