MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imre 15051
Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imre (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Proof of Theorem imre
StepHypRef Expression
1 imval 15050 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
2 ax-icn 11164 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 ine0 11645 . . . . 5 i ≠ 0
4 divrec2 11885 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
52, 3, 4mp3an23 1449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
6 irec 14161 . . . . 5 (1 / i) = -i
76oveq1i 7411 . . . 4 ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
85, 7eqtrdi 2780 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (-i · 𝐴))
98fveq2d 6885 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
101, 9eqtrd 2764 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106  ici 11107   · cmul 11110  -cneg 11441   / cdiv 11867  cre 15040  cim 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-im 15044
This theorem is referenced by:  imcl  15054  cnpart  15183  sqrtneglem  15209  absimle  15252  recan  15279  tanregt0  26378  asinlem3a  26706  asinsinlem  26727  asinsin  26728  asinbnd  26735  atanbndlem  26761  ftc1anclem6  37022
  Copyright terms: Public domain W3C validator