Theorem imre 15053

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imre	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imval 15052	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
2		ax-icn 11166	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11647	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divrec2 11887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an23 1449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
6		irec 14163	. . . . 5 ⊢ (1 / i) = -i
7	6	oveq1i 7412	. . . 4 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
8	5, 7	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (-i · 𝐴))
9	8	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
10	1, 9	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   · cmul 11112  -cneg 11443   / cdiv 11869  ℜcre 15042  ℑcim 15043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-im 15046

This theorem is referenced by:  imcl  15056  cnpart  15185  sqrtneglem  15211  absimle  15254  recan  15281  tanregt0  26392  asinlem3a  26721  asinsinlem  26742  asinsin  26743  asinbnd  26750  atanbndlem  26776  ftc1anclem6  37060