MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsuple 14827
Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsuple ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuple
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
2 reex 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32ssex 5189 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
5 xrex 12374 . . . . . 6 * ∈ V
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
7 fex2 7620 . . . . 5 ((𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
9 limsupval.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
109limsupval 14823 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
118, 10syl 17 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
1211breq2d 5042 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < )))
139limsupgf 14824 . . . . 5 𝐺:ℝ⟶ℝ*
14 frn 6493 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ* → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ ℝ*
16 simp3 1135 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 12716 . . . 4 ((ran 𝐺 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
1815, 16, 17sylancr 590 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥))
19 ffn 6487 . . . . 5 (𝐺:ℝ⟶ℝ*𝐺 Fn ℝ)
2013, 19ax-mp 5 . . . 4 𝐺 Fn ℝ
21 breq2 5034 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2221ralrn 6831 . . . 4 (𝐺 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2320, 22ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗))
2418, 23syl6bb 290 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
2512, 24bitrd 282 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cin 3880  wss 3881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5520  cima 5522   Fn wfn 6319  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  infcinf 8889  cr 10525  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  [,)cico 12728  lim supclsp 14819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-limsup 14820
This theorem is referenced by:  limsuplt  14828  limsupbnd1  14831  limsupbnd2  14832  mbflimsup  24270  limsupge  42401
  Copyright terms: Public domain W3C validator