Theorem ine0 11547

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11070	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2930	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11060	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11298	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2783	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11059	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11296	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11069	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2789	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2931	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2928  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146

This theorem is referenced by:  inelr  12110  2muline0  12341  irec  14103  iexpcyc  14109  imre  15010  reim  15011  crim  15017  cjreb  15025  cnpart  15142  tanval2  16037  tanval3  16038  efival  16056  sinhval  16058  retanhcl  16063  tanhlt1  16064  tanhbnd  16065  itgz  25704  ibl0  25710  iblcnlem1  25711  itgcnlem  25713  iblss  25728  iblss2  25729  itgss  25735  itgeqa  25737  iblconst  25741  iblabsr  25753  iblmulc2  25754  itgsplit  25759  dvsincos  25907  efeq1  26459  tanregt0  26470  efif1olem4  26476  logi  26518  eflogeq  26533  cxpsqrtlem  26633  root1eq1  26687  ang180lem1  26741  ang180lem2  26742  ang180lem3  26743  atandm2  26809  2efiatan  26850  atantan  26855  dvatan  26867  atantayl2  26870  log2cnv  26876  ccfldextdgrr  33677  constrelextdg2  33752  iconstr  33771  constrrecl  33774  cos9thpiminplylem3  33789  itgexpif  34611  iexpire  35771  iblmulc2nc  37725  ftc1anclem6  37738  ef11d  42372  cxpi11d  42376  proot1ex  43229  iblsplit  46004  sinh-conventional  49771