Theorem lediv1 12075

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lediv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem lediv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1 12074	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
2	1	3com12 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
4		lenlt 11283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6		gt0ne0 11674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
7	6	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
8		redivcl 11929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	7, 8	syld3an3 1436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
10	9	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
11	10	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℝ)
12	6	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
13		redivcl 11929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
14	12, 13	syld3an3 1436	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
16	15	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
17	11, 16	lenltd 11351	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 / 𝐶) < (𝐴 / 𝐶)))
18	3, 5, 17	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239   / cdiv 11866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867

This theorem is referenced by:  ge0div  12077  ledivmul  12086  lediv23  12102  lediv1d  13101  icccntr  13514  quoremz  13884  quoremnn0ALT  13886  sin01bnd  16236  cos01bnd  16237  sin02gt0  16243  hashdvds  16829  ovolscalem1  25672  dyadf  25750  dyadovol  25752  dyadmaxlem  25756  mbfi1fseqlem6  25879  cosordlem  26695  cxpcn3lem  26912  dvdsflf1o  27351  ppiub  27368  logfacrlim  27388  bposlem5  27452  gausslemma2dlem1a  27529  gausslemma2dlem3  27532  lgseisenlem1  27539  2lgslem1c  27557  vmadivsum  27646  mulog2sumlem2  27699  logdivbnd  27720  cdj1i  32785  taupilem1  37985  cos2h  38282  heiborlem8  38489  reglogleb  43639  areaquad  43963  stoweidlem1  46735  stoweidlem11  46745  stoweidlem14  46748  flnn0div2ge  49333