Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdindp2 40580
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4737 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ {𝑋, (π‘Œ + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6892 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20709 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 20695 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2794 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 prssi 4823 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
17 snsspr1 4816 . . . . . . 7 {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}
1817a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ})
193, 5lspss 20587 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2120adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2212, 21eqsstrd 4019 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2423adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2522, 24ssneldd 3984 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
2623adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
286adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
299adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3013adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3231adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
3635adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
39 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 40578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
4140oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
42 eqid 2732 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4331eldifad 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
443, 27lmodvacl 20478 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 20692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
4746adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 20692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
4948adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
5041, 47, 493eqtr4d 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5126, 50neleqtrrd 2856 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  40598  hdmap1l6d  40672
  Copyright terms: Public domain W3C validator