Theorem addasspr 11022

Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addasspr	⊢ ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))

Proof of Theorem addasspr

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 10983	. 2 ⊢ +P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2		addclnq 10945	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3		dmplp 11012	. 2 ⊢ dom +P = (P × P)
4		addclpr 11018	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		addassnq 10958	. 2 ⊢ ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpass 11009	1 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7419   +_Q cplq 10855   +_P cpp 10861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10872  df-pli 10873  df-mi 10874  df-lti 10875  df-plpq 10908  df-mpq 10909  df-ltpq 10910  df-enq 10911  df-nq 10912  df-erq 10913  df-plq 10914  df-mq 10915  df-1nq 10916  df-rq 10917  df-ltnq 10918  df-np 10981  df-plp 10983

This theorem is used by:  ltaprlem  11044  enrer  11063  addcmpblnr  11069  mulcmpblnrlem  11070  ltsrpr  11077  addasssr  11088  mulasssr  11090  distrsr  11091  m1p1sr  11092  m1m1sr  11093  ltsosr  11094  0idsr  11097  1idsr  11098  ltasr  11100  recexsrlem  11103  mulgt0sr  11105  map2psrpr  11110