Theorem imdiv 15087

Description: Imaginary part of a division. Related to immul2 15086. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) / 𝐵))

Proof of Theorem imdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
2		3anass 1092	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
3	1, 2	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4		rereccl 11931	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	anim1i 614	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	3, 5	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		immul2 15086	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
9		recn 11197	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		divrec2 11888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
11	10	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
12	9, 11	syl3an2 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
13		imcl 15060	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	9	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
18	15, 16, 17	divrec2d 11993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   / cdiv 11870  ℑcim 15047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050

This theorem is referenced by:  imdivd  15179