Theorem his52 28646

Description: Associative law for inner product. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his52	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((∗‘𝐴) ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his52

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 14328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		his5 28645	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((∗‘𝐴) ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘(∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
3	1, 2	syl3an1 1143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((∗‘𝐴) ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘(∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
4		cjcj 14363	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
5	4	oveq1d 6993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
6	5	3ad2ant1 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘(∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
7	3, 6	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((∗‘𝐴) ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 ·ih 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℂcc 10335   · cmul 10342  ∗ccj 14319   ℋchba 28478   ·_ℎ csm 28480   ·_ih csp 28481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-hfvmul 28564  ax-hfi 28638  ax-his1 28641  ax-his3 28643

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-2 11506  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324

This theorem is referenced by:  kbmul  29516  riesz3i  29623  adjmul  29653