Theorem ine0 11064

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10595	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2989	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 10585	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 10819	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2850	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 10584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10817	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 10594	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2856	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2990	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1538   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  inelr  11615  2muline0  11849  irec  13560  iexpcyc  13565  imre  14459  reim  14460  crim  14466  cjreb  14474  cnpart  14591  tanval2  15478  tanval3  15479  efival  15497  sinhval  15499  retanhcl  15504  tanhlt1  15505  tanhbnd  15506  itgz  24384  ibl0  24390  iblcnlem1  24391  itgcnlem  24393  iblss  24408  iblss2  24409  itgss  24415  itgeqa  24417  iblconst  24421  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgsplit  24439  dvsincos  24584  efeq1  25120  tanregt0  25131  efif1olem4  25137  eflogeq  25193  cxpsqrtlem  25293  root1eq1  25344  ang180lem1  25395  ang180lem2  25396  ang180lem3  25397  atandm2  25463  2efiatan  25504  atantan  25509  dvatan  25521  atantayl2  25524  log2cnv  25530  ccfldextdgrr  31145  itgexpif  31987  logi  33079  iexpire  33080  iblmulc2nc  35122  ftc1anclem6  35135  proot1ex  40145  iblsplit  42608  sinh-conventional  45265