Theorem ine0 11410

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10940	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2945	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 10930	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11165	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2795	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 11163	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 10939	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2801	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2946	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  inelr  11963  2muline0  12197  irec  13918  iexpcyc  13923  imre  14819  reim  14820  crim  14826  cjreb  14834  cnpart  14951  tanval2  15842  tanval3  15843  efival  15861  sinhval  15863  retanhcl  15868  tanhlt1  15869  tanhbnd  15870  itgz  24945  ibl0  24951  iblcnlem1  24952  itgcnlem  24954  iblss  24969  iblss2  24970  itgss  24976  itgeqa  24978  iblconst  24982  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  itgsplit  25000  dvsincos  25145  efeq1  25684  tanregt0  25695  efif1olem4  25701  eflogeq  25757  cxpsqrtlem  25857  root1eq1  25908  ang180lem1  25959  ang180lem2  25960  ang180lem3  25961  atandm2  26027  2efiatan  26068  atantan  26073  dvatan  26085  atantayl2  26088  log2cnv  26094  ccfldextdgrr  31742  itgexpif  32586  logi  33700  iexpire  33701  iblmulc2nc  35842  ftc1anclem6  35855  proot1ex  41026  iblsplit  43507  sinh-conventional  46441