Theorem idlsrgmulrss2 33743

Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss2.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss2.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss2.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss2.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss2.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrss2.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss2.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss2	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem idlsrgmulrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss2.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss2.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrss2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss2.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33740	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		rlmlmod 21298	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
11	6, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 2	lidlss 21310	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	12, 2	lidlss 21310	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	7, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 2	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	12, 4, 5, 6, 16, 17	ringlsmss2 33648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19		rlmbas 21288	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20		rspval 21309	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	19, 20	lspss 21079	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
22	11, 14, 18, 21	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
24	23, 2	rspidlid 33628	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
25	6, 8, 24	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
26	22, 25	sseqtrd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
27	9, 26	eqsstrd 3979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  LSSumclsm 19700  mulGrpcmgp 20212  Ringcrg 20311  LModclmod 20955  ringLModcrglmod 21267  LIdealclidl 21304  RSpancrsp 21305  IDLsrgcidlsrg 33731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-lsm 19702  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-idlsrg 33732

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33744  zarclsun  34201