Theorem ine0 11574

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11097	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2927	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11087	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11325	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2781	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11086	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11323	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11096	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 197	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2928	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  inelr  12137  2muline0  12368  irec  14127  iexpcyc  14133  imre  15034  reim  15035  crim  15041  cjreb  15049  cnpart  15166  tanval2  16061  tanval3  16062  efival  16080  sinhval  16082  retanhcl  16087  tanhlt1  16088  tanhbnd  16089  itgz  25699  ibl0  25705  iblcnlem1  25706  itgcnlem  25708  iblss  25723  iblss2  25724  itgss  25730  itgeqa  25732  iblconst  25736  iblabsr  25748  iblmulc2  25749  itgsplit  25754  dvsincos  25902  efeq1  26454  tanregt0  26465  efif1olem4  26471  logi  26513  eflogeq  26528  cxpsqrtlem  26628  root1eq1  26682  ang180lem1  26736  ang180lem2  26737  ang180lem3  26738  atandm2  26804  2efiatan  26845  atantan  26850  dvatan  26862  atantayl2  26865  log2cnv  26871  ccfldextdgrr  33658  constrelextdg2  33733  iconstr  33752  constrrecl  33755  cos9thpiminplylem3  33770  itgexpif  34593  iexpire  35727  iblmulc2nc  37684  ftc1anclem6  37697  ef11d  42332  cxpi11d  42336  proot1ex  43189  iblsplit  45967  sinh-conventional  49744