Theorem nnmulcli 12212

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnmulcli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnmulcli	⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnmulcli.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		nnmulcl 12211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389   · cmul 11079  ℕcn 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-addass 11139  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-nn 12188

This theorem is referenced by:  numnncl2  12678  ef01bndlem  16158  pockthi  16884  dec5nprm  17043  dec2nprm  17044  log2ublem1  26862  log2ublem2  26863  log2ub  26865  bclbnd  27197  bposlem8  27208  lgsdir2lem5  27246  ex-lcm  30393  bgoldbachlt  47804  tgblthelfgott  47806  tgoldbachlt  47807