MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrss 13374
Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
supxrss ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴𝐵)
32sselda 3983 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
4 supxrub 13366 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑥𝐵) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
51, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
65ralrimiva 3146 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
7 sstr 3992 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8 supxrcl 13357 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
98adantl 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 supxrleub 13368 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
117, 9, 10syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
126, 11mpbird 257 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  supcsup 9480  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  26156  ioossioobi  45530  limsupres  45720  supcnvlimsup  45755  liminfval2  45783  liminflelimsuplem  45790  sge0less  46407  sge0reuz  46462  smflimsuplem4  46838
  Copyright terms: Public domain W3C validator