MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcl 12412
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 12399 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2 redivcl 11351 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
323expb 1114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3sylan2 592 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wne 3020  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529   / cdiv 11289  +crp 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-rp 12383
This theorem is referenced by:  ledivge1le  12453  rerpdivcld  12455  icccntr  12871  refldivcl  13186  fldivle  13194  ltdifltdiv  13197  modvalr  13233  flpmodeq  13235  mod0  13237  negmod0  13239  modlt  13241  moddiffl  13243  moddifz  13244  modid  13257  modcyc  13267  modadd1  13269  modmul1  13285  moddi  13300  modsubdir  13301  modirr  13303  sqrtdiv  14618  divrcnv  15200  gexdvds  18632  aaliou3lem8  24852  logdivlt  25120  cxp2limlem  25470  harmonicbnd4  25505  logexprlim  25718  bposlem7  25783  bposlem9  25785  chebbnd1lem3  25964  chebbnd1  25965  chto1ub  25969  chpo1ub  25973  vmadivsum  25975  rplogsumlem1  25977  dchrvmasumlema  25993  dchrvmasumiflem1  25994  dchrisum0fno1  26004  mulogsumlem  26024  logdivsum  26026  mulog2sumlem1  26027  selberg2lem  26043  selberg3lem1  26050  pntrmax  26057  pntpbnd1a  26078  pntpbnd1  26079  pntpbnd2  26080  pntpbnd  26081  pntibndlem3  26085  pntlem3  26102  pntleml  26104  pnt2  26106  subfacval3  32323  heiborlem6  34965  fldivmod  44413
  Copyright terms: Public domain W3C validator