Theorem ine0 11687

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11215	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2932	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11205	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11442	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2783	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11440	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11214	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2789	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2933	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1534   ≠ wne 2930  (class class class)co 7413  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291

This theorem is referenced by:  inelr  12245  2muline0  12479  irec  14210  iexpcyc  14216  imre  15105  reim  15106  crim  15112  cjreb  15120  cnpart  15237  tanval2  16127  tanval3  16128  efival  16146  sinhval  16148  retanhcl  16153  tanhlt1  16154  tanhbnd  16155  itgz  25795  ibl0  25801  iblcnlem1  25802  itgcnlem  25804  iblss  25819  iblss2  25820  itgss  25826  itgeqa  25828  iblconst  25832  iblabsr  25844  iblmulc2  25845  itgsplit  25850  dvsincos  25998  efeq1  26549  tanregt0  26560  efif1olem4  26566  logi  26608  eflogeq  26623  cxpsqrtlem  26723  root1eq1  26777  ang180lem1  26831  ang180lem2  26832  ang180lem3  26833  atandm2  26899  2efiatan  26940  atantan  26945  dvatan  26957  atantayl2  26960  log2cnv  26966  ccfldextdgrr  33561  constrelextdg2  33616  itgexpif  34462  iexpire  35567  iblmulc2nc  37396  ftc1anclem6  37409  ef11d  42063  cxpi11d  42067  proot1ex  42895  iblsplit  45620  sinh-conventional  48518