Theorem cu2 13667

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11792	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7193	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 11803	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12005	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 13540	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 13664	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7192	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 11896	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2762	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2762	1 ⊢ (2↑3) = 8

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632  2c2 11783  3c3 11784  4c4 11785  8c8 11789  ℕ₀cn0 11988  ↑cexp 13533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-seq 13473  df-exp 13534

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15641  2exp5  16534  2exp6  16535  2exp11  16538  2503lem2  16586  quartlem1  25607  chtub  25960  bposlem8  26039  3lexlogpow2ineq1  39718  aks4d1p1  39735  2ap1caineq  39739  lhe4.4ex1a  41525  fmtno3  44584  fmtnoprmfac2lem1  44599  fmtno4sqrt  44604  m3prm  44625  5tcu2e40  44648  41prothprm  44652  ackval3012  45619