Theorem mulne0i 11952

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by NM, 15-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
muln0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
muln0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
muln0.3	⊢ 𝐴 ≠ 0
muln0.4	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
mulne0i	⊢ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0

Proof of Theorem mulne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muln0.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		muln0.3	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ 0
3		muln0.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		muln0.4	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
5		mulne0 11951	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 706	1 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   · cmul 11198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537

This theorem is used by:  2muline0  12564  bpoly4  16218  efeq1  26849  eflogeq  26923  root1eq1  27076  ang180lem1  27130  ang180lem3  27132  quart1lem  27176  constrelextdg2  34372  itgexpif  35228  hgt750lem  35273  quad3  36414  proot1ex  44182  wallispilem4  47047  dirkertrigeq  47080