MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqnn0 27497
Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqnn0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq 27489 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2 elnn0z 12624 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
32biimpri 228 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4 elznn0 12626 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
5 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
65pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
8 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
107, 9jaod 859 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
1110imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
124, 11sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
1312imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
143, 13ifclda 4566 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
17 elnn0z 12624 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
1817biimpri 228 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
19 elznn0 12626 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
20 nn0ge0 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
2120pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
23 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
2522, 24jaod 859 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
2625imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2719, 26sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2827imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
2918, 28ifclda 4566 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
3029adantl 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
3130adantr 480 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
32 elznn0nn 12625 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
335iftrued 4539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
3433eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
3534oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
36 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑎 ∈ ℕ ↔ (-𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
37 lt0neg1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
39 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4038, 39ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
4140biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4237, 41sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4436, 43simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4544impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
4645iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
4746oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = (-𝑎↑2))
48 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
49 sqneg 14153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5247, 51eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
5335, 52jaoi 857 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
5432, 53sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55 elznn0nn 12625 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
5620iftrued 4539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
5756eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
5857oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
59 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑏 ∈ ℕ ↔ (-𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
60 lt0neg1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
61 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
62 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
6361, 62ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
6463biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6560, 64sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6759, 66simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6867impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
6968iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = (-𝑏↑2))
71 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
72 sqneg 14153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7570, 74eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7658, 75jaoi 857 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7755, 76sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7854, 77oveqan12d 7450 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
7978eqeq2d 2746 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8079biimpd 229 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8180imp 406 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
82 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
8382oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
8483eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
85 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
8685oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
8786eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8884, 87rspc2ev 3635 . . . . 5 ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0 ∧ if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8916, 31, 81, 88syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
9089ex 412 . . 3 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9190rexlimivv 3199 . 2 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
921, 91syl 17 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611   mod cmo 13906  cexp 14099  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-gz 16964  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-mon1 26185  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  2sqnn  27498  2sqreulem1  27505
  Copyright terms: Public domain W3C validator