Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhdimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhdimlem 37332
Description: Lemma for dvh2dim 37333 and dvh3dim 37334. TODO: make this obsolete and use dvh4dimlem 37331 directly? (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvhdim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvhdim.o 0 = (0g𝑈)
dvhdim.x (𝜑𝑋0 )
dvhdimlem.y (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
dvhdimlem (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvhdimlem
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 dvh3dim.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 dvhdim.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
8 dvhdim.o . . 3 0 = (0g𝑈)
9 dvhdim.x . . 3 (𝜑𝑋0 )
10 dvhdimlem.y . . 3 (𝜑𝑌0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10dvh4dimlem 37331 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
121, 2, 5dvhlmod 36998 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
13 df-tp 4338 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌, 𝑌} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
14 prssi 4505 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
156, 7, 14syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
167snssd 4493 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
1715, 16unssd 3950 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
1813, 17syl5eqss 3808 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉)
19 ssun1 3937 . . . . . . 7 {𝑋, 𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
2019, 13sseqtr4i 3797 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌})
223, 4lspss 19255 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
2312, 18, 21, 22syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
2423ssneld 3762 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2524reximdv 3161 . 2 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2611, 25mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wrex 3055  cun 3729  wss 3731  {csn 4333  {cpr 4335  {ctp 4337  cfv 6067  Basecbs 16131  0gc0g 16367  LModclmod 19131  LSpanclspn 19242  HLchlt 35238  LHypclh 35872  DVecHcdvh 36966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-tpos 7554  df-undef 7601  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-0g 16369  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-p1 17307  df-lat 17313  df-clat 17375  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-subg 17856  df-cntz 18014  df-lsm 18316  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-oppr 18889  df-dvdsr 18907  df-unit 18908  df-invr 18938  df-dvr 18949  df-drng 19017  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-lsp 19243  df-lvec 19374  df-lsatoms 34864  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tgrp 36631  df-tendo 36643  df-edring 36645  df-dveca 36891  df-disoa 36917  df-dvech 36967  df-dib 37027  df-dic 37061  df-dih 37117  df-doch 37236  df-djh 37283
This theorem is referenced by:  dvh2dim  37333  dvh3dim  37334
  Copyright terms: Public domain W3C validator