Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp2 40213
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4700 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ {𝑋, (π‘Œ + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6851 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lveclmod 20583 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 20569 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 0 }) = (π‘β€˜{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2799 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 prssi 4786 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
17 snsspr1 4779 . . . . . . 7 {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}
1817a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ})
193, 5lspss 20461 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉 ∧ {𝑋} βŠ† {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2120adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2212, 21eqsstrd 3987 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2423adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2522, 24ssneldd 3952 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
2623adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
286adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
299adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3013adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3231adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
3635adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3837adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
39 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 40211 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
4140oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
42 eqid 2737 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
4331eldifad 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
443, 27lmodvacl 20352 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 20566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
4746adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 20566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
4948adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
5041, 47, 493eqtr4d 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5126, 50neleqtrrd 2861 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  40231  hdmap1l6d  40305
  Copyright terms: Public domain W3C validator