Theorem sinhalfpilem 25620

Description: Lemma for sinhalfpi 25625 and coshalfpi 25626. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11497	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11094	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1 11481	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 322	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 25615	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12222	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11		2re 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		pipos 25617	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
13		2pos 12076	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 11892	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
15		4re 12057	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		pigt2lt4 25613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
17	16	simpri 486	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
18	9, 15, 17	ltleii 11098	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
19	11, 13	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20		ledivmul 11851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22		2t2e4 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	breq2i 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
24	21, 23	bitr2i 275	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
25	18, 24	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
26		0xr 11022	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		elioc2 13142	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
28	26, 11, 27	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1340	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
30		sin02gt0 15901	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
32		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
33	31, 32	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
34	8, 33	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35		sq1 13912	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
36		resincl 15849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 31	gt0ne0ii 11511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ≠ 0
39	38	neii 2945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	neii 2945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 0
42	9	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
44	42, 43, 40	divcan2i 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
45	44	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
46	10	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
47		sin2t 15886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
49	45, 48	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50		sinpi 25614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52		sincl 15835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		coscl 15836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	43, 56	mul0ori 11623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
59	41, 58	mtpor 1773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
60	53, 55	mul0ori 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
61	59, 60	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
62	39, 61	mtpor 1773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
63	62	oveq1i 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64		sq0 13909	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
65	63, 64	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
66	65	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67		sincossq 15885	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
70	53	sqcli 13898	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
71	70	addid1i 11162	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2773	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73		ax-1cn 10929	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	53, 73	sqeqori 13930	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
75	72, 74	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
76	75	ori 858	. . 3 ⊢ (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
77	34, 76	mt3 200	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
78	77, 62	pm3.2i 471	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  4c4 12030  (,]cioc 13080  ↑cexp 13782  sincsin 15773  cosccos 15774  πcpi 15776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  25625  coshalfpi  25626