Theorem ine0 11645

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11165	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2966	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11155	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11396	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2821	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11394	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11164	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2827	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2967	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1567   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  inelr  12204  2muline0  12465  irec  14233  iexpcyc  14239  imre  15155  reim  15156  crim  15162  cjreb  15170  cnpart  15287  tanval2  16185  tanval3  16186  efival  16204  sinhval  16206  retanhcl  16211  tanhlt1  16212  tanhbnd  16213  itgz  25905  ibl0  25911  iblcnlem1  25912  itgcnlem  25914  iblss  25929  iblss2  25930  itgss  25936  itgeqa  25938  iblconst  25942  iblabsr  25954  iblmulc2  25955  itgsplit  25960  dvsincos  26105  efeq1  26655  tanregt0  26666  efif1olem4  26672  logi  26714  eflogeq  26729  cxpsqrtlem  26829  root1eq1  26882  ang180lem1  26936  ang180lem2  26937  ang180lem3  26938  atandm2  27004  2efiatan  27045  atantan  27050  dvatan  27062  atantayl2  27065  log2cnv  27071  ccfldextdgrr  34003  constrelextdg2  34078  iconstr  34097  constrrecl  34100  cos9thpiminplylem3  34115  itgexpif  34934  iexpire  36122  iblmulc2nc  38219  ftc1anclem6  38232  ef11d  42985  cxpi11d  42989  proot1ex  43810  iblsplit  46567  sinh-conventional  50397