Theorem ine0 11696

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11222	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2940	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11212	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11449	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2792	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11447	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11221	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2798	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2941	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1537   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  inelr  12254  2muline0  12488  irec  14237  iexpcyc  14243  imre  15144  reim  15145  crim  15151  cjreb  15159  cnpart  15276  tanval2  16166  tanval3  16167  efival  16185  sinhval  16187  retanhcl  16192  tanhlt1  16193  tanhbnd  16194  itgz  25831  ibl0  25837  iblcnlem1  25838  itgcnlem  25840  iblss  25855  iblss2  25856  itgss  25862  itgeqa  25864  iblconst  25868  iblabsr  25880  iblmulc2  25881  itgsplit  25886  dvsincos  26034  efeq1  26585  tanregt0  26596  efif1olem4  26602  logi  26644  eflogeq  26659  cxpsqrtlem  26759  root1eq1  26813  ang180lem1  26867  ang180lem2  26868  ang180lem3  26869  atandm2  26935  2efiatan  26976  atantan  26981  dvatan  26993  atantayl2  26996  log2cnv  27002  ccfldextdgrr  33697  constrelextdg2  33752  itgexpif  34600  iexpire  35715  iblmulc2nc  37672  ftc1anclem6  37685  ef11d  42354  cxpi11d  42358  proot1ex  43185  iblsplit  45922  sinh-conventional  48970