Theorem cjcj 14851

Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem cjcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 14816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		recj 14835	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
4		recj 14835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
6		imcj 14843	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
8		imcj 14843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
9	8	negeqd 11215	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = --(ℑ‘𝐴))
10		imcl 14822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 11323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴))
13	9, 12	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
14	7, 13	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
15	14	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴)))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	5, 15	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
17		cjcl 14816	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
18		replim 14827	. . 3 ⊢ ((∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
19	1, 17, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
20		replim 14827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21	16, 19, 20	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876  -cneg 11206  ∗ccj 14807  ℜcre 14808  ℑcim 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812

This theorem is referenced by:  cjmulrcl  14855  cjreim2  14872  cj11  14873  cjcji  14882  cjcjd  14910  abscj  14991  sqabsadd  14994  sqabssub  14995  cnsrng  20632  plycjlem  25437  dipassr2  29209  his52  29449  cnvbramul  30477