Theorem nmof 24614

Description: The operator norm is a function into the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmof	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Proof of Theorem nmof

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	nmofval 24609	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↦ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < )))
6		ssrab2 4046	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
7		icossxr 13400	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
8	6, 7	sstri 3959	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ*
9		infxrcl 13301	. . 3 ⊢ ({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))} ⊆ ℝ* → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((norm‘𝑇)‘(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑟 · ((norm‘𝑆)‘𝑥))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5, 10	fmpt3d 7091	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁:(𝑆 GrpHom 𝑇)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  infcinf 9399  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  Basecbs 17186   GrpHom cghm 19151  normcnm 24471  NrmGrpcngp 24472   normOp cnmo 24600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-ico 13319  df-nmo 24603

This theorem is referenced by:  nmocl  24615  isnghm  24618