Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdindp2 41250
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4734 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ {𝑋, (π‘Œ + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20995 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3951 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 20981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 prssi 4820 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
17 snsspr1 4813 . . . . . . 7 {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}
1817a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ})
193, 5lspss 20872 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2120adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2212, 21eqsstrd 4011 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2423adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2522, 24ssneldd 3975 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
2623adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
286adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
299adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3013adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3231adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3433adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
3635adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
39 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 41248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
4140oveq2d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
42 eqid 2725 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4331eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
443, 27lmodvacl 20762 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 20978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
4746adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 20978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
4948adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
5041, 47, 493eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5126, 50neleqtrrd 2848 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 3019 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  41268  hdmap1l6d  41342
  Copyright terms: Public domain W3C validator