MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrcl 13258
Description: The infimum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrcl (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem infxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13066 . . 3 < Or ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrinfmss 13235 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infcl 9429 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wss 3911   Or wor 5545  infcinf 9382  *cxr 11193   < clt 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  infxrlb  13259  infxrgelb  13260  infxrre  13261  infxrmnf  13262  infxrss  13264  ixxlb  13292  limsupcl  15361  limsupval2  15368  imasdsf1olem  23742  nmoffn  24091  nmofval  24094  nmolb  24097  nmof  24099  metdsf  24227  ovolcl  24858  infrpge  43672  infxrbnd2  43690  infleinflem1  43691  infleinf  43693  infxrcld  43710  infxrpnf  43767  inficc  43858  liminfgord  44081  liminfgf  44085  liminfcl  44090  liminfval2  44095  liminflelimsuplem  44102  liminfvalxr  44110  ovnsubaddlem1  44897  ovolval5lem3  44981
  Copyright terms: Public domain W3C validator