Theorem sinhalfpilem 26427

Description: Lemma for sinhalfpi 26432 and coshalfpi 26433. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11672	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11265	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1 11656	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 322	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 26421	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12426	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11		2re 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		pipos 26423	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
13		2pos 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 12073	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
15		4re 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		pigt2lt4 26419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
17	16	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
18	9, 15, 17	ltleii 11269	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
19	11, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20		ledivmul 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22		2t2e4 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	breq2i 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
24	21, 23	bitr2i 276	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
25	18, 24	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
26		0xr 11192	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		elioc2 13362	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
28	26, 11, 27	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
30		sin02gt0 16159	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
32		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
33	31, 32	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
34	8, 33	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35		sq1 14157	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
36		resincl 16107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 31	gt0ne0ii 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ≠ 0
39	38	neii 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	neii 2934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 0
42	9	recni 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
44	42, 43, 40	divcan2i 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
45	44	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
46	10	recni 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
47		sin2t 16144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
49	45, 48	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50		sinpi 26420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52		sincl 16093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		coscl 16094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcli 11152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	43, 56	mul0ori 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
59	41, 58	mtpor 1772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
60	53, 55	mul0ori 11797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
61	59, 60	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
62	39, 61	mtpor 1772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
63	62	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64		sq0 14154	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
65	63, 64	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
66	65	oveq2i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67		sincossq 16143	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
70	53	sqcli 14143	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
71	70	addridi 11333	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2766	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73		ax-1cn 11096	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	53, 73	sqeqori 14176	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
75	72, 74	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
76	75	ori 862	. . 3 ⊢ (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
77	34, 76	mt3 201	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
78	77, 62	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  4c4 12238  (,]cioc 13299  ↑cexp 14023  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  26432  coshalfpi  26433