Theorem sinhalfpilem 26445

Description: Lemma for sinhalfpi 26450 and coshalfpi 26451. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11663	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 11137	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11135	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11256	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1 11647	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 323	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 26439	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12417	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11		2re 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		pipos 26441	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
13		2pos 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 12064	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
15		4re 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		pigt2lt4 26437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
17	16	simpri 486	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
18	9, 15, 17	ltleii 11260	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
19	11, 13	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20		ledivmul 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22		2t2e4 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	breq2i 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
24	21, 23	bitr2i 277	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
25	18, 24	mpbi 231	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
26		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		elioc2 13353	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
28	26, 11, 27	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1348	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
30		sin02gt0 16150	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
32		breq2 5076	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
33	31, 32	mpbii 234	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
34	8, 33	mto 198	. . 3 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35		sq1 14148	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
36		resincl 16098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 31	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ≠ 0
39	38	neii 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40		2ne0 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	neii 2936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 0
42	9	recni 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43		2cn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
44	42, 43, 40	divcan2i 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
45	44	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
46	10	recni 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
47		sin2t 16135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
49	45, 48	eqtr3i 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50		sinpi 26438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52		sincl 16084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		coscl 16085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcli 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	43, 56	mul0ori 11788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
59	41, 58	mtpor 1777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
60	53, 55	mul0ori 11788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
61	59, 60	mpbi 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
62	39, 61	mtpor 1777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
63	62	oveq1i 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64		sq0 14145	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
65	63, 64	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
66	65	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67		sincossq 16134	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2764	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
70	53	sqcli 14134	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
71	70	addridi 11324	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2769	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73		ax-1cn 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	53, 73	sqeqori 14167	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
75	72, 74	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
76	75	ori 867	. . 3 ⊢ (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
77	34, 76	mt3 202	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
78	77, 62	pm3.2i 471	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  4c4 12229  (,]cioc 13290  ↑cexp 14014  sincsin 16019  cosccos 16020  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  26450  coshalfpi  26451