Theorem ine0 11555

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11078	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2927	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11068	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11306	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2781	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11067	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11304	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11077	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2928	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2925  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  inelr  12118  2muline0  12349  irec  14108  iexpcyc  14114  imre  15015  reim  15016  crim  15022  cjreb  15030  cnpart  15147  tanval2  16042  tanval3  16043  efival  16061  sinhval  16063  retanhcl  16068  tanhlt1  16069  tanhbnd  16070  itgz  25680  ibl0  25686  iblcnlem1  25687  itgcnlem  25689  iblss  25704  iblss2  25705  itgss  25711  itgeqa  25713  iblconst  25717  iblabsr  25729  iblmulc2  25730  itgsplit  25735  dvsincos  25883  efeq1  26435  tanregt0  26446  efif1olem4  26452  logi  26494  eflogeq  26509  cxpsqrtlem  26609  root1eq1  26663  ang180lem1  26717  ang180lem2  26718  ang180lem3  26719  atandm2  26785  2efiatan  26826  atantan  26831  dvatan  26843  atantayl2  26846  log2cnv  26852  ccfldextdgrr  33645  constrelextdg2  33720  iconstr  33739  constrrecl  33742  cos9thpiminplylem3  33757  itgexpif  34580  iexpire  35718  iblmulc2nc  37675  ftc1anclem6  37688  ef11d  42322  cxpi11d  42326  proot1ex  43179  iblsplit  45957  sinh-conventional  49734