Theorem cu2 13926

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12046	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7295	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 12057	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12259	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 13798	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 13923	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7294	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 12150	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2767	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2767	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2767	1 ⊢ (2↑3) = 8

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  8c8 12043  ℕ₀cn0 12242  ↑cexp 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15902  2exp5  16796  2exp6  16797  2exp11  16800  2503lem2  16848  quartlem1  26016  chtub  26369  bposlem8  26448  3lexlogpow2ineq1  40073  aks4d1p1  40091  2ap1caineq  40108  lhe4.4ex1a  41954  fmtno3  45014  fmtnoprmfac2lem1  45029  fmtno4sqrt  45034  m3prm  45055  5tcu2e40  45078  41prothprm  45082  ackval3012  46049