Theorem dvhdimlem 39046

Description: Lemma for dvh2dim 39047 and dvh3dim 39048. TODO: make this obsolete and use dvh4dimlem 39045 directly? (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvhdim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvhdim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvhdimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvhdimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvhdimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvhdim.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		dvhdim.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		dvhdim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
10		dvhdimlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10	dvh4dimlem 39045	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
12	1, 2, 5	dvhlmod 38712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13		df-tp 4530	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑌} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
14		prssi 4714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
15	6, 7, 14	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
16	7	snssd 4702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
17	15, 16	unssd 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
18	13, 17	eqsstrid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉)
19		ssun1 4079	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
20	19, 13	sseqtrri 3931	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌})
22	3, 4	lspss 19829	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
23	12, 18, 21, 22	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
24	23	ssneld 3896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
25	24	reximdv 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
26	11, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529  ‘cfv 6339  Basecbs 16546  0_gc0g 16776  LModclmod 19707  LSpanclspn 19816  HLchlt 36952  LHypclh 37586  DVecHcdvh 38680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-riotaBAD 36555

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-undef 7954  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-0g 16778  df-proset 17609  df-poset 17627  df-plt 17639  df-lub 17655  df-glb 17656  df-join 17657  df-meet 17658  df-p0 17720  df-p1 17721  df-lat 17727  df-clat 17789  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-subg 18348  df-cntz 18519  df-lsm 18833  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-dvr 19509  df-drng 19577  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-lvec 19948  df-lsatoms 36578  df-oposet 36778  df-ol 36780  df-oml 36781  df-covers 36868  df-ats 36869  df-atl 36900  df-cvlat 36924  df-hlat 36953  df-llines 37100  df-lplanes 37101  df-lvols 37102  df-lines 37103  df-psubsp 37105  df-pmap 37106  df-padd 37398  df-lhyp 37590  df-laut 37591  df-ldil 37706  df-ltrn 37707  df-trl 37761  df-tgrp 38345  df-tendo 38357  df-edring 38359  df-dveca 38605  df-disoa 38631  df-dvech 38681  df-dib 38741  df-dic 38775  df-dih 38831  df-doch 38950  df-djh 38997

This theorem is referenced by:  dvh2dim  39047  dvh3dim  39048