Theorem ine0 11744

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11262	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2958	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11252	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11493	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2813	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11491	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11261	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2819	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2959	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194  ici 11195   + caddc 11196   · cmul 11198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  inelr  12303  2muline0  12564  irec  14338  iexpcyc  14344  imre  15268  reim  15269  crim  15275  cjreb  15283  cnpart  15400  tanval2  16294  tanval3  16295  efival  16313  sinhval  16315  retanhcl  16320  tanhlt1  16321  tanhbnd  16322  itgz  26094  ibl0  26100  iblcnlem1  26101  itgcnlem  26103  iblss  26118  iblss2  26119  itgss  26125  itgeqa  26127  iblconst  26131  iblabsr  26143  iblmulc2  26144  itgsplit  26149  dvsincos  26294  efeq1  26849  tanregt0  26860  efif1olem4  26866  logi  26908  eflogeq  26923  cxpsqrtlem  27023  root1eq1  27076  ang180lem1  27130  ang180lem2  27131  ang180lem3  27132  atandm2  27198  2efiatan  27239  atantan  27244  dvatan  27256  atantayl2  27259  log2cnv  27265  ccfldextdgrr  34297  constrelextdg2  34372  iconstr  34391  constrrecl  34394  cos9thpiminplylem3  34409  itgexpif  35228  iexpire  36479  iblmulc2nc  38583  ftc1anclem6  38596  ef11d  43370  cxpi11d  43374  proot1ex  44182  iblsplit  46945  sinh-conventional  50801