Theorem ine0 11649

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11179	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2943	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11169	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11404	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2790	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11402	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11178	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2796	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2944	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  inelr  12202  2muline0  12436  irec  14165  iexpcyc  14171  imre  15055  reim  15056  crim  15062  cjreb  15070  cnpart  15187  tanval2  16076  tanval3  16077  efival  16095  sinhval  16097  retanhcl  16102  tanhlt1  16103  tanhbnd  16104  itgz  25298  ibl0  25304  iblcnlem1  25305  itgcnlem  25307  iblss  25322  iblss2  25323  itgss  25329  itgeqa  25331  iblconst  25335  iblabsr  25347  iblmulc2  25348  itgsplit  25353  dvsincos  25498  efeq1  26037  tanregt0  26048  efif1olem4  26054  eflogeq  26110  cxpsqrtlem  26210  root1eq1  26263  ang180lem1  26314  ang180lem2  26315  ang180lem3  26316  atandm2  26382  2efiatan  26423  atantan  26428  dvatan  26440  atantayl2  26443  log2cnv  26449  ccfldextdgrr  32746  itgexpif  33618  logi  34704  iexpire  34705  iblmulc2nc  36553  ftc1anclem6  36566  proot1ex  41943  iblsplit  44682  sinh-conventional  47784