Theorem ine0 11620

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11144	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2928	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11134	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11371	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2782	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11369	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11143	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2788	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2929	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  inelr  12183  2muline0  12414  irec  14173  iexpcyc  14179  imre  15081  reim  15082  crim  15088  cjreb  15096  cnpart  15213  tanval2  16108  tanval3  16109  efival  16127  sinhval  16129  retanhcl  16134  tanhlt1  16135  tanhbnd  16136  itgz  25689  ibl0  25695  iblcnlem1  25696  itgcnlem  25698  iblss  25713  iblss2  25714  itgss  25720  itgeqa  25722  iblconst  25726  iblabsr  25738  iblmulc2  25739  itgsplit  25744  dvsincos  25892  efeq1  26444  tanregt0  26455  efif1olem4  26461  logi  26503  eflogeq  26518  cxpsqrtlem  26618  root1eq1  26672  ang180lem1  26726  ang180lem2  26727  ang180lem3  26728  atandm2  26794  2efiatan  26835  atantan  26840  dvatan  26852  atantayl2  26855  log2cnv  26861  ccfldextdgrr  33674  constrelextdg2  33744  iconstr  33763  constrrecl  33766  cos9thpiminplylem3  33781  itgexpif  34604  iexpire  35729  iblmulc2nc  37686  ftc1anclem6  37699  ef11d  42334  cxpi11d  42338  proot1ex  43192  iblsplit  45971  sinh-conventional  49732