Theorem rerpdivcl 13153

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 13139	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2		redivcl 12037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201   / cdiv 11974  ℝ⁺crp 13121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-rp 13122

This theorem is used by:  ledivge1le  13194  rerpdivcld  13196  icccntr  13624  refldivcl  13964  fldivle  13972  ltdifltdiv  13975  modvalr  14013  flpmodeq  14015  mod0  14017  negmod0  14019  modlt  14021  moddiffl  14023  moddifz  14024  modid  14037  modcyc  14047  modadd1  14049  modmul1  14068  moddi  14083  modsubdir  14084  modirr  14086  sqrtdiv  15433  divrcnv  16022  gexdvds  19799  aaliou3lem8  26673  logdivlt  26950  cxp2limlem  27304  harmonicbnd4  27339  logexprlim  27553  bposlem7  27618  bposlem9  27620  chebbnd1lem3  27799  chebbnd1  27800  chto1ub  27804  chpo1ub  27808  vmadivsum  27810  rplogsumlem1  27812  dchrvmasumlema  27828  dchrvmasumiflem1  27829  dchrisum0fno1  27839  mulogsumlem  27859  logdivsum  27861  mulog2sumlem1  27862  selberg2lem  27878  selberg3lem1  27885  pntrmax  27892  pntpbnd1a  27913  pntpbnd1  27914  pntpbnd2  27915  pntpbnd  27916  pntibndlem3  27920  pntlem3  27937  pntleml  27939  pnt2  27941  subfacval3  35955  heiborlem6  38752  fldivmod  48415  ceildivmod  48416