Theorem nnmulcl 12156

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.) Remove dependency on ax-mulcom 11077 and ax-mulass 11079. (Revised by Steven Nguyen, 24-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
2	1	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5	4	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
11	10	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13		nnre 12139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ax-1rid 11083	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
16	15	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18		nnaddcl 12155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20		nncn 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		nncn 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		ax-1cn 11071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		adddi 11102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
24	22, 23	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
25	20, 21, 24	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
26	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
28	27	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
29	25, 28	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
30	29	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
31	19, 30	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
32	31	exp4b 430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
33	32	pm2.43b 55	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
34	33	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
35	3, 6, 9, 12, 17, 34	nnind 12150	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
36	35	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  ℕcn 12132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-addass 11078  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12133

This theorem is referenced by:  nnmulcli  12157  nnmtmip  12158  nndivtr  12179  nnmulcld  12185  nn0mulcl  12424  qaddcl  12865  qmulcl  12867  modmulnn  13795  nnexpcl  13983  nnsqcl  14037  expmulnbnd  14144  faccl  14192  facdiv  14196  faclbnd3  14201  faclbnd4lem3  14204  faclbnd5  14207  bcrpcl  14217  trirecip  15772  fprodnncl  15864  nnrisefaccl  15928  lcmgcdlem  16519  lcmgcdnn  16524  pcmptcl  16805  prmreclem1  16830  prmreclem6  16835  4sqlem12  16870  vdwlem3  16897  vdwlem9  16903  vdwlem10  16904  mulgnnass  19024  ovolunlem1a  25425  ovolunlem1  25426  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem4  25647  elqaalem2  26256  elqaalem3  26257  log2cnv  26882  log2tlbnd  26883  log2ublem2  26885  log2ub  26887  basellem1  27019  basellem2  27020  basellem3  27021  basellem4  27022  basellem5  27023  basellem6  27024  basellem7  27025  basellem8  27026  basellem9  27027  efnnfsumcl  27041  efchtdvds  27097  mumullem1  27117  mumullem2  27118  fsumdvdscom  27123  dvdsflf1o  27125  chtublem  27150  pcbcctr  27215  bclbnd  27219  bposlem1  27223  bposlem2  27224  bposlem3  27225  bposlem4  27226  bposlem5  27227  bposlem6  27228  lgseisenlem1  27314  lgseisenlem2  27315  lgseisenlem3  27316  lgseisenlem4  27317  lgsquadlem1  27319  lgsquadlem2  27320  chebbnd1lem1  27408  chebbnd1lem3  27410  dchrisumlem1  27428  mulogsum  27471  pntrsumo1  27504  pntrsumbnd  27505  ostth2lem1  27557  subfaclim  35253  jm2.17a  43077  jm2.17b  43078  jm2.17c  43079  acongrep  43097  acongeq  43100  jm2.27a  43122  jm2.27c  43124