Theorem ine0 11725

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11253	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2948	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11243	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11480	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2797	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11478	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11252	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2803	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2949	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1537   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  inelr  12283  2muline0  12517  irec  14250  iexpcyc  14256  imre  15157  reim  15158  crim  15164  cjreb  15172  cnpart  15289  tanval2  16181  tanval3  16182  efival  16200  sinhval  16202  retanhcl  16207  tanhlt1  16208  tanhbnd  16209  itgz  25836  ibl0  25842  iblcnlem1  25843  itgcnlem  25845  iblss  25860  iblss2  25861  itgss  25867  itgeqa  25869  iblconst  25873  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgsplit  25891  dvsincos  26039  efeq1  26588  tanregt0  26599  efif1olem4  26605  logi  26647  eflogeq  26662  cxpsqrtlem  26762  root1eq1  26816  ang180lem1  26870  ang180lem2  26871  ang180lem3  26872  atandm2  26938  2efiatan  26979  atantan  26984  dvatan  26996  atantayl2  26999  log2cnv  27005  ccfldextdgrr  33682  constrelextdg2  33737  itgexpif  34583  iexpire  35697  iblmulc2nc  37645  ftc1anclem6  37658  ef11d  42327  cxpi11d  42331  proot1ex  43157  iblsplit  45887  sinh-conventional  48831