MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhalfpilem 26206
Description: Lemma for sinhalfpi 26211 and coshalfpi 26212. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 11741 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 11221 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 11219 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 11338 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
6 lt0neg1 11725 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
85, 7mtbi 321 . . . 4 ¬ 0 < -1
9 pire 26201 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
109rehalfcli 12466 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
11 2re 12291 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
12 pipos 26203 . . . . . . . 8 0 < π
13 2pos 12320 . . . . . . . 8 0 < 2
149, 11, 12, 13divgt0ii 12136 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 4re 12301 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
16 pigt2lt4 26199 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
1716simpri 485 . . . . . . . . 9 π < 4
189, 15, 17ltleii 11342 . . . . . . . 8 π ≤ 4
1911, 13pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20 ledivmul 12095 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
219, 11, 19, 20mp3an 1460 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22 2t2e4 12381 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
2322breq2i 5157 . . . . . . . . 9 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
2421, 23bitr2i 275 . . . . . . . 8 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
2518, 24mpbi 229 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ 2
26 0xr 11266 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
27 elioc2 13392 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
2826, 11, 27mp2an 689 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1340 . . . . . 6 (π / 2) ∈ (0(,]2)
30 sin02gt0 16140 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 2))
32 breq2 5153 . . . . 5 ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
3331, 32mpbii 232 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
348, 33mto 196 . . 3 ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35 sq1 14164 . . . . . 6 (1↑2) = 1
36 resincl 16088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
3837, 31gt0ne0ii 11755 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ≠ 0
3938neii 2941 . . . . . . . . . . 11 ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4140neii 2941 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 0
429recni 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43 2cn 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
4442, 43, 40divcan2i 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · (π / 2)) = π
4544fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
4610recni 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℂ
47 sin2t 16125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
4945, 48eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50 sinpi 26200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = 0
5149, 50eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52 sincl 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54 coscl 16075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
5653, 55mulcli 11226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
5743, 56mul0ori 11867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
5851, 57mpbi 229 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5941, 58mtpor 1771 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
6053, 55mul0ori 11867 . . . . . . . . . . . 12 (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
6159, 60mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
6239, 61mtpor 1771 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 2)) = 0
6362oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64 sq0 14161 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
6563, 64eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
6665oveq2i 7423 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67 sincossq 16124 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
6966, 68eqtr3i 2761 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
7053sqcli 14150 . . . . . . 7 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
7170addridi 11406 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
7235, 69, 713eqtr2ri 2766 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73 ax-1cn 11171 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7453, 73sqeqori 14183 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
7572, 74mpbi 229 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
7675ori 858 . . 3 (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
7734, 76mt3 200 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7877, 62pm3.2i 470 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7412  cc 11111  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118  *cxr 11252   < clt 11253  cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  4c4 12274  (,]cioc 13330  cexp 14032  sincsin 16012  cosccos 16013  πcpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  26211  coshalfpi  26212
  Copyright terms: Public domain W3C validator