Theorem ine0 11660

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11180	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2962	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11170	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11411	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2817	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11169	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11409	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11179	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2823	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 200	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2963	1 ⊢ i ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259

This theorem is used by:  inelr  12219  2muline0  12480  irec  14251  iexpcyc  14257  imre  15179  reim  15180  crim  15186  cjreb  15194  cnpart  15311  tanval2  16207  tanval3  16208  efival  16226  sinhval  16228  retanhcl  16233  tanhlt1  16234  tanhbnd  16235  itgz  25971  ibl0  25977  iblcnlem1  25978  itgcnlem  25980  iblss  25995  iblss2  25996  itgss  26002  itgeqa  26004  iblconst  26008  iblabsr  26020  iblmulc2  26021  itgsplit  26026  dvsincos  26171  efeq1  26724  tanregt0  26735  efif1olem4  26741  logi  26783  eflogeq  26798  cxpsqrtlem  26898  root1eq1  26951  ang180lem1  27005  ang180lem2  27006  ang180lem3  27007  atandm2  27073  2efiatan  27114  atantan  27119  dvatan  27131  atantayl2  27134  log2cnv  27140  ccfldextdgrr  34102  constrelextdg2  34177  iconstr  34196  constrrecl  34199  cos9thpiminplylem3  34214  itgexpif  35034  iexpire  36240  iblmulc2nc  38369  ftc1anclem6  38382  ef11d  43133  cxpi11d  43137  proot1ex  43956  iblsplit  46713  sinh-conventional  50550