MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupbnd1 15426
Description: If a sequence is eventually at most 𝐴, then the limsup is also at most 𝐴. (The converse is only true if the less or equal is replaced by strictly less than; consider the sequence 1 / 𝑛 which is never less or equal to zero even though the limsup is.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsupbnd.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsupbnd.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
limsupbnd1.4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
limsupbnd1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝐴   𝐡,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜

Proof of Theorem limsupbnd1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd1.4 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
2 limsupbnd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
32adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
4 limsupbnd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
6 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7 limsupbnd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
87adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
109limsupgle 15421 . . . . 5 (((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„*) ∧ π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
113, 5, 6, 8, 10syl211anc 1377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
12 reex 11201 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
1312ssex 5322 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 βŠ† ℝ β†’ 𝐡 ∈ V)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
15 xrex 12971 . . . . . . . . . . 11 ℝ* ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ* ∈ V)
17 fex2 7924 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ 𝐡 ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
184, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
19 limsupcl 15417 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2120xrleidd 13131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
229limsuple 15422 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† ℝ ∧ 𝐹:π΅βŸΆβ„* ∧ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜)))
232, 4, 20, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜)))
2421, 23mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜))
2524r19.21bi 3249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜))
2620adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ*)
279limsupgf 15419 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):β„βŸΆβ„*
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):β„βŸΆβ„*)
2928ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
30 xrletr 13137 . . . . . 6 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (((lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3126, 29, 8, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((lim supβ€˜πΉ) ≀ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ∧ ((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3225, 31mpand 694 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑛 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑛[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))β€˜π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3311, 32sylbird 260 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3433rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴))
351, 34mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-ico 13330  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  15619  limsupre  44357  limsupbnd1f  44402
  Copyright terms: Public domain W3C validator