Theorem eflogeq 26668

Description: Solve an equation involving an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eflogeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem eflogeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcl 16113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2		efne0 16129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
3	1, 2	logcld 26636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
4		efsub 16133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
5	3, 4	mpdan 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
6		eflog 26642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
7	1, 2, 6	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
8	7	oveq2d 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)))
9	1, 2	dividd 11966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)) = 1)
10	5, 8, 9	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1)
11		subcl 11430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
12	3, 11	mpdan 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
13		efeq1 26594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
15	10, 14	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
16		ax-icn 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
17		2cn 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		picn 26522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
19	17, 18	mulcli 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
20	16, 19	mulcli 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22		ine0 11623	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ≠ 0
23		2ne0 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
24		pire 26520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
25		pipos 26524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
26	24, 25	gt0ne0ii 11724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ≠ 0
27	17, 18, 23, 26	mulne0i 11831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ≠ 0
28	16, 19, 22, 27	mulne0i 11831	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ≠ 0)
30	12, 21, 29	divcan2d 11970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))) = (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))))
31	30	oveq2d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))) = ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))))
32		pncan3 11439	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
33	3, 32	mpancom 698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
34	31, 33	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
35		oveq2 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) = ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))
36	35	oveq2d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
37	36	rspceeqv 3605	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
38	15, 34, 37	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
39	38	3ad2ant1 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
40		fveq2 6868	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (log‘(exp‘𝐴)) = (log‘𝐵))
41	40	oveq1d 7412	. . . . 5 ⊢ ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
42	41	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
43	42	rexbidv 3187	. . 3 ⊢ ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
44	39, 43	syl5ibcom 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
45		logcl 26634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
46	45	3adant1 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
47		zcn 12574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
48	47	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
49		mulcl 11158	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
50	20, 48, 49	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
51		efadd 16125	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
52	46, 50, 51	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
53		eflog 26642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
54	53	3adant1 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
55		ef2kpi 26544	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 1)
56	54, 55	oveqan12d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))) = (𝐵 · 1))
57		simpl2 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	57	mulridd 11200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
59	52, 56, 58	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵)
60		fveqeq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵))
61	59, 60	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
62	61	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
63	44, 62	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075  ici 11076   + caddc 11077   · cmul 11079   − cmin 11415   / cdiv 11845  2c2 12273  ℤcz 12569  expce 16092  πcpi 16097  logclog 26620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-bc 14317  df-hash 14345  df-shft 15081  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-ef 16098  df-sin 16100  df-cos 16101  df-pi 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-fbas 21422  df-fg 21423  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cld 23080  df-ntr 23081  df-cls 23082  df-nei 23159  df-lp 23197  df-perf 23198  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-haus 23376  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-fil 23907  df-fm 23999  df-flim 24000  df-flf 24001  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-cncf 24941  df-limc 25929  df-dv 25930  df-log 26622

This theorem is referenced by:  cxpeq  26823