MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcj 14225
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 14190 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 recj 14209 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘(∗‘𝐴)))
4 recj 14209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
53, 4eqtrd 2837 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
6 imcj 14217 . . . . . 6 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(∗‘𝐴)))
8 imcj 14217 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
98negeqd 10570 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = --(ℑ‘𝐴))
10 imcl 14196 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10361 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
1211negnegd 10679 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → --(ℑ‘𝐴) = (ℑ‘𝐴))
139, 12eqtrd 2837 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
147, 13eqtrd 2837 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
1514oveq2d 6898 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴)))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
165, 15oveq12d 6900 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
17 cjcl 14190 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
18 replim 14201 . . 3 ((∗‘(∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
191, 17, 183syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = ((ℜ‘(∗‘(∗‘𝐴))) + (i · (ℑ‘(∗‘(∗‘𝐴))))))
20 replim 14201 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2116, 19, 203eqtr4d 2847 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6105  (class class class)co 6882  cc 10226  ici 10230   + caddc 10231   · cmul 10233  -cneg 10561  ccj 14181  cre 14182  cim 14183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-po 5237  df-so 5238  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-2 11380  df-cj 14184  df-re 14185  df-im 14186
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  14229  cjreim2  14246  cj11  14247  cjcji  14256  cjcjd  14284  abscj  14364  sqabsadd  14367  sqabssub  14368  cnsrng  20106  plycjlem  24377  dipassr2  28231  his52  28473  cnvbramul  29503
  Copyright terms: Public domain W3C validator