Theorem ine0 11756

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11274	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2957	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7430	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11264	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11505	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2812	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7437	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11263	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11503	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11273	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2818	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2958	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ≠ wne 2955  (class class class)co 7422  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   + caddc 11208   · cmul 11210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353

This theorem is used by:  inelr  12315  2muline0  12576  irec  14350  iexpcyc  14356  imre  15282  reim  15283  crim  15289  cjreb  15297  cnpart  15414  tanval2  16308  tanval3  16309  efival  16327  sinhval  16329  retanhcl  16334  tanhlt1  16335  tanhbnd  16336  itgz  26108  ibl0  26114  iblcnlem1  26115  itgcnlem  26117  iblss  26132  iblss2  26133  itgss  26139  itgeqa  26141  iblconst  26145  iblabsr  26157  iblmulc2  26158  itgsplit  26163  dvsincos  26308  efeq1  26863  tanregt0  26874  efif1olem4  26880  logi  26922  eflogeq  26937  cxpsqrtlem  27037  root1eq1  27090  ang180lem1  27144  ang180lem2  27145  ang180lem3  27146  atandm2  27212  2efiatan  27253  atantan  27258  dvatan  27270  atantayl2  27273  log2cnv  27279  ccfldextdgrr  34352  constrelextdg2  34427  iconstr  34446  constrrecl  34449  cos9thpiminplylem3  34464  itgexpif  35283  iexpire  36594  iblmulc2nc  38710  ftc1anclem6  38723  ef11d  43497  cxpi11d  43501  proot1ex  44305  iblsplit  47083  sinh-conventional  51014