Theorem ine0 11698

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11224	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2942	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11214	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11451	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2794	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11449	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11223	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2800	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2943	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  inelr  12256  2muline0  12490  irec  14240  iexpcyc  14246  imre  15147  reim  15148  crim  15154  cjreb  15162  cnpart  15279  tanval2  16169  tanval3  16170  efival  16188  sinhval  16190  retanhcl  16195  tanhlt1  16196  tanhbnd  16197  itgz  25816  ibl0  25822  iblcnlem1  25823  itgcnlem  25825  iblss  25840  iblss2  25841  itgss  25847  itgeqa  25849  iblconst  25853  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  itgsplit  25871  dvsincos  26019  efeq1  26570  tanregt0  26581  efif1olem4  26587  logi  26629  eflogeq  26644  cxpsqrtlem  26744  root1eq1  26798  ang180lem1  26852  ang180lem2  26853  ang180lem3  26854  atandm2  26920  2efiatan  26961  atantan  26966  dvatan  26978  atantayl2  26981  log2cnv  26987  ccfldextdgrr  33722  constrelextdg2  33788  itgexpif  34621  iexpire  35735  iblmulc2nc  37692  ftc1anclem6  37705  ef11d  42375  cxpi11d  42379  proot1ex  43208  iblsplit  45981  sinh-conventional  49258