Theorem ine0 11576

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11098	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2935	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11088	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11327	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2789	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11087	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11325	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11097	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2936	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  inelr  12140  2muline0  12393  irec  14154  iexpcyc  14160  imre  15061  reim  15062  crim  15068  cjreb  15076  cnpart  15193  tanval2  16091  tanval3  16092  efival  16110  sinhval  16112  retanhcl  16117  tanhlt1  16118  tanhbnd  16119  itgz  25758  ibl0  25764  iblcnlem1  25765  itgcnlem  25767  iblss  25782  iblss2  25783  itgss  25789  itgeqa  25791  iblconst  25795  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  itgsplit  25813  dvsincos  25958  efeq1  26505  tanregt0  26516  efif1olem4  26522  logi  26564  eflogeq  26579  cxpsqrtlem  26679  root1eq1  26732  ang180lem1  26786  ang180lem2  26787  ang180lem3  26788  atandm2  26854  2efiatan  26895  atantan  26900  dvatan  26912  atantayl2  26915  log2cnv  26921  ccfldextdgrr  33832  constrelextdg2  33907  iconstr  33926  constrrecl  33929  cos9thpiminplylem3  33944  itgexpif  34766  iexpire  35933  iblmulc2nc  38020  ftc1anclem6  38033  ef11d  42785  cxpi11d  42789  proot1ex  43642  iblsplit  46412  sinh-conventional  50226