Theorem nmof 23883

Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmof	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Proof of Theorem nmof

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	nmofval 23878	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6		ssrab2 4013	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
7		icossxr 13164	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstri 3930	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
9		infxrcl 13067	. . 3 ⊢ ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5, 10	fmpt3d 6990	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  0cc0 10871   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  Basecbs 16912   GrpHom cghm 18831  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733   normOp cnmo 23869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-ico 13085  df-nmo 23872

This theorem is referenced by:  nmocl  23884  isnghm  23887