Theorem hocsubdir 29660

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hocsubdir	⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem hocsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7158	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 −op 𝑆) = (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆))
2	1	coeq1d 5702	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆) ∘ 𝑇))
3		coeq1 5698	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ 𝑇) = (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))
4	3	oveq1d 7166	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))
5	2, 4	eqeq12d 2775	. 2 ⊢ (𝑅 = if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) → (((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇))))
6		oveq2 7159	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆) = (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )))
7	6	coeq1d 5702	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ 𝑇))
8		coeq1 5698	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (𝑆 ∘ 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇))
9	8	oveq2d 7167	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇)))
10	7, 9	eqeq12d 2775	. 2 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇))))
11		coeq2 5699	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
12		coeq2 5699	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) = (if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
13		coeq2 5699	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
14	12, 13	oveq12d 7169	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))))
15	11, 14	eqeq12d 2775	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ 𝑇) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ 𝑇)) ↔ ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))))
16		ho0f 29626	. . . 4 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
17	16	elimf 6498	. . 3 ⊢ if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
18	16	elimf 6498	. . 3 ⊢ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
19	16	elimf 6498	. . 3 ⊢ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
20	17, 18, 19	hocsubdiri 29655	. 2 ⊢ ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) −op if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )) = ((if(𝑅: ℋ⟶ ℋ, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )) −op (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
21	5, 10, 15, 20	dedth3h 4481	1 ⊢ ((𝑅: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑅 −op 𝑆) ∘ 𝑇) = ((𝑅 ∘ 𝑇) −op (𝑆 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ifcif 4421   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  (class class class)co 7151   ℋchba 28794   −_op chod 28815   0_hop ch0o 28818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cc 9888  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648  ax-hilex 28874  ax-hfvadd 28875  ax-hvcom 28876  ax-hvass 28877  ax-hv0cl 28878  ax-hvaddid 28879  ax-hfvmul 28880  ax-hvmulid 28881  ax-hvmulass 28882  ax-hvdistr1 28883  ax-hvdistr2 28884  ax-hvmul0 28885  ax-hfi 28954  ax-his1 28957  ax-his2 28958  ax-his3 28959  ax-his4 28960  ax-hcompl 29077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-acn 9397  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-lm 21922  df-haus 22008  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cfil 23948  df-cau 23949  df-cmet 23950  df-grpo 28368  df-gid 28369  df-ginv 28370  df-gdiv 28371  df-ablo 28420  df-vc 28434  df-nv 28467  df-va 28470  df-ba 28471  df-sm 28472  df-0v 28473  df-vs 28474  df-nmcv 28475  df-ims 28476  df-dip 28576  df-ssp 28597  df-ph 28688  df-cbn 28738  df-hnorm 28843  df-hba 28844  df-hvsub 28846  df-hlim 28847  df-hcau 28848  df-sh 29082  df-ch 29096  df-oc 29127  df-ch0 29128  df-shs 29183  df-pjh 29270  df-hodif 29607  df-h0op 29623

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  30020