Theorem lspindp5 42807

Description: Obtain an independent vector set 𝑈, 𝑋, 𝑌 from a vector 𝑈 dependent on 𝑋 and 𝑍 and another independent set 𝑍, 𝑋, 𝑌. (Here we don't show the (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 21400 and prcom 4693.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp5.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp5.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
lspindp5.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
lspindp5.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspindp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp5.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2		lspindp5.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
3		ssel 3925	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4	2, 3	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5	1, 4	mtod 201	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
6		lspindp5.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lspindp5.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspindp5.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		prssi 4782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
13		snsspr1 4775	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
15		lspindp5.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lspindp5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16	lspss 21252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
19	18	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))))
20		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
21	20	lsssssubg 21226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
22	8, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 20, 16	lspsncl 21245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 9, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	22, 24	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
26		lspindp5.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27	15, 20, 16	lspsncl 21245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
28	8, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
29	22, 28	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30	15, 20, 16, 8, 9, 10	lspprcl 21246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	22, 30	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
33	32	lsmlub 19871	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
34	25, 29, 31, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
35	19, 34	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
36	15, 20, 16, 8, 30, 26	ellspsn5b 21263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
37	15, 16, 32, 8, 9, 26	lsmpr 21357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})))
38	37	sseq1d 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
39	35, 36, 38	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
40	5, 39	mtbird 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  SubGrpcsubg 19323  LSSumclsm 19841  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  LSpanclspn 21239  LVecclvec 21370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371

This theorem is used by:  mapdh8b  42817