Theorem ine0 11616

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11136	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2958	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 7399	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 11126	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 11367	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	eqtr2di 2813	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 11125	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11365	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 11135	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2819	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 199	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2959	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1559   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215

This theorem is referenced by:  inelr  12179  2muline0  12440  irec  14208  iexpcyc  14214  imre  15126  reim  15127  crim  15133  cjreb  15141  cnpart  15258  tanval2  16156  tanval3  16157  efival  16175  sinhval  16177  retanhcl  16182  tanhlt1  16183  tanhbnd  16184  itgz  25831  ibl0  25837  iblcnlem1  25838  itgcnlem  25840  iblss  25855  iblss2  25856  itgss  25862  itgeqa  25864  iblconst  25868  iblabsr  25880  iblmulc2  25881  itgsplit  25886  dvsincos  26031  efeq1  26581  tanregt0  26592  efif1olem4  26598  logi  26640  eflogeq  26655  cxpsqrtlem  26755  root1eq1  26808  ang180lem1  26862  ang180lem2  26863  ang180lem3  26864  atandm2  26930  2efiatan  26971  atantan  26976  dvatan  26988  atantayl2  26991  log2cnv  26997  ccfldextdgrr  33930  constrelextdg2  34005  iconstr  34024  constrrecl  34027  cos9thpiminplylem3  34042  itgexpif  34861  iexpire  36046  iblmulc2nc  38145  ftc1anclem6  38158  ef11d  42909  cxpi11d  42913  proot1ex  43734  iblsplit  46501  sinh-conventional  50321