Theorem pjclem3 31954

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem3	⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pjclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iop 31506	. . . . . . . 8 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
2	1	coeq2i 5853	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
3		pjclem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 31461	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5	4	hoid1i 31546	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐺)
6	2, 5	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐺)
7	4	hoid1ri 31547	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺)
8	1	coeq1i 5852	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺))
9	6, 7, 8	3eqtr2i 2760	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = ((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺))
10	9	oveq1i 7414	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
11		oveq2 7412	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))))
12	10, 11	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))))
13		helch 31000	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
14	13	pjfi 31461	. . . 4 ⊢ (projℎ‘ ℋ): ℋ⟶ ℋ
15		pjclem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
16	15	pjfi 31461	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
17	3, 14, 16	pjddii 31913	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) −op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
18	14, 16, 4	hocsubdiri 31537	. . 3 ⊢ (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (((projℎ‘ ℋ) ∘ (projℎ‘𝐺)) −op ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
19	12, 17, 18	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
20	15	pjoci 31937	. . 3 ⊢ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(⊥‘𝐻))
21	20	coeq2i 5853	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻)))
22	20	coeq1i 5852	. 2 ⊢ (((projℎ‘ ℋ) −op (projℎ‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺))
23	19, 21, 22	3eqtr3g 2789	1 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ℋchba 30676   C_ℋ cch 30686  ⊥cort 30687  proj_ℎcpjh 30694   −_op chod 30697   I_op chio 30701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842  ax-hcompl 30959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-lm 23083  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cfil 25133  df-cau 25134  df-cmet 25135  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-dip 30458  df-ssp 30479  df-ph 30570  df-cbn 30620  df-hnorm 30725  df-hba 30726  df-hvsub 30728  df-hlim 30729  df-hcau 30730  df-sh 30964  df-ch 30978  df-oc 31009  df-ch0 31010  df-shs 31065  df-pjh 31152  df-hosum 31487  df-hodif 31489  df-iop 31506

This theorem is referenced by:  pjci  31957