Theorem idlsrgmulrss1 31558

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of the first one. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss1.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss1.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss1.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss1.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss1.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrss1.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem idlsrgmulrss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss1.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		idlsrgmulrss1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 31556	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11		rlmlmod 20388	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	lidlss 20394	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	7, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 2	lidlss 20394	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	7, 2	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	13, 4, 5, 6, 17, 18	ringlsmss1 31486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼)
20		rlmbas 20378	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
21		rspval 20376	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	lspss 20161	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
23	12, 15, 19, 22	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
24	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
26	25, 2	rspidlid 31472	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
27	24, 7, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
28	23, 27	sseqtrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐼)
29	9, 28	eqsstrd 3955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  LSSumclsm 19154  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  LModclmod 20038  ringLModcrglmod 20346  LIdealclidl 20347  RSpancrsp 20348  IDLsrgcidlsrg 31547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352  df-idlsrg 31548

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  31560  zarclsun  31722