MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhalfpilem 24752
Description: Lemma for sinhalfpi 24757 and coshalfpi 24758. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 10963 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 10441 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 10439 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 10559 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
6 lt0neg1 10947 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
85, 7mtbi 314 . . . 4 ¬ 0 < -1
9 pire 24747 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
109rehalfcli 11696 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
11 2re 11514 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
12 pipos 24749 . . . . . . . 8 0 < π
13 2pos 11550 . . . . . . . 8 0 < 2
149, 11, 12, 13divgt0ii 11358 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 4re 11525 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
16 pigt2lt4 24745 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
1716simpri 478 . . . . . . . . 9 π < 4
189, 15, 17ltleii 10563 . . . . . . . 8 π ≤ 4
1911, 13pm3.2i 463 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20 ledivmul 11317 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
219, 11, 19, 20mp3an 1440 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22 2t2e4 11611 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
2322breq2i 4937 . . . . . . . . 9 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
2421, 23bitr2i 268 . . . . . . . 8 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
2518, 24mpbi 222 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ 2
26 0xr 10487 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
27 elioc2 12615 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
2826, 11, 27mp2an 679 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1321 . . . . . 6 (π / 2) ∈ (0(,]2)
30 sin02gt0 15405 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 2))
32 breq2 4933 . . . . 5 ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
3331, 32mpbii 225 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
348, 33mto 189 . . 3 ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35 sq1 13373 . . . . . 6 (1↑2) = 1
36 resincl 15353 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
3837, 31gt0ne0ii 10977 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ≠ 0
3938neii 2970 . . . . . . . . . . 11 ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40 2ne0 11551 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4140neii 2970 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 0
429recni 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43 2cn 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
4442, 43, 40divcan2i 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · (π / 2)) = π
4544fveq2i 6502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
4610recni 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℂ
47 sin2t 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
4945, 48eqtr3i 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50 sinpi 24746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = 0
5149, 50eqtr3i 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52 sincl 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54 coscl 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
5653, 55mulcli 10447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
5743, 56mul0ori 11089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
5851, 57mpbi 222 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5941, 58mtpor 1733 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
6053, 55mul0ori 11089 . . . . . . . . . . . 12 (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
6159, 60mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
6239, 61mtpor 1733 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 2)) = 0
6362oveq1i 6986 . . . . . . . . 9 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64 sq0 13370 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
6563, 64eqtri 2803 . . . . . . . 8 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
6665oveq2i 6987 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67 sincossq 15389 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
6966, 68eqtr3i 2805 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
7053sqcli 13359 . . . . . . 7 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
7170addid1i 10627 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
7235, 69, 713eqtr2ri 2810 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73 ax-1cn 10393 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7453, 73sqeqori 13391 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
7572, 74mpbi 222 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
7675ori 847 . . 3 (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
7734, 76mt3 193 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7877, 62pm3.2i 463 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  -cneg 10671   / cdiv 11098  2c2 11495  4c4 11497  (,]cioc 12555  cexp 13244  sincsin 15277  cosccos 15278  πcpi 15280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  24757  coshalfpi  24758
  Copyright terms: Public domain W3C validator