MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcli 12259
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnmulcli.1 ๐ด โˆˆ โ„•
nnmulcli.2 ๐ต โˆˆ โ„•
Assertion
Ref Expression
nnmulcli (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•

Proof of Theorem nnmulcli
StepHypRef Expression
1 nnmulcli.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„•
2 nnmulcli.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„•
3 nnmulcl 12258 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3mp2an 691 1 (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414   ยท cmul 11135  โ„•cn 12234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-addass 11195  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12235
This theorem is referenced by:  numnncl2  12722  ef01bndlem  16152  pockthi  16867  dec5nprm  17026  dec2nprm  17027  log2ublem1  26865  log2ublem2  26866  log2ub  26868  bclbnd  27200  bposlem8  27211  lgsdir2lem5  27249  ex-lcm  30255  bgoldbachlt  47076  tgblthelfgott  47078  tgoldbachlt  47079
  Copyright terms: Public domain W3C validator