Theorem cu2 14102

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12184	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7352	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 12195	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12393	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 13970	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 14099	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7351	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 12283	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2754	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2754	1 ⊢ (2↑3) = 8

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  8c8 12181  ℕ₀cn0 12376  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16088  2exp5  16992  2exp6  16993  2exp11  16996  2503lem2  17044  quartlem1  26789  chtub  27145  bposlem8  27224  cos9thpiminplylem1  33787  3lexlogpow2ineq1  42091  aks4d1p1  42109  2ap1caineq  42178  lhe4.4ex1a  44362  fmtno3  47582  fmtnoprmfac2lem1  47597  fmtno4sqrt  47602  m3prm  47623  5tcu2e40  47646  41prothprm  47650  ackval3012  48724