MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addasspr 11019
Description: Addition of positive reals is associative. Proposition 9-3.5(i) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 18-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasspr ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))

Proof of Theorem addasspr
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 10980 . 2 +P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2 addclnq 10942 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3 dmplp 11009 . 2 dom +P = (P × P)
4 addclpr 11015 . 2 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5 addassnq 10955 . 2 ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ))
61, 2, 3, 4, 5genpass 11006 1 ((𝐴 +P 𝐵) +P 𝐶) = (𝐴 +P (𝐵 +P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7411   +Q cplq 10852   +P cpp 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-plp 10980
This theorem is referenced by:  ltaprlem  11041  enrer  11060  addcmpblnr  11066  mulcmpblnrlem  11067  ltsrpr  11074  addasssr  11085  mulasssr  11087  distrsr  11088  m1p1sr  11089  m1m1sr  11090  ltsosr  11091  0idsr  11094  1idsr  11095  ltasr  11097  recexsrlem  11100  mulgt0sr  11102  map2psrpr  11107
  Copyright terms: Public domain W3C validator