Theorem ine0 11340

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10871	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2944	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 10861	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11095	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2796	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 10860	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 11093	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 10870	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2802	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2945	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  inelr  11893  2muline0  12127  irec  13846  iexpcyc  13851  imre  14747  reim  14748  crim  14754  cjreb  14762  cnpart  14879  tanval2  15770  tanval3  15771  efival  15789  sinhval  15791  retanhcl  15796  tanhlt1  15797  tanhbnd  15798  itgz  24850  ibl0  24856  iblcnlem1  24857  itgcnlem  24859  iblss  24874  iblss2  24875  itgss  24881  itgeqa  24883  iblconst  24887  iblabsr  24899  iblmulc2  24900  itgsplit  24905  dvsincos  25050  efeq1  25589  tanregt0  25600  efif1olem4  25606  eflogeq  25662  cxpsqrtlem  25762  root1eq1  25813  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  atandm2  25932  2efiatan  25973  atantan  25978  dvatan  25990  atantayl2  25993  log2cnv  25999  ccfldextdgrr  31644  itgexpif  32486  logi  33606  iexpire  33607  iblmulc2nc  35769  ftc1anclem6  35782  proot1ex  40942  iblsplit  43397  sinh-conventional  46327