Theorem cjcj 14484

Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem cjcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 14449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		recj 14468	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
4		recj 14468	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
6		imcj 14476	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
8		imcj 14476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
9	8	negeqd 10866	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = --(ℑ‘𝐴))
10		imcl 14455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 10974	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴))
13	9, 12	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
14	7, 13	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
15	14	oveq2d 7158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴)))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	5, 15	oveq12d 7160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
17		cjcl 14449	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
18		replim 14460	. . 3 ⊢ ((∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
19	1, 17, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
20		replim 14460	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21	16, 19, 20	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ici 10525   + caddc 10526   · cmul 10528  -cneg 10857  ∗ccj 14440  ℜcre 14441  ℑcim 14442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-2 11687  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445

This theorem is referenced by:  cjmulrcl  14488  cjreim2  14505  cj11  14506  cjcji  14515  cjcjd  14543  abscj  14624  sqabsadd  14627  sqabssub  14628  cnsrng  20562  plycjlem  24852  dipassr2  28608  his52  28848  cnvbramul  29876