Theorem cu2 13566

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11704	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7169	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 11715	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 13439	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 13563	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 11808	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2846	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2846	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2846	1 ⊢ (2↑3) = 8

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  8c8 11701  ℕ₀cn0 11900  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15539  2exp6  16424  2503lem2  16473  quartlem1  25437  chtub  25790  bposlem8  25869  lhe4.4ex1a  40668  fmtno3  43720  fmtnoprmfac2lem1  43735  fmtno4sqrt  43740  m3prm  43761  2exp5  43762  2exp11  43772  5tcu2e40  43787  41prothprm  43791