Theorem limsupbnd1 15654

Description: If a sequence is eventually at most 𝐴, then the limsup is also at most 𝐴. (The converse is only true if the less or equal is replaced by strictly less than; consider the sequence 1 / 𝑛 which is never less or equal to zero even though the limsup is.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
limsupbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
limsupbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
limsupbnd1.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
limsupbnd1	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Proof of Theorem limsupbnd1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupbnd1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴))
2		limsupbnd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		limsupbnd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐵⟶ℝ*)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
7		limsupbnd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10	9	limsupgle 15649	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ*) ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
11	3, 5, 6, 8, 10	syl211anc 1403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴)))
12		reex 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
13	12	ssex 5281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V)
14	2, 13	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		xrex 13118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ* ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
17		fex2 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
18	4, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
19		limsupcl 15645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
21	20	xrleidd 13284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
22	9	limsuple 15650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐵⟶ℝ* ∧ (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘)))
23	2, 4, 20, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘)))
24	21, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘))
25	24	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘))
26	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	9	limsupgf 15647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*)
29	28	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ∈ ℝ*)
30		xrletr 13290	. . . . . 6 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ≤ 𝐴) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴))
31	26, 29, 8, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((lim sup‘𝐹) ≤ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ≤ 𝐴) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴))
32	25, 31	mpand 708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))‘𝑘) ≤ 𝐴 → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴))
33	11, 32	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴))
34	33	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐵 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝐴) → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴))
35	1, 34	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9435  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  [,)cico 13481  lim supclsp 15642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-ico 13485  df-limsup 15643

This theorem is used by:  caucvgrlem  15845  limsupre  46744  limsupbnd1f  46789