Theorem idlsrgmulrss2 33719

Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss2.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss2.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss2.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss2.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss2.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrss2.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss2.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss2	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem idlsrgmulrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss2.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss2.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrss2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss2.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33716	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		rlmlmod 21293	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 2	lidlss 21305	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	12, 2	lidlss 21305	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	7, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 2	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	12, 4, 5, 6, 16, 17	ringlsmss2 33624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19		rlmbas 21283	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20		rspval 21304	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	19, 20	lspss 21074	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
22	11, 14, 18, 21	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
24	23, 2	rspidlid 33604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
25	6, 8, 24	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
26	22, 25	sseqtrd 3975	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
27	9, 26	eqsstrd 3973	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  LSSumclsm 19695  mulGrpcmgp 20207  Ringcrg 20306  LModclmod 20950  ringLModcrglmod 21262  LIdealclidl 21299  RSpancrsp 21300  IDLsrgcidlsrg 33707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-idlsrg 33708

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33720  zarclsun  34177