Theorem ine0 11648

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11168	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2958	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11158	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11399	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2813	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11157	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11397	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11167	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2819	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2959	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1568   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  inelr  12207  2muline0  12468  irec  14236  iexpcyc  14242  imre  15158  reim  15159  crim  15165  cjreb  15173  cnpart  15290  tanval2  16188  tanval3  16189  efival  16207  sinhval  16209  retanhcl  16214  tanhlt1  16215  tanhbnd  16216  itgz  25919  ibl0  25925  iblcnlem1  25926  itgcnlem  25928  iblss  25943  iblss2  25944  itgss  25950  itgeqa  25952  iblconst  25956  iblabsr  25968  iblmulc2  25969  itgsplit  25974  dvsincos  26119  efeq1  26669  tanregt0  26680  efif1olem4  26686  logi  26728  eflogeq  26743  cxpsqrtlem  26843  root1eq1  26896  ang180lem1  26950  ang180lem2  26951  ang180lem3  26952  atandm2  27018  2efiatan  27059  atantan  27064  dvatan  27076  atantayl2  27079  log2cnv  27085  ccfldextdgrr  34028  constrelextdg2  34103  iconstr  34122  constrrecl  34125  cos9thpiminplylem3  34140  itgexpif  34959  iexpire  36181  iblmulc2nc  38280  ftc1anclem6  38293  ef11d  43046  cxpi11d  43050  proot1ex  43871  iblsplit  46628  sinh-conventional  50462