Theorem nmof 25031

Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmof	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Proof of Theorem nmof

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	nmofval 25026	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
7		icossxr 13556	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstri 3940	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
9		infxrcl 13457	. . 3 ⊢ ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5, 10	fmpt3d 7114	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  0cc0 11193   · cmul 11198  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  [,)cico 13471  Basecbs 17380   GrpHom cghm 19420  normcnm 24888  NrmGrpcngp 24889   normOp cnmo 25017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-ico 13475  df-nmo 25020

This theorem is used by:  nmocl  25032  isnghm  25035