Theorem rerpdivcl 12919

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 12905	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2		redivcl 11837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   / cdiv 11771  ℝ⁺crp 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-rp 12888

This theorem is referenced by:  ledivge1le  12960  rerpdivcld  12962  icccntr  13389  refldivcl  13724  fldivle  13732  ltdifltdiv  13735  modvalr  13773  flpmodeq  13775  mod0  13777  negmod0  13779  modlt  13781  moddiffl  13783  moddifz  13784  modid  13797  modcyc  13807  modadd1  13809  modmul1  13828  moddi  13843  modsubdir  13844  modirr  13846  sqrtdiv  15169  divrcnv  15756  gexdvds  19494  aaliou3lem8  26278  logdivlt  26555  cxp2limlem  26911  harmonicbnd4  26946  logexprlim  27161  bposlem7  27226  bposlem9  27228  chebbnd1lem3  27407  chebbnd1  27408  chto1ub  27412  chpo1ub  27416  vmadivsum  27418  rplogsumlem1  27420  dchrvmasumlema  27436  dchrvmasumiflem1  27437  dchrisum0fno1  27447  mulogsumlem  27467  logdivsum  27469  mulog2sumlem1  27470  selberg2lem  27486  selberg3lem1  27493  pntrmax  27500  pntpbnd1a  27521  pntpbnd1  27522  pntpbnd2  27523  pntpbnd  27524  pntibndlem3  27528  pntlem3  27545  pntleml  27547  pnt2  27549  subfacval3  35221  heiborlem6  37855  fldivmod  47368  ceildivmod  47369