Theorem idlsrgmulrss2 33662

Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss2.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss2.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss2.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss2.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss2.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrss2.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss2.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss2	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem idlsrgmulrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss2.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss2.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2756	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2756	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrss2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss2.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33659	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		rlmlmod 21243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 2	lidlss 21255	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	12, 2	lidlss 21255	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 2	eleqtrdi 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	12, 4, 5, 6, 16, 17	ringlsmss2 33537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19		rlmbas 21233	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20		rspval 21254	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	19, 20	lspss 21024	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
22	11, 14, 18, 21	syl3anc 1386	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
24	23, 2	rspidlid 33515	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
25	6, 8, 24	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
26	22, 25	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
27	9, 26	eqsstrd 3965	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  LSSumclsm 19650  mulGrpcmgp 20162  Ringcrg 20255  LModclmod 20900  ringLModcrglmod 21212  LIdealclidl 21249  RSpancrsp 21250  IDLsrgcidlsrg 33650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-lsm 19652  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-lidl 21251  df-rsp 21252  df-idlsrg 33651

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33663  zarclsun  34121