Theorem nnmulcli 12262

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnmulcli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnmulcli	⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcli.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnmulcli.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		nnmulcl 12261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   · cmul 11109  ℕcn 12237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-addass 11169  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12238

This theorem is used by:  numnncl2  12743  ef01bndlem  16244  pockthi  16971  dec5nprm  17130  dec2nprm  17131  log2ublem1  27120  log2ublem2  27121  log2ub  27123  bclbnd  27453  bposlem8  27464  lgsdir2lem5  27502  ex-lcm  30818  bgoldbachlt  48606  tgblthelfgott  48608  tgoldbachlt  48609