Theorem imdiv 14849

Description: Imaginary part of a division. Related to immul2 14848. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) / 𝐵))

Proof of Theorem imdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
2		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
3	1, 2	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4		rereccl 11693	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	anim1i 615	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	3, 5	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		immul2 14848	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
9		recn 10961	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		divrec2 11650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
11	10	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
12	9, 11	syl3an2 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℑ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
13		imcl 14822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	9	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
18	15, 16, 17	divrec2d 11755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · (ℑ‘𝐴)))
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℑ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℑcim 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812

This theorem is referenced by:  imdivd  14941