MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqnn0 26692
Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of squares of two nonnegative integers. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqnn0 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem 2sqnn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq 26684 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2 elnn0z 12438 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
32biimpri 227 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4 elznn0 12440 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
5 nn0ge0 12364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
65pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
8 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
107, 9jaod 857 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0)))
1110imp 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
124, 11sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑎 → -𝑎 ∈ ℕ0))
1312imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑎) → -𝑎 ∈ ℕ0)
143, 13ifclda 4513 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
1615adantr 482 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0)
17 elnn0z 12438 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏))
1817biimpri 227 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℕ0)
19 elznn0 12440 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
20 nn0ge0 12364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑏)
2120pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
23 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
2522, 24jaod 857 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0)))
2625imp 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2719, 26sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (¬ 0 ≤ 𝑏 → -𝑏 ∈ ℕ0))
2827imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ 𝑏) → -𝑏 ∈ ℕ0)
2918, 28ifclda 4513 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℤ → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
3029adantl 483 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
3130adantr 482 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0)
32 elznn0nn 12439 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)))
335iftrued 4486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = 𝑎)
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎))
3534oveq1d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
36 elnnz 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑎 ∈ ℕ ↔ (-𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑎))
37 lt0neg1 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ 0 < -𝑎))
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ)
39 0red 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
4038, 39ltnled 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑎))
4140biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4237, 41sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℝ → (0 < -𝑎 → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < -𝑎 → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4436, 43simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑎))
4544impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑎)
4645iffalsed 4489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) = -𝑎)
4746oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) = (-𝑎↑2))
48 recn 11067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
49 sqneg 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℝ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
5247, 51eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
5335, 52jaoi 855 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∨ (𝑎 ∈ ℝ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
5432, 53sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
55 elznn0nn 12439 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)))
5620iftrued 4486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = 𝑏)
5756eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏))
5857oveq1d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
59 elnnz 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑏 ∈ ℕ ↔ (-𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑏))
60 lt0neg1 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ 0 < -𝑏))
61 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ)
62 0red 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
6361, 62ltnled 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑏))
6463biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 < 0 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6560, 64sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℝ → (0 < -𝑏 → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < -𝑏 → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6759, 66simplbiim 506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 ∈ ℝ → ¬ 0 ≤ 𝑏))
6867impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → ¬ 0 ≤ 𝑏)
6968iffalsed 4489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) = -𝑏)
7069oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2) = (-𝑏↑2))
71 recn 11067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
72 sqneg 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℝ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
7570, 74eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7658, 75jaoi 855 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∨ (𝑏 ∈ ℝ ∧ -𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7755, 76sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
7854, 77oveqan12d 7361 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
7978eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8079biimpd 228 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8180imp 408 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
82 oveq1 7349 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑥↑2) = (if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2))
8382oveq1d 7357 . . . . . . 7 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)))
8483eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑥 = if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2))))
85 oveq1 7349 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑦↑2) = (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))
8685oveq2d 7358 . . . . . . 7 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2)))
8786eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑦 = if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) → (𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))))
8884, 87rspc2ev 3585 . . . . 5 ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎) ∈ ℕ0 ∧ if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏) ∈ ℕ0𝑃 = ((if(0 ≤ 𝑎, 𝑎, -𝑎)↑2) + (if(0 ≤ 𝑏, 𝑏, -𝑏)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8916, 31, 81, 88syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
9089ex 414 . . 3 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9190rexlimivv 3193 . 2 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
921, 91syl 17 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  ifcif 4478   class class class wbr 5097  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115  cle 11116  -cneg 11312  cn 12079  2c2 12134  4c4 12136  0cn0 12339  cz 12425   mod cmo 13695  cexp 13888  cprime 16474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-ec 8576  df-qs 8580  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302  df-prm 16475  df-phi 16565  df-pc 16636  df-gz 16729  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-imas 17317  df-qus 17318  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-nsg 18850  df-eqg 18851  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-field 20096  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-lidl 20542  df-rsp 20543  df-2idl 20609  df-nzr 20635  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-idom 20662  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-zn 20814  df-assa 21166  df-asp 21167  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-evls 21388  df-evl 21389  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-evl1 21588  df-mdeg 25323  df-deg1 25324  df-mon1 25401  df-uc1p 25402  df-q1p 25403  df-r1p 25404  df-lgs 26549
This theorem is referenced by:  2sqnn  26693  2sqreulem1  26700
  Copyright terms: Public domain W3C validator