Theorem liminflelimsup 45805

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. The second hypothesis is needed (see liminflelimsupcex 45826 for a counterexample). The inequality can be strict, see liminfltlimsupex 45810. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsup	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsup

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsup.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminflelimsup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
3		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
4	3	rexeqdv 3306	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
5		oveq1 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗[,)+∞) = (𝑙[,)+∞))
6	5	imaeq2d 6047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
7	6	ineq1d 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8	7	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
9	8	cbvrexvw 3221	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
11	4, 10	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
12	11	cbvralvw 3220	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
13	2, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
14	1, 13	liminflelimsuplem 45804	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3925  ∅c0 4308   class class class wbr 5119   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   ≤ cle 11270  [,)cico 13364  lim supclsp 15486  lim infclsi 45780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-ico 13368  df-limsup 15487  df-liminf 45781

This theorem is referenced by:  liminfgelimsup  45811  liminflelimsupuz  45814