Theorem ine0 11589

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11113	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2927	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11103	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11340	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2781	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11102	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11338	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11112	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2928	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  inelr  12152  2muline0  12383  irec  14142  iexpcyc  14148  imre  15050  reim  15051  crim  15057  cjreb  15065  cnpart  15182  tanval2  16077  tanval3  16078  efival  16096  sinhval  16098  retanhcl  16103  tanhlt1  16104  tanhbnd  16105  itgz  25658  ibl0  25664  iblcnlem1  25665  itgcnlem  25667  iblss  25682  iblss2  25683  itgss  25689  itgeqa  25691  iblconst  25695  iblabsr  25707  iblmulc2  25708  itgsplit  25713  dvsincos  25861  efeq1  26413  tanregt0  26424  efif1olem4  26430  logi  26472  eflogeq  26487  cxpsqrtlem  26587  root1eq1  26641  ang180lem1  26695  ang180lem2  26696  ang180lem3  26697  atandm2  26763  2efiatan  26804  atantan  26809  dvatan  26821  atantayl2  26824  log2cnv  26830  ccfldextdgrr  33640  constrelextdg2  33710  iconstr  33729  constrrecl  33732  cos9thpiminplylem3  33747  itgexpif  34570  iexpire  35695  iblmulc2nc  37652  ftc1anclem6  37665  ef11d  42300  cxpi11d  42304  proot1ex  43158  iblsplit  45937  sinh-conventional  49701