Theorem idlsrgmulrss1 33540

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of the first one. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss1.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss1.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss1.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss1.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss1.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrss1.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem idlsrgmulrss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss1.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		idlsrgmulrss1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33538	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		crngring 20243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11		rlmlmod 21211	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	lidlss 21223	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	7, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 2	lidlss 21223	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	7, 2	eleqtrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	13, 4, 5, 6, 17, 18	ringlsmss1 33425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼)
20		rlmbas 21201	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
21		rspval 21222	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	lspss 20983	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
23	12, 15, 19, 22	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
24	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
26	25, 2	rspidlid 33404	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
27	24, 7, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
28	23, 27	sseqtrd 4019	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐼)
29	9, 28	eqsstrd 4017	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  LSSumclsm 19653  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  LModclmod 20859  ringLModcrglmod 21172  LIdealclidl 21217  RSpancrsp 21218  IDLsrgcidlsrg 33529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-idlsrg 33530

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33542  zarclsun  33870