MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjcj 15032
Description: The conjugate of the conjugate is the original complex number. Proposition 10-3.4(e) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjcj (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ๐ด)

Proof of Theorem cjcj
StepHypRef Expression
1 cjcl 14997 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2 recj 15016 . . . . 5 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)))
4 recj 15016 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
53, 4eqtrd 2777 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
6 imcj 15024 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)))
8 imcj 15024 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
98negeqd 11402 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = --(โ„‘โ€˜๐ด))
10 imcl 15003 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
1211negnegd 11510 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ --(โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„‘โ€˜๐ด))
139, 12eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
147, 13eqtrd 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜๐ด))
1514oveq2d 7378 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)))) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
165, 15oveq12d 7380 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))) = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
17 cjcl 14997 . . 3 ((โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
18 replim 15008 . . 3 ((โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))))
191, 17, 183syl 18 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))))
20 replim 15008 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2116, 19, 203eqtr4d 2787 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  -cneg 11393  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  cjmulrcl  15036  cjreim2  15053  cj11  15054  cjcji  15063  cjcjd  15091  abscj  15171  sqabsadd  15174  sqabssub  15175  cnsrng  20847  plycjlem  25653  dipassr2  29831  his52  30071  cnvbramul  31099
  Copyright terms: Public domain W3C validator