Theorem limsuple 15677

Description: The defining property of the superior limit. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsuple	⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsuple

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
2		reex 11321	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	ssex 5287	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ V)
5		xrex 13145	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ℝ* ∈ V)
7		fex2 7975	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐹 ∈ V)
9		limsupval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10	9	limsupval 15673	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
12	11	breq2d 5118	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ 𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < )))
13	9	limsupgf 15674	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ*
14		frn 6742	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ* → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran 𝐺 ⊆ ℝ*
16		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		infxrgelb 13496	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐺 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴 ≤ 𝑥))
18	15, 16, 17	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴 ≤ 𝑥))
19		ffn 6734	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ* → 𝐺 Fn ℝ)
20	13, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺 Fn ℝ
21		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗)))
22	21	ralrn 7115	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗)))
23	20, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran 𝐺 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗))
24	18, 23	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗)))
25	12, 24	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑗 ∈ ℝ 𝐴 ≤ (𝐺‘𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ran crn 5657   “ cima 5659   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  supcsup 9462  infcinf 9463  ℝcr 11229  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374  [,)cico 13508  lim supclsp 15669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-limsup 15670

This theorem is used by:  limsuplt  15678  limsupbnd1  15681  limsupbnd2  15682  mbflimsup  26020  limsupge  46986