Theorem ine0 11651

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11181	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2942	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11171	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11406	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2789	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11170	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11404	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11180	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 196	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2943	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255

This theorem is referenced by:  inelr  12204  2muline0  12438  irec  14167  iexpcyc  14173  imre  15057  reim  15058  crim  15064  cjreb  15072  cnpart  15189  tanval2  16078  tanval3  16079  efival  16097  sinhval  16099  retanhcl  16104  tanhlt1  16105  tanhbnd  16106  itgz  25305  ibl0  25311  iblcnlem1  25312  itgcnlem  25314  iblss  25329  iblss2  25330  itgss  25336  itgeqa  25338  iblconst  25342  iblabsr  25354  iblmulc2  25355  itgsplit  25360  dvsincos  25505  efeq1  26044  tanregt0  26055  efif1olem4  26061  eflogeq  26117  cxpsqrtlem  26217  root1eq1  26270  ang180lem1  26321  ang180lem2  26322  ang180lem3  26323  atandm2  26389  2efiatan  26430  atantan  26435  dvatan  26447  atantayl2  26450  log2cnv  26456  ccfldextdgrr  32806  itgexpif  33687  logi  34779  iexpire  34780  iblmulc2nc  36645  ftc1anclem6  36658  proot1ex  42031  iblsplit  44767  sinh-conventional  47868