Theorem idlsrgmulrss1 33531

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of the first one. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss1.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss1.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss1.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss1.4	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss1.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrss1.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem idlsrgmulrss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss1.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		idlsrgmulrss1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss1.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33529	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		crngring 20210	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11		rlmlmod 21166	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	lidlss 21178	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
15	7, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	13, 2	lidlss 21178	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
18	7, 2	eleqtrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	13, 4, 5, 6, 17, 18	ringlsmss1 33416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼)
20		rlmbas 21156	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
21		rspval 21177	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	lspss 20946	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
23	12, 15, 19, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐼))
24	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
26	25, 2	rspidlid 33395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
27	24, 7, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐼) = 𝐼)
28	23, 27	sseqtrd 4000	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐼)
29	9, 28	eqsstrd 3998	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  LSSumclsm 19620  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  LModclmod 20822  ringLModcrglmod 21135  LIdealclidl 21172  RSpancrsp 21173  IDLsrgcidlsrg 33520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-idlsrg 33521

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33533  zarclsun  33906