Theorem liminflelimsup 45791

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. The second hypothesis is needed (see liminflelimsupcex 45812 for a counterexample). The inequality can be strict, see liminfltlimsupex 45796. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsup.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsup.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsup	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable group:   𝑗,𝐹,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsup

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflelimsup.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminflelimsup.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
3		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
4	3	rexeqdv 3327	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
5		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗[,)+∞) = (𝑙[,)+∞))
6	5	imaeq2d 6078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
7	6	ineq1d 4219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8	7	neeq1d 3000	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
9	8	cbvrexvw 3238	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
11	4, 10	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
12	11	cbvralvw 3237	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
13	2, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ (𝑖[,)+∞)((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
14	1, 13	liminflelimsuplem 45790	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  [,)cico 13389  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-limsup 15507  df-liminf 45767

This theorem is referenced by:  liminfgelimsup  45797  liminflelimsupuz  45800