Theorem ine0 11673

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11193	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2957	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11183	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11424	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2812	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11182	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11422	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11192	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2818	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2958	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   + caddc 11127   · cmul 11129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  inelr  12232  2muline0  12493  irec  14265  iexpcyc  14271  imre  15195  reim  15196  crim  15202  cjreb  15210  cnpart  15327  tanval2  16221  tanval3  16222  efival  16240  sinhval  16242  retanhcl  16247  tanhlt1  16248  tanhbnd  16249  itgz  26008  ibl0  26014  iblcnlem1  26015  itgcnlem  26017  iblss  26032  iblss2  26033  itgss  26039  itgeqa  26041  iblconst  26045  iblabsr  26057  iblmulc2  26058  itgsplit  26063  dvsincos  26208  efeq1  26765  tanregt0  26776  efif1olem4  26782  logi  26824  eflogeq  26839  cxpsqrtlem  26939  root1eq1  26992  ang180lem1  27046  ang180lem2  27047  ang180lem3  27048  atandm2  27114  2efiatan  27155  atantan  27160  dvatan  27172  atantayl2  27175  log2cnv  27181  ccfldextdgrr  34182  constrelextdg2  34257  iconstr  34276  constrrecl  34279  cos9thpiminplylem3  34294  itgexpif  35114  iexpire  36314  iblmulc2nc  38434  ftc1anclem6  38447  ef11d  43214  cxpi11d  43218  proot1ex  44037  iblsplit  46794  sinh-conventional  50665