Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflogeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflogeq 25172
 Description: Solve an equation involving an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eflogeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem eflogeq
StepHypRef Expression
1 efcl 15416 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2 efne0 15430 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
31, 2logcld 25141 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
4 efsub 15433 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
53, 4mpdan 685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))))
6 eflog 25147 . . . . . . . . 9 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
71, 2, 6syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘(exp‘𝐴))) = (exp‘𝐴))
87oveq2d 7149 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘(log‘(exp‘𝐴)))) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)))
91, 2dividd 11392 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐴)) = 1)
105, 8, 93eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1)
11 subcl 10863 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
123, 11mpdan 685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ)
13 efeq1 25099 . . . . . . 7 ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 1 ↔ ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
1510, 14mpbid 234 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
16 ax-icn 10574 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
17 2cn 11691 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
18 picn 25031 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
1917, 18mulcli 10626 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℂ
2016, 19mulcli 10626 . . . . . . . . 9 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
22 ine0 11053 . . . . . . . . . 10 i ≠ 0
23 2ne0 11720 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
24 pire 25030 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
25 pipos 25032 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
2624, 25gt0ne0ii 11154 . . . . . . . . . . 11 π ≠ 0
2717, 18, 23, 26mulne0i 11261 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ≠ 0
2816, 19, 22, 27mulne0i 11261 . . . . . . . . 9 (i · (2 · π)) ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · π)) ≠ 0)
3012, 21, 29divcan2d 11396 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))) = (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))))
3130oveq2d 7149 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))) = ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))))
32 pncan3 10872 . . . . . . 7 (((log‘(exp‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
333, 32mpancom 686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘(exp‘𝐴)) + (𝐴 − (log‘(exp‘𝐴)))) = 𝐴)
3431, 33eqtr2d 2856 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
35 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) = ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))
3635oveq2d 7149 . . . . . 6 (𝑛 = ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))))))
3736rspceeqv 3617 . . . . 5 ((((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · ((𝐴 − (log‘(exp‘𝐴))) / (i · (2 · π)))))) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
3815, 34, 37syl2anc 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
39383ad2ant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
40 fveq2 6646 . . . . . 6 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (log‘(exp‘𝐴)) = (log‘𝐵))
4140oveq1d 7148 . . . . 5 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)))
4241eqeq2d 2831 . . . 4 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
4342rexbidv 3284 . . 3 ((exp‘𝐴) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘(exp‘𝐴)) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
4439, 43syl5ibcom 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
45 logcl 25139 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
46453adant1 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
47 zcn 11965 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
4847adantl 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
49 mulcl 10599 . . . . . . 7 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
5020, 48, 49sylancr 589 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
51 efadd 15427 . . . . . 6 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
5246, 50, 51syl2an2r 683 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))))
53 eflog 25147 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
54533adant1 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
55 ef2kpi 25050 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 1)
5654, 55oveqan12d 7152 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((exp‘(log‘𝐵)) · (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑛))) = (𝐵 · 1))
57 simpl2 1188 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5857mulid1d 10636 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
5952, 56, 583eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵)
60 fveqeq2 6655 . . . 4 (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ (exp‘((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))) = 𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 249 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
6261rexlimdva 3271 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) → (exp‘𝐴) = 𝐵))
6344, 62impbid 214 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((exp‘𝐴) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = ((log‘𝐵) + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∃wrex 3126  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  0cc0 10515  1c1 10516  ici 10517   + caddc 10518   · cmul 10520   − cmin 10848   / cdiv 11275  2c2 11671  ℤcz 11960  expce 15395  πcpi 15400  logclog 25125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ioc 12722  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-fac 13619  df-bc 13648  df-hash 13676  df-shft 14406  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-limsup 14808  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-ef 15401  df-sin 15403  df-cos 15404  df-pi 15406  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127 This theorem is referenced by:  cxpeq  25325
 Copyright terms: Public domain W3C validator