Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp2 41704
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4739 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {𝑋, (𝑌 + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 21123 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 21109 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2797 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
15 prssi 4826 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
17 snsspr1 4819 . . . . . . 7 {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
193, 5lspss 21000 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2212, 21eqsstrd 4034 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2522, 24ssneldd 3998 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
2623adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
286adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
299adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 41702 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
4140oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
42 eqid 2735 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4331eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
443, 27lmodvacl 20890 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 21106 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
4746adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 21106 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
4948adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
5041, 47, 493eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5126, 50neleqtrrd 2862 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 3027 1 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  41722  hdmap1l6d  41796
  Copyright terms: Public domain W3C validator