Theorem ine0 11645

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11175	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2942	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11165	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11400	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2789	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11398	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11174	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2943	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2940  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  inelr  12198  2muline0  12432  irec  14161  iexpcyc  14167  imre  15051  reim  15052  crim  15058  cjreb  15066  cnpart  15183  tanval2  16072  tanval3  16073  efival  16091  sinhval  16093  retanhcl  16098  tanhlt1  16099  tanhbnd  16100  itgz  25289  ibl0  25295  iblcnlem1  25296  itgcnlem  25298  iblss  25313  iblss2  25314  itgss  25320  itgeqa  25322  iblconst  25326  iblabsr  25338  iblmulc2  25339  itgsplit  25344  dvsincos  25489  efeq1  26028  tanregt0  26039  efif1olem4  26045  eflogeq  26101  cxpsqrtlem  26201  root1eq1  26252  ang180lem1  26303  ang180lem2  26304  ang180lem3  26305  atandm2  26371  2efiatan  26412  atantan  26417  dvatan  26429  atantayl2  26432  log2cnv  26438  ccfldextdgrr  32734  itgexpif  33606  logi  34692  iexpire  34693  iblmulc2nc  36541  ftc1anclem6  36554  proot1ex  41928  iblsplit  44668  sinh-conventional  47737