Theorem sinhalfpilem 25980

Description: Lemma for sinhalfpi 25985 and coshalfpi 25986. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11738	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 11218	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11335	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1 11722	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 321	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 25975	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12463	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11		2re 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		pipos 25977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
13		2pos 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 12133	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
15		4re 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		pigt2lt4 25973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
17	16	simpri 486	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
18	9, 15, 17	ltleii 11339	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
19	11, 13	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20		ledivmul 12092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22		2t2e4 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	breq2i 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
24	21, 23	bitr2i 275	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
25	18, 24	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
26		0xr 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		elioc2 13389	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
28	26, 11, 27	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1341	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
30		sin02gt0 16137	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
32		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
33	31, 32	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
34	8, 33	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35		sq1 14161	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
36		resincl 16085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 31	gt0ne0ii 11752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ≠ 0
39	38	neii 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40		2ne0 12318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	neii 2942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 0
42	9	recni 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43		2cn 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
44	42, 43, 40	divcan2i 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
45	44	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
46	10	recni 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
47		sin2t 16122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
49	45, 48	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50		sinpi 25974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52		sincl 16071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		coscl 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcli 11223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	43, 56	mul0ori 11864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
59	41, 58	mtpor 1772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
60	53, 55	mul0ori 11864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
61	59, 60	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
62	39, 61	mtpor 1772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
63	62	oveq1i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64		sq0 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
65	63, 64	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
66	65	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67		sincossq 16121	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
70	53	sqcli 14147	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
71	70	addridi 11403	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2767	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73		ax-1cn 11170	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	53, 73	sqeqori 14180	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
75	72, 74	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
76	75	ori 859	. . 3 ⊢ (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
77	34, 76	mt3 200	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
78	77, 62	pm3.2i 471	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  4c4 12271  (,]cioc 13327  ↑cexp 14029  sincsin 16009  cosccos 16010  πcpi 16012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  25985  coshalfpi  25986