Theorem ine0 11790

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2961	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11298	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11539	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2815	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11297	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11537	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11307	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2821	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2962	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  inelr  12350  2muline0  12611  irec  14385  iexpcyc  14391  imre  15318  reim  15319  crim  15325  cjreb  15333  cnpart  15450  tanval2  16345  tanval3  16346  efival  16364  sinhval  16366  retanhcl  16371  tanhlt1  16372  tanhbnd  16373  itgz  26156  ibl0  26162  iblcnlem1  26163  itgcnlem  26165  iblss  26180  iblss2  26181  itgss  26187  itgeqa  26189  iblconst  26193  iblabsr  26205  iblmulc2  26206  itgsplit  26211  dvsincos  26356  efeq1  26913  tanregt0  26924  efif1olem4  26930  logi  26972  eflogeq  26987  cxpsqrtlem  27087  root1eq1  27140  ang180lem1  27194  ang180lem2  27195  ang180lem3  27196  atandm2  27262  2efiatan  27303  atantan  27308  dvatan  27320  atantayl2  27323  log2cnv  27329  ccfldextdgrr  34415  constrelextdg2  34490  iconstr  34509  constrrecl  34512  cos9thpiminplylem3  34527  itgexpif  35346  iexpire  36715  iblmulc2nc  38871  ftc1anclem6  38884  ef11d  43656  cxpi11d  43660  proot1ex  44459  iblsplit  47249  sinh-conventional  51237  sinhf  51239  sinh0  51241  sinhneg  51242  tanhvaltan  51248  tanhvalnegitan  51253  sinhadd  51254  coshadd  51255