MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addasspr 10438
Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspr ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))

Proof of Theorem addasspr
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 10399 . 2 +P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2 addclnq 10361 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3 dmplp 10428 . 2 dom +P = (P × P)
4 addclpr 10434 . 2 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5 addassnq 10374 . 2 ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ))
61, 2, 3, 4, 5genpass 10425 1 ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  (class class class)co 7150   +Q cplq 10271   +P cpp 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-rq 10333  df-ltnq 10334  df-np 10397  df-plp 10399
This theorem is referenced by:  ltaprlem  10460  enrer  10479  addcmpblnr  10485  mulcmpblnrlem  10486  ltsrpr  10493  addasssr  10504  mulasssr  10506  distrsr  10507  m1p1sr  10508  m1m1sr  10509  ltsosr  10510  0idsr  10513  1idsr  10514  ltasr  10516  recexsrlem  10519  mulgt0sr  10521  map2psrpr  10526
  Copyright terms: Public domain W3C validator