MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprid1 19762
Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprid.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprid.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprid.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprid.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprid1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprid1
StepHypRef Expression
1 lspprid.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspprid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspprid.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
42, 3prssd 4715 . . 3 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5 snsspr1 4707 . . . 4 {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
7 lspprid.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lspprid.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
97, 8lspss 19749 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
101, 4, 6, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 eqid 2798 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
127, 11, 8, 1, 2, 3lspprcl 19743 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 11, 8, 1, 12, 2lspsnel5 19760 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
1410, 13mpbird 260 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737
This theorem is referenced by:  lspprid2  19763  lspprvacl  19764  dvh3dim2  38741  mapdh9a  39082  hdmapval0  39126  hdmapval3lemN  39130  hdmap10lem  39132  hdmap11lem2  39135
  Copyright terms: Public domain W3C validator