Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhdimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhdimlem 38124
Description: Lemma for dvh2dim 38125 and dvh3dim 38126. TODO: make this obsolete and use dvh4dimlem 38123 directly? (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvhdim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvhdim.o 0 = (0g𝑈)
dvhdim.x (𝜑𝑋0 )
dvhdimlem.y (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
dvhdimlem (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧, 0   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvhdimlem
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 dvh3dim.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 dvhdim.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
8 dvhdim.o . . 3 0 = (0g𝑈)
9 dvhdim.x . . 3 (𝜑𝑋0 )
10 dvhdimlem.y . . 3 (𝜑𝑌0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10dvh4dimlem 38123 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
121, 2, 5dvhlmod 37790 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
13 df-tp 4479 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌, 𝑌} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
14 prssi 4663 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
156, 7, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
167snssd 4651 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
1715, 16unssd 4085 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
1813, 17eqsstrid 3938 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉)
19 ssun1 4071 . . . . . . 7 {𝑋, 𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑌})
2019, 13sseqtr4i 3927 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌})
223, 4lspss 19446 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ {𝑋, 𝑌, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
2312, 18, 21, 22syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}))
2423ssneld 3893 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2524reximdv 3235 . 2 (𝜑 → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2611, 25mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wrex 3105  cun 3859  wss 3861  {csn 4474  {cpr 4476  {ctp 4478  cfv 6228  Basecbs 16312  0gc0g 16542  LModclmod 19324  LSpanclspn 19433  HLchlt 36030  LHypclh 36664  DVecHcdvh 37758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-riotaBAD 35633
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-tpos 7746  df-undef 7793  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35656  df-oposet 35856  df-ol 35858  df-oml 35859  df-covers 35946  df-ats 35947  df-atl 35978  df-cvlat 36002  df-hlat 36031  df-llines 36178  df-lplanes 36179  df-lvols 36180  df-lines 36181  df-psubsp 36183  df-pmap 36184  df-padd 36476  df-lhyp 36668  df-laut 36669  df-ldil 36784  df-ltrn 36785  df-trl 36839  df-tgrp 37423  df-tendo 37435  df-edring 37437  df-dveca 37683  df-disoa 37709  df-dvech 37759  df-dib 37819  df-dic 37853  df-dih 37909  df-doch 38028  df-djh 38075
This theorem is referenced by:  dvh2dim  38125  dvh3dim  38126
  Copyright terms: Public domain W3C validator