Theorem 2sqnn0 27325

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqnn0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq 27317	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2		elnn0z 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
3	2	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4		elznn0 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
5		nn0ge0 12443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
6	5	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
8		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
10	7, 9	jaod 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
11	10	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
12	4, 11	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
13	12	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
14	3, 13	ifclda 4520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
17		elnn0z 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
18	17	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
19		elznn0 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
20		nn0ge0 12443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
21	20	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
23		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
25	22, 24	jaod 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
27	19, 26	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
28	27	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
29	18, 28	ifclda 4520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
32		elznn0nn 12519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
33	5	iftrued 4492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
34	33	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
35	34	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
36		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ ↔ (-𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
37		lt0neg1 11660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
39		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
40	38, 39	ltnled 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
41	40	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
42	37, 41	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
43	42	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
44	36, 43	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
45	44	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
46	45	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
47	46	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = (-𝑎↑2))
48		recn 11134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
49		sqneg 14056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
52	47, 51	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
53	35, 52	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
54	32, 53	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55		elznn0nn 12519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
56	20	iftrued 4492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
57	56	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
58	57	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
59		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ ↔ (-𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
60		lt0neg1 11660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
61		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
62		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
63	61, 62	ltnled 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
64	63	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
65	60, 64	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
67	59, 66	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
68	67	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
69	68	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
70	69	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = (-𝑏↑2))
71		recn 11134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
72		sqneg 14056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
75	70, 74	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
76	58, 75	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
77	55, 76	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
78	54, 77	oveqan12d 7388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
79	78	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
80	79	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
81	80	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
82		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
83	82	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
84	83	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
85		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
86	85	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
87	86	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
88	84, 87	rspc2ev 3598	. . . . 5 ⊢ ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0 ∧ if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
89	16, 31, 81, 88	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
90	89	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
91	90	rexlimivv 3177	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
92	1, 91	syl 17	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ifcif 4484   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  4c4 12219  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505   mod cmo 13807  ↑cexp 14002  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-phi 16712  df-pc 16784  df-gz 16877  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-2idl 21136  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-zrh 21389  df-zn 21392  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evl1 22179  df-mdeg 25936  df-deg1 25937  df-mon1 26012  df-uc1p 26013  df-q1p 26014  df-r1p 26015  df-lgs 27182

This theorem is referenced by:  2sqnn  27326  2sqreulem1  27333