Theorem cu2 14153

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12236	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7371	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 12247	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 14021	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 14150	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 12335	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2760	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2760	1 ⊢ (2↑3) = 8

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  8c8 12233  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16142  2exp5  17047  2exp6  17048  2exp11  17051  2503lem2  17099  quartlem1  26834  chtub  27189  bposlem8  27268  cos9thpiminplylem1  33942  3lexlogpow2ineq1  42511  aks4d1p1  42529  2ap1caineq  42598  lhe4.4ex1a  44774  fmtno3  48026  fmtnoprmfac2lem1  48041  fmtno4sqrt  48046  m3prm  48067  5tcu2e40  48090  41prothprm  48094  ackval3012  49180