Theorem ine0 11563

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11086	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2931	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11076	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11314	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2785	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11075	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11312	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11085	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2791	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2932	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162

This theorem is referenced by:  inelr  12126  2muline0  12357  irec  14115  iexpcyc  14121  imre  15022  reim  15023  crim  15029  cjreb  15037  cnpart  15154  tanval2  16049  tanval3  16050  efival  16068  sinhval  16070  retanhcl  16075  tanhlt1  16076  tanhbnd  16077  itgz  25729  ibl0  25735  iblcnlem1  25736  itgcnlem  25738  iblss  25753  iblss2  25754  itgss  25760  itgeqa  25762  iblconst  25766  iblabsr  25778  iblmulc2  25779  itgsplit  25784  dvsincos  25932  efeq1  26484  tanregt0  26495  efif1olem4  26501  logi  26543  eflogeq  26558  cxpsqrtlem  26658  root1eq1  26712  ang180lem1  26766  ang180lem2  26767  ang180lem3  26768  atandm2  26834  2efiatan  26875  atantan  26880  dvatan  26892  atantayl2  26895  log2cnv  26901  ccfldextdgrr  33757  constrelextdg2  33832  iconstr  33851  constrrecl  33854  cos9thpiminplylem3  33869  itgexpif  34691  iexpire  35851  iblmulc2nc  37798  ftc1anclem6  37811  ef11d  42509  cxpi11d  42513  proot1ex  43353  iblsplit  46126  sinh-conventional  49900