Theorem immul2 15190

Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
immul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem immul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11191	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		immul 15189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
3	1, 2	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
4		rere 15175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))
7		reim0 15171	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
8	7	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = (0 · (ℜ‘𝐵)))
9		recl 15163	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 11409	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · (ℜ‘𝐵)) = 0)
12	8, 11	sylan9eq 2818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) = 0)
13	6, 12	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) = ((𝐴 · (ℑ‘𝐵)) + 0))
14		imcl 15164	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11238	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 11185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	1, 15, 16	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	17	addridd 11411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (ℑ‘𝐵)) + 0) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))
19	3, 13, 18	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104   · cmul 11106  ℜcre 15150  ℑcim 15151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154

This theorem is referenced by:  imdiv  15191  immul2d  15281  cxpsqrtlem  26848  atantan  27069