Theorem 2sqnn0 27780

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqnn0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq 27772	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
3	2	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
4	3	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
5		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
6	5	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
7	6	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8		elnn0z 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
9	8	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
10		elznn0 12721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
11		nn0ge0 12644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
12	11	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
14		ax1w 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ( -𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
15	13, 14	jaod 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
16	15	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
17	10, 16	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
18	17	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
19	9, 18	ifclda 4521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
22		elnn0z 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
23	22	biimpri 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
24		elznn0 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
25		nn0ge0 12644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
26	25	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
28		ax1w 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ( -𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
29	27, 28	jaod 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
30	29	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
31	24, 30	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
32	31	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
33	23, 32	ifclda 4521	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
34	33	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
35		elznn0nn 12720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
36	11	iftrued 4493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
37	36	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
38	37	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
39		elnnz 12716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑎 ∈ ℕ ↔ ( -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
40		lt0neg1 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
41		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
42		0red 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
43	41, 42	ltnled 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
44	43	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
45	40, 44	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
46	45	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
47	39, 46	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
48	47	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
49	48	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
50	49	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = ( -𝑎↑2))
51		recn 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
52	51	sqnegd 14272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ( -𝑎↑2) = (𝑎↑2))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ( -𝑎↑2) = (𝑎↑2))
54	50, 53	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55	38, 54	jaoi 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
56	35, 55	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
57		elznn0nn 12720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
58	25	iftrued 4493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
59	58	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
60	59	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
61		elnnz 12716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑏 ∈ ℕ ↔ ( -𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
62		lt0neg1 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
63		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
64		0red 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
65	63, 64	ltnled 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
66	65	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
67	62, 66	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
68	67	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
69	61, 68	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
70	69	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
71	70	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
72	71	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = ( -𝑏↑2))
73		recn 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
74	73	sqnegd 14272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ( -𝑏↑2) = (𝑏↑2))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ( -𝑏↑2) = (𝑏↑2))
76	72, 75	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
77	60, 76	jaoi 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
78	57, 77	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
79	56, 78	oveqan12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
80	79	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
81	80	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
82	81	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
83	4, 7, 21, 34, 82	2rspcedvdw 3593	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
84	83	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
85	84	rexlimivv 3208	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
86	1, 85	syl 18	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090  ifcif 4485   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   < clt 11356   ≤ cle 11357   -cneg 11555  ℕcn 12348  2c2 12410  4c4 12412  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706   mod cmo 14022  ↑cexp 14217  ℙcprime 16861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-ofr 7704  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-prm 16862  df-phi 16958  df-pc 17030  df-gz 17123  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-imas 17695  df-qus 17696  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-nsg 19349  df-eqg 19350  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-srg 20428  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-nzr 20778  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-rlreg 20961  df-domn 20962  df-idom 20963  df-drng 20997  df-field 20998  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-rsp 21502  df-2idl 21558  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zrh 21824  df-zn 21827  df-assa 22176  df-asp 22177  df-ascl 22178  df-psr 22232  df-mvr 22233  df-mpl 22234  df-opsr 22236  df-evls 22398  df-evl 22399  df-psr1 22513  df-vr1 22514  df-ply1 22515  df-coe1 22516  df-evl1 22649  df-mdeg 26388  df-deg1 26389  df-mon1 26464  df-uc1p 26465  df-q1p 26466  df-r1p 26467  df-lgs 27637

This theorem is used by:  2sqnn  27781  2sqreulem1  27788