Theorem idlsrgmulrss2 33604

Description: The product of two ideals is a subset of the second one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrss2.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrss2.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrss2.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrss2.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
idlsrgmulrss2.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrss2.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrss2.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrss2	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem idlsrgmulrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrss2.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrss2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrss2.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrss2.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrss2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrss2.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		rlmlmod 21167	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 2	lidlss 21179	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	12, 2	lidlss 21179	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
16	7, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
17	8, 2	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑅))
18	12, 4, 5, 6, 16, 17	ringlsmss2 33489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽)
19		rlmbas 21157	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
20		rspval 21178	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
21	19, 20	lspss 20947	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ 𝐽) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
22	11, 14, 18, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘𝐽))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
24	23, 2	rspidlid 33467	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
25	6, 8, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘𝐽) = 𝐽)
26	22, 25	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ⊆ 𝐽)
27	9, 26	eqsstrd 3970	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  LSSumclsm 19575  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  ringLModcrglmod 21136  LIdealclidl 21173  RSpancrsp 21174  IDLsrgcidlsrg 33592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-idlsrg 33593

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrssin  33605  zarclsun  34047