Theorem cu2 14344

Description: The cube of 2 is 8. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cu2	⊢ (2↑3) = 8

Proof of Theorem cu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12407	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (2↑3) = (2↑(2 + 1))
3		2cn 12419	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2nn0 12624	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 14212	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ (2↑(2 + 1)) = ((2↑2) · 2)
7		sq2 14341	. . . . 5 ⊢ (2↑2) = 4
8	7	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((2↑2) · 2) = (4 · 2)
9		4t2e8 12512	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
10	8, 9	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((2↑2) · 2) = 8
11	6, 10	eqtri 2783	. 2 ⊢ (2↑(2 + 1)) = 8
12	2, 11	eqtri 2783	1 ⊢ (2↑3) = 8

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  2c2 12398  3c3 12399  4c4 12400  8c8 12404  ℕ₀cn0 12607  ↑cexp 14205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-seq 14146  df-exp 14206

This theorem is used by:  ef01bndlem  16353  2exp5  17264  2exp6  17265  2exp11  17268  2503lem2  17317  quartlem1  27186  chtub  27540  bposlem8  27619  cos9thpiminplylem1  34457  3lexlogpow2ineq1  43184  aks4d1p1  43202  2ap1caineq  43271  lhe4.4ex1a  45389  goldratmolem2  48009  fmtno3  48712  fmtnoprmfac2lem1  48727  fmtno4sqrt  48732  m3prm  48753  5tcu2e40  48776  41prothprm  48780  ackval3012  49880