Theorem ine0 11572

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11095	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2934	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11085	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11323	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2788	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11084	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11321	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11094	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2935	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  inelr  12135  2muline0  12366  irec  14124  iexpcyc  14130  imre  15031  reim  15032  crim  15038  cjreb  15046  cnpart  15163  tanval2  16058  tanval3  16059  efival  16077  sinhval  16079  retanhcl  16084  tanhlt1  16085  tanhbnd  16086  itgz  25738  ibl0  25744  iblcnlem1  25745  itgcnlem  25747  iblss  25762  iblss2  25763  itgss  25769  itgeqa  25771  iblconst  25775  iblabsr  25787  iblmulc2  25788  itgsplit  25793  dvsincos  25941  efeq1  26493  tanregt0  26504  efif1olem4  26510  logi  26552  eflogeq  26567  cxpsqrtlem  26667  root1eq1  26721  ang180lem1  26775  ang180lem2  26776  ang180lem3  26777  atandm2  26843  2efiatan  26884  atantan  26889  dvatan  26901  atantayl2  26904  log2cnv  26910  ccfldextdgrr  33829  constrelextdg2  33904  iconstr  33923  constrrecl  33926  cos9thpiminplylem3  33941  itgexpif  34763  iexpire  35929  iblmulc2nc  37886  ftc1anclem6  37899  ef11d  42594  cxpi11d  42598  proot1ex  43438  iblsplit  46210  sinh-conventional  49984