Theorem ine0 11585

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2934	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11097	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11336	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2788	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11334	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11106	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2935	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  inelr  12149  2muline0  12402  irec  14163  iexpcyc  14169  imre  15070  reim  15071  crim  15077  cjreb  15085  cnpart  15202  tanval2  16100  tanval3  16101  efival  16119  sinhval  16121  retanhcl  16126  tanhlt1  16127  tanhbnd  16128  itgz  25748  ibl0  25754  iblcnlem1  25755  itgcnlem  25757  iblss  25772  iblss2  25773  itgss  25779  itgeqa  25781  iblconst  25785  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  itgsplit  25803  dvsincos  25948  efeq1  26492  tanregt0  26503  efif1olem4  26509  logi  26551  eflogeq  26566  cxpsqrtlem  26666  root1eq1  26719  ang180lem1  26773  ang180lem2  26774  ang180lem3  26775  atandm2  26841  2efiatan  26882  atantan  26887  dvatan  26899  atantayl2  26902  log2cnv  26908  ccfldextdgrr  33816  constrelextdg2  33891  iconstr  33910  constrrecl  33913  cos9thpiminplylem3  33928  itgexpif  34750  iexpire  35917  iblmulc2nc  38006  ftc1anclem6  38019  ef11d  42771  cxpi11d  42775  proot1ex  43624  iblsplit  46394  sinh-conventional  50214