Theorem ine0 11584

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2935	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11097	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11335	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2789	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11333	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11106	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2936	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  inelr  12147  2muline0  12378  irec  14136  iexpcyc  14142  imre  15043  reim  15044  crim  15050  cjreb  15058  cnpart  15175  tanval2  16070  tanval3  16071  efival  16089  sinhval  16091  retanhcl  16096  tanhlt1  16097  tanhbnd  16098  itgz  25750  ibl0  25756  iblcnlem1  25757  itgcnlem  25759  iblss  25774  iblss2  25775  itgss  25781  itgeqa  25783  iblconst  25787  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgsplit  25805  dvsincos  25953  efeq1  26505  tanregt0  26516  efif1olem4  26522  logi  26564  eflogeq  26579  cxpsqrtlem  26679  root1eq1  26733  ang180lem1  26787  ang180lem2  26788  ang180lem3  26789  atandm2  26855  2efiatan  26896  atantan  26901  dvatan  26913  atantayl2  26916  log2cnv  26922  ccfldextdgrr  33850  constrelextdg2  33925  iconstr  33944  constrrecl  33947  cos9thpiminplylem3  33962  itgexpif  34784  iexpire  35951  iblmulc2nc  37936  ftc1anclem6  37949  ef11d  42709  cxpi11d  42713  proot1ex  43553  iblsplit  46324  sinh-conventional  50098