Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulrss2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulrss2 (𝜑 → (𝐼 𝐽) ⊆ 𝐽)

StepHypRef Expression
1 idlsrgmulrss2.1 . . 3 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2 idlsrgmulrss2.2 . . 3 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3 idlsrgmulrss2.3 . . 3 = (.r𝑆)
4 eqid 2758 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5 eqid 2758 . . 3 (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6 idlsrgmulrss2.6 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 idlsrgmulrss2.7 . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
8 idlsrgmulrss2.8 . . 3 (𝜑𝐽𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8idlsrgmulrval 31187 . 2 (𝜑 → (𝐼 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10 rlmlmod 20058 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
116, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1312, 2lidlss 20064 . . . . 5 (𝐽𝐵𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
148, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
1512, 2lidlss 20064 . . . . . 6 (𝐼𝐵𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
167, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
178, 2eleqtrdi 2862 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
1812, 4, 5, 6, 16, 17ringlsmss2 31118 . . . 4 (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19 rlmbas 20048 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20 rspval 20046 . . . . 5 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
2119, 20lspss 19837 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
2211, 14, 18, 21syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23 eqid 2758 . . . . 5 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
2423, 2rspidlid 31103 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
256, 8, 24syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
2622, 25sseqtrd 3934 . 2 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
279, 26eqsstrd 3932 1 (𝜑 → (𝐼 𝐽) ⊆ 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  .rcmulr 16637  LSSumclsm 18839  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378  LModclmod 19715  ringLModcrglmod 20022  LIdealclidl 20023  RSpancrsp 20024  IDLsrgcidlsrg 31178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-lsm 18841  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-lidl 20027  df-rsp 20028  df-idlsrg 31179 This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  31191  zarclsun  31353
 Copyright terms: Public domain W3C validator