Theorem 2sqnn0 26692

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqnn0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq 26684	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2		elnn0z 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
3	2	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4		elznn0 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
5		nn0ge0 12364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
6	5	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
8		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
10	7, 9	jaod 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
11	10	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
12	4, 11	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
13	12	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
14	3, 13	ifclda 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
17		elnn0z 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
18	17	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
19		elznn0 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
20		nn0ge0 12364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
21	20	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
23		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
25	22, 24	jaod 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
26	25	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
27	19, 26	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
28	27	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
29	18, 28	ifclda 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
30	29	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
32		elznn0nn 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
33	5	iftrued 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
34	33	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
35	34	oveq1d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
36		elnnz 12435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ ↔ (-𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
37		lt0neg1 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
39		0red 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
40	38, 39	ltnled 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
41	40	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
42	37, 41	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
43	42	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
44	36, 43	simplbiim 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
45	44	impcom 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
46	45	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
47	46	oveq1d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = (-𝑎↑2))
48		recn 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
49		sqneg 13942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
51	50	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
52	47, 51	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
53	35, 52	jaoi 855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
54	32, 53	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55		elznn0nn 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
56	20	iftrued 4486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
57	56	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
58	57	oveq1d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
59		elnnz 12435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ ↔ (-𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
60		lt0neg1 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
61		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
62		0red 11084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
63	61, 62	ltnled 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
64	63	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
65	60, 64	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
67	59, 66	simplbiim 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
68	67	impcom 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
69	68	iffalsed 4489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
70	69	oveq1d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = (-𝑏↑2))
71		recn 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
72		sqneg 13942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
74	73	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
75	70, 74	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
76	58, 75	jaoi 855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
77	55, 76	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
78	54, 77	oveqan12d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
79	78	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
80	79	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
81	80	imp 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
82		oveq1 7349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
83	82	oveq1d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
84	83	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
85		oveq1 7349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
86	85	oveq2d 7358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
87	86	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
88	84, 87	rspc2ev 3585	. . . . 5 ⊢ ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0 ∧ if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
89	16, 31, 81, 88	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
90	89	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
91	90	rexlimivv 3193	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
92	1, 91	syl 17	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071  ifcif 4478   class class class wbr 5097  (class class class)co 7342  ℂcc 10975  ℝcr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115   ≤ cle 11116  -cneg 11312  ℕcn 12079  2c2 12134  4c4 12136  ℕ₀cn0 12339  ℤcz 12425   mod cmo 13695  ↑cexp 13888  ℙcprime 16474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-ec 8576  df-qs 8580  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302  df-prm 16475  df-phi 16565  df-pc 16636  df-gz 16729  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-imas 17317  df-qus 17318  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-nsg 18850  df-eqg 18851  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-field 20096  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-lidl 20542  df-rsp 20543  df-2idl 20609  df-nzr 20635  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-idom 20662  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-zn 20814  df-assa 21166  df-asp 21167  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-evls 21388  df-evl 21389  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-evl1 21588  df-mdeg 25323  df-deg1 25324  df-mon1 25401  df-uc1p 25402  df-q1p 25403  df-r1p 25404  df-lgs 26549

This theorem is referenced by:  2sqnn  26693  2sqreulem1  26700