Theorem ine0 11576

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11098	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2936	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11088	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11327	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2791	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11087	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11325	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11097	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2797	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 198	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2937	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1547   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  inelr  12140  2muline0  12393  irec  14154  iexpcyc  14160  imre  15061  reim  15062  crim  15068  cjreb  15076  cnpart  15193  tanval2  16091  tanval3  16092  efival  16110  sinhval  16112  retanhcl  16117  tanhlt1  16118  tanhbnd  16119  itgz  25766  ibl0  25772  iblcnlem1  25773  itgcnlem  25775  iblss  25790  iblss2  25791  itgss  25797  itgeqa  25799  iblconst  25803  iblabsr  25815  iblmulc2  25816  itgsplit  25821  dvsincos  25966  efeq1  26510  tanregt0  26521  efif1olem4  26527  logi  26569  eflogeq  26584  cxpsqrtlem  26684  root1eq1  26737  ang180lem1  26791  ang180lem2  26792  ang180lem3  26793  atandm2  26859  2efiatan  26900  atantan  26905  dvatan  26917  atantayl2  26920  log2cnv  26926  ccfldextdgrr  33856  constrelextdg2  33931  iconstr  33950  constrrecl  33953  cos9thpiminplylem3  33968  itgexpif  34790  iexpire  35963  iblmulc2nc  38052  ftc1anclem6  38065  ef11d  42816  cxpi11d  42820  proot1ex  43641  iblsplit  46409  sinh-conventional  50229