Theorem dvhdimlem 41438

Description: Lemma for dvh2dim 41439 and dvh3dim 41440. TODO: make this obsolete and use dvh4dimlem 41437 directly? (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvhdim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvhdim.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvhdim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dvhdimlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvhdimlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvhdimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvhdim.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		dvhdim.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		dvhdim.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
10		dvhdimlem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10	dvh4dimlem 41437	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
12	1, 2, 5	dvhlmod 41104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13		df-tp 4594	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌, 𝑌} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
14		prssi 4785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
15	6, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
16	7	snssd 4773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
17	15, 16	unssd 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
18	13, 17	eqsstrid 3985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉)
19		ssun1 4141	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
20	19, 13	sseqtrri 3996	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌})
22	3, 4	lspss 20890	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
23	12, 18, 21, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
24	23	ssneld 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
25	24	reximdv 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
26	11, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591  {ctp 4593  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20766  LSpanclspn 20877  HLchlt 39343  LHypclh 39978  DVecHcdvh 41072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-undef 8252  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tgrp 40737  df-tendo 40749  df-edring 40751  df-dveca 40997  df-disoa 41023  df-dvech 41073  df-dib 41133  df-dic 41167  df-dih 41223  df-doch 41342  df-djh 41389

This theorem is referenced by:  dvh2dim  41439  dvh3dim  41440