Theorem liminflelimsup 46893

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. The second hypothesis is needed (see liminflelimsupcex 46914 for a counterexample). The inequality can be strict, see liminfltlimsupex 46898. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsup	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝑉(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsup

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsup.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminflelimsup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
3		oveq1 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
4	3	rexeqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
5		oveq1 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗[,)+∞) = (𝑙[,)+∞))
6	5	imaeq2d 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
7	6	ineq1d 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8	7	neeq1d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
9	8	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
11	4, 10	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
12	11	cbvralvw 3240	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
13	2, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
14	1, 13	liminflelimsuplem 46892	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 4088  ∅c0 4277   class class class wbr 5102   “ cima 5653  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  +∞cpnf 11345  ℝ^*cxr 11347   ≤ cle 11349  [,)cico 13483  lim supclsp 15644  lim infclsi 46868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-ico 13487  df-limsup 15645  df-liminf 46869

This theorem is used by:  liminfgelimsup  46899  liminflelimsupuz  46902