Theorem sinhalfpilem 25525

Description: Lemma for sinhalfpi 25530 and coshalfpi 25531. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11427	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 10908	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 10906	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	ltnsymi 11024	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
6		lt0neg1 11411	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < -1)
8	5, 7	mtbi 321	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -1
9		pire 25520	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	rehalfcli 12152	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11		2re 11977	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		pipos 25522	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
13		2pos 12006	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14	9, 11, 12, 13	divgt0ii 11822	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (π / 2)
15		4re 11987	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
16		pigt2lt4 25518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
17	16	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ π < 4
18	9, 15, 17	ltleii 11028	. . . . . . . 8 ⊢ π ≤ 4
19	11, 13	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20		ledivmul 11781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
21	9, 11, 19, 20	mp3an 1459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22		2t2e4 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
23	22	breq2i 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
24	21, 23	bitr2i 275	. . . . . . . 8 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
25	18, 24	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ 2
26		0xr 10953	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		elioc2 13071	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
28	26, 11, 27	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
29	10, 14, 25, 28	mpbir3an 1339	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
30		sin02gt0 15829	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
32		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
33	31, 32	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
34	8, 33	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35		sq1 13840	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
36		resincl 15777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
37	10, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
38	37, 31	gt0ne0ii 11441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ≠ 0
39	38	neii 2944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	neii 2944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 0
42	9	recni 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℂ
43		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
44	42, 43, 40	divcan2i 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
45	44	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
46	10	recni 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
47		sin2t 15814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
49	45, 48	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50		sinpi 25519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘π) = 0
51	49, 50	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52		sincl 15763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
53	46, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54		coscl 15764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
55	46, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
56	53, 55	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
57	43, 56	mul0ori 11553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
59	41, 58	mtpor 1774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
60	53, 55	mul0ori 11553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
61	59, 60	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
62	39, 61	mtpor 1774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
63	62	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64		sq0 13837	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
65	63, 64	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
66	65	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67		sincossq 15813	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
68	46, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
69	66, 68	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
70	53	sqcli 13826	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
71	70	addid1i 11092	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
72	35, 69, 71	3eqtr2ri 2773	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73		ax-1cn 10860	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	53, 73	sqeqori 13858	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
75	72, 74	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
76	75	ori 857	. . 3 ⊢ (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
77	34, 76	mt3 200	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
78	77, 62	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  4c4 11960  (,]cioc 13009  ↑cexp 13710  sincsin 15701  cosccos 15702  πcpi 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  25530  coshalfpi  25531