MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ine0 11591
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 11121 . . . 4 1 ≠ 0
21neii 2946 . . 3 ¬ 1 = 0
3 oveq2 7366 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4 ax-icn 11111 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54mul01i 11346 . . . . . 6 (i · 0) = 0
63, 5eqtr2di 2794 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
76oveq1d 7373 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8 ax-1cn 11110 . . . . 5 1 ∈ ℂ
98addid2i 11344 . . . 4 (0 + 1) = 1
10 ax-i2m1 11120 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
117, 9, 103eqtr3g 2800 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
122, 11mto 196 . 2 ¬ i = 0
1312neir 2947 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wne 2944  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053  ici 11054   + caddc 11055   · cmul 11057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  inelr  12144  2muline0  12378  irec  14106  iexpcyc  14112  imre  14994  reim  14995  crim  15001  cjreb  15009  cnpart  15126  tanval2  16016  tanval3  16017  efival  16035  sinhval  16037  retanhcl  16042  tanhlt1  16043  tanhbnd  16044  itgz  25148  ibl0  25154  iblcnlem1  25155  itgcnlem  25157  iblss  25172  iblss2  25173  itgss  25179  itgeqa  25181  iblconst  25185  iblabsr  25197  iblmulc2  25198  itgsplit  25203  dvsincos  25348  efeq1  25887  tanregt0  25898  efif1olem4  25904  eflogeq  25960  cxpsqrtlem  26060  root1eq1  26111  ang180lem1  26162  ang180lem2  26163  ang180lem3  26164  atandm2  26230  2efiatan  26271  atantan  26276  dvatan  26288  atantayl2  26291  log2cnv  26297  ccfldextdgrr  32359  itgexpif  33222  logi  34310  iexpire  34311  iblmulc2nc  36146  ftc1anclem6  36159  proot1ex  41531  iblsplit  44214  sinh-conventional  47191
  Copyright terms: Public domain W3C validator