Theorem infxrcl 13277

Description: The infimum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem infxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13083	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrinfmss 13253	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4	2, 3	infcl 9392	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   Or wor 5525  infcinf 9344  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  infxrlb  13278  infxrgelb  13279  infxrre  13280  infxrmnf  13281  infxrss  13283  ixxlb  13311  limsupcl  15426  limsupval2  15433  imasdsf1olem  24356  nmoffn  24694  nmofval  24697  nmolb  24700  nmof  24702  metdsf  24832  ovolcl  25463  infrpge  45796  infxrbnd2  45813  infleinflem1  45814  infleinf  45816  infxrcld  45833  infxrpnf  45889  inficc  45979  liminfgord  46197  liminfgf  46201  liminfcl  46206  liminfval2  46211  liminflelimsuplem  46218  liminfvalxr  46226  ovnsubaddlem1  47013  ovolval5lem3  47097