MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupbnd1 15428
Description: If a sequence is eventually at most 𝐴, then the limsup is also at most 𝐴. (The converse is only true if the less or equal is replaced by strictly less than; consider the sequence 1 / 𝑛 which is never less or equal to zero even though the limsup is.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsupbnd.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsupbnd.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
limsupbnd1.4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
limsupbnd1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝐴   𝐡,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜

Proof of Theorem limsupbnd1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd1.4 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
2 limsupbnd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
32adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
4 limsupbnd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
6 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7 limsupbnd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
87adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
109limsupgle 15423 . . . . 5 (((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„*) ∧ π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
113, 5, 6, 8, 10syl211anc 1376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
12 reex 11203 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
1312ssex 5321 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 ∈ V)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
15 xrex 12973 . . . . . . . . . . 11 ℝ* ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ* ∈ V)
17 fex2 7926 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐡 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
184, 14, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
19 limsupcl 15419 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2120xrleidd 13133 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
229limsuple 15424 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜)))
232, 4, 20, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜)))
2421, 23mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜))
2524r19.21bi 3248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜))
2620adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
279limsupgf 15421 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):β„βŸΆβ„*
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):β„βŸΆβ„*)
2928ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
30 xrletr 13139 . . . . . 6 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3126, 29, 8, 30syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3225, 31mpand 693 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3311, 32sylbird 259 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3433rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
351, 34mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  [,)cico 13328  lim supclsp 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-ico 13332  df-limsup 15417
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  15621  limsupre  44436  limsupbnd1f  44481
  Copyright terms: Public domain W3C validator