MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhalfpilem 25056
Description: Lemma for sinhalfpi 25061 and coshalfpi 25062. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 11151 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 10630 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 10748 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
6 lt0neg1 11135 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
85, 7mtbi 325 . . . 4 ¬ 0 < -1
9 pire 25051 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
109rehalfcli 11874 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
11 2re 11699 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
12 pipos 25053 . . . . . . . 8 0 < π
13 2pos 11728 . . . . . . . 8 0 < 2
149, 11, 12, 13divgt0ii 11546 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 4re 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
16 pigt2lt4 25049 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
1716simpri 489 . . . . . . . . 9 π < 4
189, 15, 17ltleii 10752 . . . . . . . 8 π ≤ 4
1911, 13pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20 ledivmul 11505 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
219, 11, 19, 20mp3an 1458 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22 2t2e4 11789 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
2322breq2i 5038 . . . . . . . . 9 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
2421, 23bitr2i 279 . . . . . . . 8 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
2518, 24mpbi 233 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ 2
26 0xr 10677 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
27 elioc2 12788 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
2826, 11, 27mp2an 691 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1338 . . . . . 6 (π / 2) ∈ (0(,]2)
30 sin02gt0 15537 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 2))
32 breq2 5034 . . . . 5 ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
3331, 32mpbii 236 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
348, 33mto 200 . . 3 ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35 sq1 13554 . . . . . 6 (1↑2) = 1
36 resincl 15485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
3837, 31gt0ne0ii 11165 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ≠ 0
3938neii 2989 . . . . . . . . . . 11 ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4140neii 2989 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 0
429recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
4442, 43, 40divcan2i 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · (π / 2)) = π
4544fveq2i 6648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
4610recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℂ
47 sin2t 15522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
4945, 48eqtr3i 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50 sinpi 25050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = 0
5149, 50eqtr3i 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52 sincl 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54 coscl 15472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
5653, 55mulcli 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
5743, 56mul0ori 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
5851, 57mpbi 233 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5941, 58mtpor 1772 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
6053, 55mul0ori 11277 . . . . . . . . . . . 12 (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
6159, 60mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
6239, 61mtpor 1772 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 2)) = 0
6362oveq1i 7145 . . . . . . . . 9 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64 sq0 13551 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
6563, 64eqtri 2821 . . . . . . . 8 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
6665oveq2i 7146 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67 sincossq 15521 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
6966, 68eqtr3i 2823 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
7053sqcli 13540 . . . . . . 7 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
7170addid1i 10816 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
7235, 69, 713eqtr2ri 2828 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73 ax-1cn 10584 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7453, 73sqeqori 13572 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
7572, 74mpbi 233 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
7675ori 858 . . 3 (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
7734, 76mt3 204 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7877, 62pm3.2i 474 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  4c4 11682  (,]cioc 12727  cexp 13425  sincsin 15409  cosccos 15410  πcpi 15412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  25061  coshalfpi  25062
  Copyright terms: Public domain W3C validator