Theorem ine0 11644

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11164	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2960	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11154	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11395	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2815	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11153	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11393	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11163	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2821	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2961	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1570   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  inelr  12203  2muline0  12464  irec  14233  iexpcyc  14239  imre  15155  reim  15156  crim  15162  cjreb  15170  cnpart  15287  tanval2  16184  tanval3  16185  efival  16203  sinhval  16205  retanhcl  16210  tanhlt1  16211  tanhbnd  16212  itgz  25940  ibl0  25946  iblcnlem1  25947  itgcnlem  25949  iblss  25964  iblss2  25965  itgss  25971  itgeqa  25973  iblconst  25977  iblabsr  25989  iblmulc2  25990  itgsplit  25995  dvsincos  26140  efeq1  26693  tanregt0  26704  efif1olem4  26710  logi  26752  eflogeq  26767  cxpsqrtlem  26867  root1eq1  26920  ang180lem1  26974  ang180lem2  26975  ang180lem3  26976  atandm2  27042  2efiatan  27083  atantan  27088  dvatan  27100  atantayl2  27103  log2cnv  27109  ccfldextdgrr  34062  constrelextdg2  34137  iconstr  34156  constrrecl  34159  cos9thpiminplylem3  34174  itgexpif  34993  iexpire  36227  iblmulc2nc  38336  ftc1anclem6  38349  ef11d  43100  cxpi11d  43104  proot1ex  43923  iblsplit  46680  sinh-conventional  50517