Theorem cu2 14264

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12328	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7424	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 14132	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 14261	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 12433	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2783	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2783	1 ⊢ (2↑3) = 8

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  8c8 12325  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  ef01bndlem  16272  2exp5  17177  2exp6  17178  2exp11  17181  2503lem2  17230  quartlem1  27094  chtub  27448  bposlem8  27527  cos9thpiminplylem1  34292  3lexlogpow2ineq1  42924  aks4d1p1  42942  2ap1caineq  43011  lhe4.4ex1a  45153  goldratmolem2  47751  fmtno3  48454  fmtnoprmfac2lem1  48469  fmtno4sqrt  48474  m3prm  48495  5tcu2e40  48518  41prothprm  48522  ackval3012  49622