Theorem liminflelimsup 45814

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. The second hypothesis is needed (see liminflelimsupcex 45835 for a counterexample). The inequality can be strict, see liminfltlimsupex 45819. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsup	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsup

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsup.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminflelimsup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
3		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
4	3	rexeqdv 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
5		oveq1 7348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗[,)+∞) = (𝑙[,)+∞))
6	5	imaeq2d 6004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
7	6	ineq1d 4164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8	7	neeq1d 2987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
9	8	cbvrexvw 3211	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
11	4, 10	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
12	11	cbvralvw 3210	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
13	2, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
14	1, 13	liminflelimsuplem 45813	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896  ∅c0 4278   class class class wbr 5086   “ cima 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140   ≤ cle 11142  [,)cico 13242  lim supclsp 15372  lim infclsi 45789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-ico 13246  df-limsup 15373  df-liminf 45790

This theorem is referenced by:  liminfgelimsup  45820  liminflelimsupuz  45823