Theorem idlsrgmulrss1 33271

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of the first one. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss1.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss1.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss1.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss1.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss1.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrss1.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem idlsrgmulrss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss1.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2725	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		idlsrgmulrss1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		crngring 20189	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11		rlmlmod 21100	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	lidlss 21112	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	7, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 2	lidlss 21112	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	7, 2	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	13, 4, 5, 6, 17, 18	ringlsmss1 33154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼)
20		rlmbas 21090	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
21		rspval 21111	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	lspss 20872	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
23	12, 15, 19, 22	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
24	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
26	25, 2	rspidlid 33135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
27	24, 7, 26	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
28	23, 27	sseqtrd 4013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐼)
29	9, 28	eqsstrd 4011	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  LSSumclsm 19593  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  LModclmod 20747  ringLModcrglmod 21061  LIdealclidl 21106  RSpancrsp 21107  IDLsrgcidlsrg 33260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-idlsrg 33261

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33273  zarclsun  33528