Theorem nmof 24857

Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmof	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Proof of Theorem nmof

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	nmofval 24852	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6		ssrab2 4035	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
7		icossxr 13460	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstri 3947	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
9		infxrcl 13361	. . 3 ⊢ ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5, 10	fmpt3d 7113	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  infcinf 9402  0cc0 11101   · cmul 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,)cico 13375  Basecbs 17270   GrpHom cghm 19284  normcnm 24714  NrmGrpcngp 24715   normOp cnmo 24843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-ico 13379  df-nmo 24846

This theorem is referenced by:  nmocl  24858  isnghm  24861