Theorem rerpdivcl 13078

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 13064	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2		redivcl 11962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-rp 13047

This theorem is used by:  ledivge1le  13119  rerpdivcld  13121  icccntr  13549  refldivcl  13888  fldivle  13896  ltdifltdiv  13899  modvalr  13937  flpmodeq  13939  mod0  13941  negmod0  13943  modlt  13945  moddiffl  13947  moddifz  13948  modid  13961  modcyc  13971  modadd1  13973  modmul1  13992  moddi  14007  modsubdir  14008  modirr  14010  sqrtdiv  15356  divrcnv  15945  gexdvds  19717  aaliou3lem8  26588  logdivlt  26866  cxp2limlem  27220  harmonicbnd4  27255  logexprlim  27469  bposlem7  27534  bposlem9  27536  chebbnd1lem3  27715  chebbnd1  27716  chto1ub  27720  chpo1ub  27724  vmadivsum  27726  rplogsumlem1  27728  dchrvmasumlema  27744  dchrvmasumiflem1  27745  dchrisum0fno1  27755  mulogsumlem  27775  logdivsum  27777  mulog2sumlem1  27778  selberg2lem  27794  selberg3lem1  27801  pntrmax  27808  pntpbnd1a  27829  pntpbnd1  27830  pntpbnd2  27831  pntpbnd  27832  pntibndlem3  27836  pntlem3  27853  pntleml  27855  pnt2  27857  subfacval3  35776  heiborlem6  38574  fldivmod  48240  ceildivmod  48241