MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ine0 11064
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10595 . . . 4 1 ≠ 0
21neii 3023 . . 3 ¬ 1 = 0
3 oveq2 7156 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4 ax-icn 10585 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54mul01i 10819 . . . . . 6 (i · 0) = 0
63, 5syl6req 2878 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
76oveq1d 7163 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8 ax-1cn 10584 . . . . 5 1 ∈ ℂ
98addid2i 10817 . . . 4 (0 + 1) = 1
10 ax-i2m1 10594 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
117, 9, 103eqtr3g 2884 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
122, 11mto 198 . 2 ¬ i = 0
1312neir 3024 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wne 3021  (class class class)co 7148  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  inelr  11617  2muline0  11850  irec  13554  iexpcyc  13559  imre  14457  reim  14458  crim  14464  cjreb  14472  cnpart  14589  tanval2  15476  tanval3  15477  efival  15495  sinhval  15497  retanhcl  15502  tanhlt1  15503  tanhbnd  15504  itgz  24299  ibl0  24305  iblcnlem1  24306  itgcnlem  24308  iblss  24323  iblss2  24324  itgss  24330  itgeqa  24332  iblconst  24336  iblabsr  24348  iblmulc2  24349  itgsplit  24354  dvsincos  24496  efeq1  25029  tanregt0  25039  efif1olem4  25045  eflogeq  25101  cxpsqrtlem  25201  root1eq1  25252  ang180lem1  25303  ang180lem2  25304  ang180lem3  25305  atandm2  25371  2efiatan  25412  atantan  25417  dvatan  25429  atantayl2  25432  log2cnv  25439  ccfldextdgrr  30946  itgexpif  31766  logi  32853  iexpire  32854  iblmulc2nc  34827  ftc1anclem6  34842  proot1ex  39669  iblsplit  42119  sinh-conventional  44673
  Copyright terms: Public domain W3C validator