MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflogeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflogeq 26347
Description: Solve an equation involving an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eflogeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem eflogeq
StepHypRef Expression
1 efcl 16031 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2 efne0 16045 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
31, 2logcld 26316 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
4 efsub 16048 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
53, 4mpdan 684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
6 eflog 26322 . . . . . . . . 9 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
87oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)))
91, 2dividd 11993 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)) = 1)
105, 8, 93eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1)
11 subcl 11464 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
123, 11mpdan 684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
13 efeq1 26274 . . . . . . 7 ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
1510, 14mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
16 ax-icn 11172 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
17 2cn 12292 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
18 picn 26206 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
1917, 18mulcli 11226 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℂ
2016, 19mulcli 11226 . . . . . . . . 9 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22 ine0 11654 . . . . . . . . . 10 i ≠ 0
23 2ne0 12321 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
24 pire 26205 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
25 pipos 26207 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
2624, 25gt0ne0ii 11755 . . . . . . . . . . 11 π ≠ 0
2717, 18, 23, 26mulne0i 11862 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ≠ 0
2816, 19, 22, 27mulne0i 11862 . . . . . . . . 9 (i · (2 · π)) ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ≠ 0)
3012, 21, 29divcan2d 11997 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))) = (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))))
3130oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))) = ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))))
32 pncan3 11473 . . . . . . 7 (((log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
333, 32mpancom 685 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
3431, 33eqtr2d 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
35 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) = ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))
3635oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
3736rspceeqv 3633 . . . . 5 ((((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
3815, 34, 37syl2anc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
39383ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
40 fveq2 6891 . . . . . 6 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (log‘(exp‘𝐴)) = (log‘𝐵))
4140oveq1d 7427 . . . . 5 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
4241eqeq2d 2742 . . . 4 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
4342rexbidv 3177 . . 3 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
4439, 43syl5ibcom 244 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
45 logcl 26314 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
46453adant1 1129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
47 zcn 12568 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4847adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
49 mulcl 11197 . . . . . . 7 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
5020, 48, 49sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
51 efadd 16042 . . . . . 6 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
5246, 50, 51syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
53 eflog 26322 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
54533adant1 1129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
55 ef2kpi 26225 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 1)
5654, 55oveqan12d 7431 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))) = (𝐵 · 1))
57 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5857mulridd 11236 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
5952, 56, 583eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵)
60 fveqeq2 6900 . . . 4 (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
6261rexlimdva 3154 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
6344, 62impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114  ici 11115   + caddc 11116   · cmul 11118  cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  cz 12563  expce 16010  πcpi 16015  logclog 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302
This theorem is referenced by:  cxpeq  26502
  Copyright terms: Public domain W3C validator