Theorem pjclem3 30556

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem3	⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pjclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iop 30108	. . . . . . . 8 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
2	1	coeq2i 5771	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
3		pjclem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 30063	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5	4	hoid1i 30148	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐺)
6	2, 5	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐺)
7	4	hoid1ri 30149	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺)
8	1	coeq1i 5770	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺))
9	6, 7, 8	3eqtr2i 2772	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = ((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺))
10	9	oveq1i 7287	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
11		oveq2 7285	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))))
12	10, 11	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))))
13		helch 29602	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
14	13	pjfi 30063	. . . 4 ⊢ (projℎ‘ ℋ): ℋ⟶ ℋ
15		pjclem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
16	15	pjfi 30063	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	3, 14, 16	pjddii 30515	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
18	14, 16, 4	hocsubdiri 30139	. . 3 ⊢ (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
19	12, 17, 18	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
20	15	pjoci 30539	. . 3 ⊢ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(⊥‘𝐻))
21	20	coeq2i 5771	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻)))
22	20	coeq1i 5770	. 2 ⊢ (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺))
23	19, 21, 22	3eqtr3g 2801	1 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5595  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277   ℋchba 29278   C_ℋ cch 29288  ⊥cort 29289  proj_ℎcpjh 29296   −_op chod 29299   I_op chio 29303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-cc 10189  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947  ax-addf 10948  ax-mulf 10949  ax-hilex 29358  ax-hfvadd 29359  ax-hvcom 29360  ax-hvass 29361  ax-hv0cl 29362  ax-hvaddid 29363  ax-hfvmul 29364  ax-hvmulid 29365  ax-hvmulass 29366  ax-hvdistr1 29367  ax-hvdistr2 29368  ax-hvmul0 29369  ax-hfi 29438  ax-his1 29441  ax-his2 29442  ax-his3 29443  ax-his4 29444  ax-hcompl 29561

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-2o 8296  df-oadd 8299  df-omul 8300  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-fi 9168  df-sup 9199  df-inf 9200  df-oi 9267  df-card 9695  df-acn 9698  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-ioo 13081  df-ico 13083  df-icc 13084  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-lm 22378  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cfil 24417  df-cau 24418  df-cmet 24419  df-grpo 28852  df-gid 28853  df-ginv 28854  df-gdiv 28855  df-ablo 28904  df-vc 28918  df-nv 28951  df-va 28954  df-ba 28955  df-sm 28956  df-0v 28957  df-vs 28958  df-nmcv 28959  df-ims 28960  df-dip 29060  df-ssp 29081  df-ph 29172  df-cbn 29222  df-hnorm 29327  df-hba 29328  df-hvsub 29330  df-hlim 29331  df-hcau 29332  df-sh 29566  df-ch 29580  df-oc 29611  df-ch0 29612  df-shs 29667  df-pjh 29754  df-hosum 30089  df-hodif 30091  df-iop 30108

This theorem is referenced by:  pjci  30559