Theorem idlsrgmulrss2 32621

Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss2.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss2.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss2.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss2.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss2.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrss2.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss2.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss2	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem idlsrgmulrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss2.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss2.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrss2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss2.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 32618	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		rlmlmod 20826	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 2	lidlss 20832	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	12, 2	lidlss 20832	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 2	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	12, 4, 5, 6, 16, 17	ringlsmss2 32502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19		rlmbas 20816	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20		rspval 20814	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	19, 20	lspss 20594	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
22	11, 14, 18, 21	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
24	23, 2	rspidlid 32482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
25	6, 8, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
26	22, 25	sseqtrd 4022	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
27	9, 26	eqsstrd 4020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  LSSumclsm 19501  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  ringLModcrglmod 20781  LIdealclidl 20782  RSpancrsp 20783  IDLsrgcidlsrg 32609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-lsm 19503  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-idlsrg 32610

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  32622  zarclsun  32845