Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmof 23323
 Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmof ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Proof of Theorem nmof
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2824 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 eqid 2824 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
51, 2, 3, 4nmofval 23318 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6 ssrab2 4042 . . . 4 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
7 icossxr 12817 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
86, 7sstri 3962 . . 3 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
9 infxrcl 12721 . . 3 ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108, 9mp1i 13 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
115, 10fmpt3d 6869 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  infcinf 8898  0cc0 10531   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  [,)cico 12735  Basecbs 16481   GrpHom cghm 18353  normcnm 23181  NrmGrpcngp 23182   normOp cnmo 23309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-ico 12739  df-nmo 23312 This theorem is referenced by:  nmocl  23324  isnghm  23327
 Copyright terms: Public domain W3C validator