MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrcl 12729
Description: The infimum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrcl (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem infxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12537 . . 3 < Or ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrinfmss 12706 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infcl 8955 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  wss 3939   Or wor 5476  infcinf 8908  *cxr 10677   < clt 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876
This theorem is referenced by:  infxrlb  12730  infxrgelb  12731  infxrre  12732  infxrmnf  12733  infxrss  12735  ixxlb  12763  limsupcl  14833  limsupval2  14840  imasdsf1olem  22986  nmoffn  23323  nmofval  23326  nmolb  23329  nmof  23331  metdsf  23459  ovolcl  24082  infrpge  41625  infxrbnd2  41643  infleinflem1  41644  infleinf  41646  infxrcld  41667  infxrpnf  41727  inficc  41816  liminfgord  42041  liminfgf  42045  liminfcl  42050  liminfval2  42055  liminflelimsuplem  42062  liminfvalxr  42070  ovnsubaddlem1  42859  ovolval5lem3  42943
  Copyright terms: Public domain W3C validator