Theorem idlsrgmulrss1 31656

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of the first one. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss1.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss1.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss1.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss1.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss1.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrss1.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem idlsrgmulrss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss1.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		idlsrgmulrss1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 31654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		crngring 19795	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11		rlmlmod 20475	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	lidlss 20481	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	7, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 2	lidlss 20481	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	7, 2	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	13, 4, 5, 6, 17, 18	ringlsmss1 31584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼)
20		rlmbas 20465	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
21		rspval 20463	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	lspss 20246	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
23	12, 15, 19, 22	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
24	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
26	25, 2	rspidlid 31570	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
27	24, 7, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
28	23, 27	sseqtrd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐼)
29	9, 28	eqsstrd 3959	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  LSSumclsm 19239  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  LModclmod 20123  ringLModcrglmod 20431  LIdealclidl 20432  RSpancrsp 20433  IDLsrgcidlsrg 31645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-idlsrg 31646

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  31658  zarclsun  31820