Theorem ine0 10723

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10262	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2939	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 6854	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 10252	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 10484	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	syl6req 2816	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 6861	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 10251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10482	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 10261	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2822	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 188	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2940	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1652   ≠ wne 2937  (class class class)co 6846  0cc0 10193  1c1 10194  ici 10195   + caddc 10196   · cmul 10198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-ltxr 10337

This theorem is referenced by:  inelr  11268  2muline0  11506  irec  13176  iexpcyc  13181  imre  14147  reim  14148  crim  14154  cjreb  14162  cnpart  14279  tanval2  15159  tanval3  15160  efival  15178  sinhval  15180  retanhcl  15185  tanhlt1  15186  tanhbnd  15187  itgz  23852  ibl0  23858  iblcnlem1  23859  itgcnlem  23861  iblss  23876  iblss2  23877  itgss  23883  itgeqa  23885  iblconst  23889  iblabsr  23901  iblmulc2  23902  itgsplit  23907  dvsincos  24049  efeq1  24581  tanregt0  24591  efif1olem4  24597  eflogeq  24653  cxpsqrtlem  24753  root1eq1  24801  ang180lem1  24844  ang180lem2  24845  ang180lem3  24846  atandm2  24909  2efiatan  24950  atantan  24955  dvatan  24967  atantayl2  24970  log2cnv  24976  itgexpif  31156  logi  32086  iexpire  32087  iblmulc2nc  33919  ftc1anclem6  33934  proot1ex  38480  iblsplit  40843  sinh-conventional  43176