Theorem lspindp5 41713

Description: Obtain an independent vector set 𝑈, 𝑋, 𝑌 from a vector 𝑈 dependent on 𝑋 and 𝑍 and another independent set 𝑍, 𝑋, 𝑌. (Here we don't show the (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 21104 and prcom 4714.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp5.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp5.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
lspindp5.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
lspindp5.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspindp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp5.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2		lspindp5.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
3		ssel 3959	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4	2, 3	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5	1, 4	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
6		lspindp5.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lspindp5.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspindp5.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		prssi 4803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
13		snsspr1 4796	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
15		lspindp5.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lspindp5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16	lspss 20955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
19	18	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))))
20		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
21	20	lsssssubg 20929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
22	8, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 20, 16	lspsncl 20948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 9, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	22, 24	sseldd 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
26		lspindp5.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27	15, 20, 16	lspsncl 20948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
29	22, 28	sseldd 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30	15, 20, 16, 8, 9, 10	lspprcl 20949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	22, 30	sseldd 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
33	32	lsmlub 19655	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
34	25, 29, 31, 33	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
35	19, 34	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
36	15, 20, 16, 8, 30, 26	ellspsn5b 20966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
37	15, 16, 32, 8, 9, 26	lsmpr 21061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})))
38	37	sseq1d 3997	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
39	35, 36, 38	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
40	5, 39	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3933  {csn 4608  {cpr 4610  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17230  SubGrpcsubg 19112  LSSumclsm 19625  LModclmod 20831  LSubSpclss 20902  LSpanclspn 20942  LVecclvec 21074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-subg 19115  df-cntz 19309  df-lsm 19627  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lvec 21075

This theorem is referenced by:  mapdh8b  41723