Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp2 38975
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4644 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {𝑋, (𝑌 + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19869 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3920 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 19855 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2879 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3920 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
15 prssi 4727 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
17 snsspr1 4720 . . . . . . 7 {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
193, 5lspss 19747 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2120adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2212, 21eqsstrd 3980 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2423adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2522, 24ssneldd 3945 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
2623adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
286adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
299adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3013adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3635adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3837adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 38973 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
4140oveq2d 7156 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
42 eqid 2822 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4331eldifad 3920 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
443, 27lmodvacl 19639 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 19852 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
4746adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 19852 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
4948adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
5041, 47, 493eqtr4d 2867 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5126, 50neleqtrrd 2936 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 3098 1 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cdif 3905  wss 3908  {csn 4539  {cpr 4541  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  LSSumclsm 18750  LModclmod 19625  LSpanclspn 19734  LVecclvec 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  38993  hdmap1l6d  39067
  Copyright terms: Public domain W3C validator