Theorem rerpdivcl 13133

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 13119	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2		redivcl 12017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   / cdiv 11954  ℝ⁺crp 13101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-rp 13102

This theorem is used by:  ledivge1le  13174  rerpdivcld  13176  icccntr  13604  refldivcl  13943  fldivle  13951  ltdifltdiv  13954  modvalr  13992  flpmodeq  13994  mod0  13996  negmod0  13998  modlt  14000  moddiffl  14002  moddifz  14003  modid  14016  modcyc  14026  modadd1  14028  modmul1  14047  moddi  14062  modsubdir  14063  modirr  14065  sqrtdiv  15412  divrcnv  16001  gexdvds  19778  aaliou3lem8  26654  logdivlt  26931  cxp2limlem  27285  harmonicbnd4  27320  logexprlim  27534  bposlem7  27599  bposlem9  27601  chebbnd1lem3  27780  chebbnd1  27781  chto1ub  27785  chpo1ub  27789  vmadivsum  27791  rplogsumlem1  27793  dchrvmasumlema  27809  dchrvmasumiflem1  27810  dchrisum0fno1  27820  mulogsumlem  27840  logdivsum  27842  mulog2sumlem1  27843  selberg2lem  27859  selberg3lem1  27866  pntrmax  27873  pntpbnd1a  27894  pntpbnd1  27895  pntpbnd2  27896  pntpbnd  27897  pntibndlem3  27901  pntlem3  27918  pntleml  27920  pnt2  27922  subfacval3  35923  heiborlem6  38718  fldivmod  48358  ceildivmod  48359