MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv1 12028
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
lediv1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lediv1
StepHypRef Expression
1 ltdiv1 12027 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
213com12 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
32notbid 318 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
4 lenlt 11241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
543adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6 gt0ne0 11628 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
763adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
8 redivcl 11882 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
97, 8syld3an3 1410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
1093expb 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
11103adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
1263adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
13 redivcl 11882 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
1412, 13syld3an3 1410 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
15143expb 1121 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
16153adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
1711, 16lenltd 11309 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
183, 5, 173bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  0cc0 11059   < clt 11197  cle 11198   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  ge0div  12030  ledivmul  12039  lediv23  12055  lediv1d  13011  icccntr  13418  quoremz  13769  quoremnn0ALT  13771  sin01bnd  16075  cos01bnd  16076  sin02gt0  16082  hashdvds  16655  ovolscalem1  24900  dyadf  24978  dyadovol  24980  dyadmaxlem  24984  mbfi1fseqlem6  25108  cosordlem  25909  cxpcn3lem  26123  dvdsflf1o  26559  ppiub  26575  logfacrlim  26595  bposlem5  26659  gausslemma2dlem1a  26736  gausslemma2dlem3  26739  lgseisenlem1  26746  2lgslem1c  26764  vmadivsum  26853  mulog2sumlem2  26906  logdivbnd  26927  cdj1i  31424  taupilem1  35842  cos2h  36119  heiborlem8  36327  reglogleb  41262  areaquad  41597  stoweidlem1  44332  stoweidlem11  44342  stoweidlem14  44345  flnn0div2ge  46709
  Copyright terms: Public domain W3C validator