Theorem ine0 11613

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11137	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2927	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11364	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2781	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11362	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11136	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2928	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  inelr  12176  2muline0  12407  irec  14166  iexpcyc  14172  imre  15074  reim  15075  crim  15081  cjreb  15089  cnpart  15206  tanval2  16101  tanval3  16102  efival  16120  sinhval  16122  retanhcl  16127  tanhlt1  16128  tanhbnd  16129  itgz  25682  ibl0  25688  iblcnlem1  25689  itgcnlem  25691  iblss  25706  iblss2  25707  itgss  25713  itgeqa  25715  iblconst  25719  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgsplit  25737  dvsincos  25885  efeq1  26437  tanregt0  26448  efif1olem4  26454  logi  26496  eflogeq  26511  cxpsqrtlem  26611  root1eq1  26665  ang180lem1  26719  ang180lem2  26720  ang180lem3  26721  atandm2  26787  2efiatan  26828  atantan  26833  dvatan  26845  atantayl2  26848  log2cnv  26854  ccfldextdgrr  33667  constrelextdg2  33737  iconstr  33756  constrrecl  33759  cos9thpiminplylem3  33774  itgexpif  34597  iexpire  35722  iblmulc2nc  37679  ftc1anclem6  37692  ef11d  42327  cxpi11d  42331  proot1ex  43185  iblsplit  45964  sinh-conventional  49728