Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflelimsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflelimsup 45732
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. The second hypothesis is needed (see liminflelimsupcex 45753 for a counterexample). The inequality can be strict, see liminfltlimsupex 45737. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsup.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminflelimsup.2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsup (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsup
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminflelimsup.1 . 2 (𝜑𝐹𝑉)
2 liminflelimsup.2 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
3 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
43rexeqdv 3325 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
5 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑙 → (𝑗[,)+∞) = (𝑙[,)+∞))
65imaeq2d 6080 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
76ineq1d 4227 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
87neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑙 → (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
98cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
109a1i 11 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
114, 10bitrd 279 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
1211cbvralvw 3235 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
132, 12sylib 218 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
141, 13liminflelimsuplem 45731 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  c0 4339   class class class wbr 5148  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  [,)cico 13386  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ico 13390  df-limsup 15504  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  liminfgelimsup  45738  liminflelimsupuz  45741
  Copyright terms: Public domain W3C validator