Theorem 2sqnn0 27347

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqnn0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq 27339	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2		elnn0z 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
3	2	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4		elznn0 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
5		nn0ge0 12409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
6	5	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
8		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
10	7, 9	jaod 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
11	10	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
12	4, 11	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
13	12	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
14	3, 13	ifclda 4512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
17		elnn0z 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
18	17	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
19		elznn0 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
20		nn0ge0 12409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
21	20	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
23		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
25	22, 24	jaod 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
27	19, 26	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
28	27	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
29	18, 28	ifclda 4512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
32		elznn0nn 12485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
33	5	iftrued 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
34	33	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
35	34	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
36		elnnz 12481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ ↔ (-𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
37		lt0neg1 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
39		0red 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
40	38, 39	ltnled 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
41	40	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
42	37, 41	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
43	42	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
44	36, 43	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
45	44	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
46	45	iffalsed 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
47	46	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = (-𝑎↑2))
48		recn 11099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
49		sqneg 14022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
52	47, 51	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
53	35, 52	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
54	32, 53	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55		elznn0nn 12485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
56	20	iftrued 4484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
57	56	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
58	57	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
59		elnnz 12481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ ↔ (-𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
60		lt0neg1 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
61		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
62		0red 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
63	61, 62	ltnled 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
64	63	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
65	60, 64	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
67	59, 66	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
68	67	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
69	68	iffalsed 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
70	69	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = (-𝑏↑2))
71		recn 11099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
72		sqneg 14022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
75	70, 74	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
76	58, 75	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
77	55, 76	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
78	54, 77	oveqan12d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
79	78	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
80	79	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
81	80	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
82		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
83	82	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
84	83	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
85		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
86	85	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
87	86	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
88	84, 87	rspc2ev 3590	. . . . 5 ⊢ ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0 ∧ if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
89	16, 31, 81, 88	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
90	89	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
91	90	rexlimivv 3171	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
92	1, 91	syl 17	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ifcif 4476   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  -cneg 11348  ℕcn 12128  2c2 12183  4c4 12185  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471   mod cmo 13773  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-pc 16749  df-gz 16842  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zn 21413  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-evl 21980  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-evl1 22201  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-mon1 26034  df-uc1p 26035  df-q1p 26036  df-r1p 26037  df-lgs 27204

This theorem is referenced by:  2sqnn  27348  2sqreulem1  27355