Theorem ine0 11672

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11198	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2934	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11188	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11425	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2787	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11423	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11197	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2793	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2935	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  inelr  12230  2muline0  12466  irec  14219  iexpcyc  14225  imre  15127  reim  15128  crim  15134  cjreb  15142  cnpart  15259  tanval2  16151  tanval3  16152  efival  16170  sinhval  16172  retanhcl  16177  tanhlt1  16178  tanhbnd  16179  itgz  25734  ibl0  25740  iblcnlem1  25741  itgcnlem  25743  iblss  25758  iblss2  25759  itgss  25765  itgeqa  25767  iblconst  25771  iblabsr  25783  iblmulc2  25784  itgsplit  25789  dvsincos  25937  efeq1  26489  tanregt0  26500  efif1olem4  26506  logi  26548  eflogeq  26563  cxpsqrtlem  26663  root1eq1  26717  ang180lem1  26771  ang180lem2  26772  ang180lem3  26773  atandm2  26839  2efiatan  26880  atantan  26885  dvatan  26897  atantayl2  26900  log2cnv  26906  ccfldextdgrr  33713  constrelextdg2  33781  iconstr  33800  constrrecl  33803  cos9thpiminplylem3  33818  itgexpif  34638  iexpire  35752  iblmulc2nc  37709  ftc1anclem6  37722  ef11d  42388  cxpi11d  42392  proot1ex  43220  iblsplit  45995  sinh-conventional  49603