Theorem dvhdimlem 38582

Description: Lemma for dvh2dim 38583 and dvh3dim 38584. TODO: make this obsolete and use dvh4dimlem 38581 directly? (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvhdim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvhdim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvhdimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvhdimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvhdimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvhdim.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		dvhdim.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		dvhdim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
10		dvhdimlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10	dvh4dimlem 38581	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
12	1, 2, 5	dvhlmod 38248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13		df-tp 4574	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑌} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
14		prssi 4756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
15	6, 7, 14	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
16	7	snssd 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
17	15, 16	unssd 4164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
18	13, 17	eqsstrid 4017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉)
19		ssun1 4150	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
20	19, 13	sseqtrri 4006	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌})
22	3, 4	lspss 19758	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
23	12, 18, 21, 22	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
24	23	ssneld 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
25	24	reximdv 3275	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
26	11, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  {csn 4569  {cpr 4571  {ctp 4573  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  LModclmod 19636  LSpanclspn 19745  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533

This theorem is referenced by:  dvh2dim  38583  dvh3dim  38584