Theorem lspindp5 43093

Description: Obtain an independent vector set 𝑈, 𝑋, 𝑌 from a vector 𝑈 dependent on 𝑋 and 𝑍 and another independent set 𝑍, 𝑋, 𝑌. (Here we don't show the (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 21458 and prcom 4695.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp5.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp5.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
lspindp5.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
lspindp5.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspindp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp5.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2		lspindp5.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
3		ssel 3907	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4	2, 3	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5	1, 4	mtod 201	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
6		lspindp5.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 21432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lspindp5.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspindp5.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		prssi 4782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
13		snsspr1 4775	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
15		lspindp5.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lspindp5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16	lspss 21310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
19	18	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))))
20		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
21	20	lsssssubg 21284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
22	8, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 20, 16	lspsncl 21303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 9, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	22, 24	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
26		lspindp5.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27	15, 20, 16	lspsncl 21303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
28	8, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
29	22, 28	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30	15, 20, 16, 8, 9, 10	lspprcl 21304	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	22, 30	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
33	32	lsmlub 19929	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
34	25, 29, 31, 33	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
35	19, 34	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
36	15, 20, 16, 8, 30, 26	ellspsn5b 21321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
37	15, 16, 32, 8, 9, 26	lsmpr 21415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})))
38	37	sseq1d 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
39	35, 36, 38	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
40	5, 39	mtbird 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  SubGrpcsubg 19380  LSSumclsm 19899  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429

This theorem is used by:  mapdh8b  43103