Theorem imre 15282

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imre	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imval 15281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
2		ax-icn 11264	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11756	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divrec2 11996	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
6		irec 14350	. . . . 5 ⊢ (1 / i) = -i
7	6	oveq1i 7432	. . . 4 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = ( -i · 𝐴)
8	5, 7	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ( -i · 𝐴))
9	8	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
10	1, 9	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   · cmul 11210   -cneg 11547   / cdiv 11978  ℜcre 15271  ℑcim 15272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-im 15275

This theorem is used by:  imcl  15285  cnpart  15414  sqrtneglem  15440  absimle  15483  recan  15511  tanregt0  26874  asinlem3a  27205  asinsinlem  27226  asinsin  27227  asinbnd  27234  atanbndlem  27260  ftc1anclem6  38723