Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotavalbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotavalbN 40187
Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 10-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotavalb.l = (le‘𝐾)
ltrniotavalb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotavalb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotavalb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrniotavalbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) = 𝑄𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotavalbN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → 𝐹𝑇)
3 simpl2l 1223 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simpl2r 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
5 ltrniotavalb.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 ltrniotavalb.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 ltrniotavalb.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 ltrniotavalb.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2725 . . . . 5 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
105, 6, 7, 8, 9ltrniotacl 40182 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
111, 3, 4, 10syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
12 simpr 483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
135, 6, 7, 8, 9ltrniotaval 40184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃) = 𝑄)
141, 3, 4, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃) = 𝑄)
1512, 14eqtr4d 2768 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → (𝐹𝑃) = ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃))
165, 6, 7, 8cdlemd 39810 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄))
171, 2, 11, 3, 15, 16syl311anc 1381 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄))
18 fveq1 6895 . . 3 (𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄) → (𝐹𝑃) = ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃))
19 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
21 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
2219, 20, 21, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)‘𝑃) = 𝑄)
2318, 22sylan9eqr 2787 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
2417, 23impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) = 𝑄𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  crio 7374  lecple 17243  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  LHypclh 39587  LTrncltrn 39704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator