![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > immul2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
immul2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท (โโ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | recn 11199 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
2 | immul 15087 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด ยท ๐ต)) = (((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) + ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)))) | |
3 | 1, 2 | sylan 579 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด ยท ๐ต)) = (((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) + ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)))) |
4 | rere 15073 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ๐ด) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ๐ด) = ๐ด) |
6 | 5 | oveq1d 7419 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) = (๐ด ยท (โโ๐ต))) |
7 | reim0 15069 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = 0) | |
8 | 7 | oveq1d 7419 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) = (0 ยท (โโ๐ต))) |
9 | recl 15061 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) โ โ) | |
10 | 9 | recnd 11243 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) โ โ) |
11 | 10 | mul02d 11413 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (0 ยท (โโ๐ต)) = 0) |
12 | 8, 11 | sylan9eq 2786 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) = 0) |
13 | 6, 12 | oveq12d 7422 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต)) + ((โโ๐ด) ยท (โโ๐ต))) = ((๐ด ยท (โโ๐ต)) + 0)) |
14 | imcl 15062 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) โ โ) | |
15 | 14 | recnd 11243 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (โโ๐ต) โ โ) |
16 | mulcl 11193 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (โโ๐ต) โ โ) โ (๐ด ยท (โโ๐ต)) โ โ) | |
17 | 1, 15, 16 | syl2an 595 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท (โโ๐ต)) โ โ) |
18 | 17 | addridd 11415 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท (โโ๐ต)) + 0) = (๐ด ยท (โโ๐ต))) |
19 | 3, 13, 18 | 3eqtrd 2770 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โโ(๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด ยท (โโ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โcre 15048 โcim 15049 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-2 12276 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 |
This theorem is referenced by: imdiv 15089 immul2d 15179 cxpsqrtlem 26587 atantan 26806 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |