MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrss 12717
Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
supxrss ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
2 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴𝐵)
32sselda 3918 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
4 supxrub 12709 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑥𝐵) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
51, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
65ralrimiva 3152 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
7 sstr 3926 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8 supxrcl 12700 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
98adantl 485 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 supxrleub 12711 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
117, 9, 10syl2anc 587 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
126, 11mpbird 260 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112  wral 3109  wss 3884   class class class wbr 5033  supcsup 8892  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  24720  ioossioobi  42141  limsupres  42334  supcnvlimsup  42369  liminfval2  42397  liminflelimsuplem  42404  sge0less  43018  sge0reuz  43073  smflimsuplem4  43441
  Copyright terms: Public domain W3C validator