Theorem nnmulcl 12275

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.) Remove dependency on ax-mulcom 11182 and ax-mulass 11184. (Revised by Steven Nguyen, 24-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
2	1	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5	4	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
11	10	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13		nnre 12258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ax-1rid 11188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
16	15	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18		nnaddcl 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20		nncn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		nncn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		adddi 11207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
24	22, 23	mp3an3 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
25	20, 21, 24	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
26	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
28	27	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
29	25, 28	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
30	29	eleq1d 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
31	19, 30	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
32	31	exp4b 436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
33	32	pm2.43b 56	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
34	33	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
35	3, 6, 9, 12, 17, 34	nnind 12269	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
36	35	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕcn 12251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-addass 11183  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252

This theorem is used by:  nnmulcli  12276  nnmtmip  12280  nndivtr  12301  nnmulcld  12307  nn0mulcl  12558  qaddcl  13007  qmulcl  13009  modmulnn  13942  nnexpcl  14130  nnsqcl  14184  expmulnbnd  14291  faccl  14339  facdiv  14343  faclbnd3  14348  faclbnd4lem3  14351  faclbnd5  14354  bcrpcl  14364  trirecip  15943  fprodnncl  16035  nnrisefaccl  16099  lcmgcdlem  16689  lcmgcdnn  16694  pcmptcl  16976  prmreclem1  17001  prmreclem6  17006  4sqlem12  17041  vdwlem3  17068  vdwlem9  17074  vdwlem10  17075  mulgnnass  19206  ovolunlem1a  25692  ovolunlem1  25693  mbfi1fseqlem3  25913  mbfi1fseqlem4  25914  elqaalem2  26518  elqaalem3  26519  log2cnv  27146  log2tlbnd  27147  log2ublem2  27149  log2ub  27151  basellem1  27282  basellem2  27283  basellem3  27284  basellem4  27285  basellem5  27286  basellem6  27287  basellem7  27288  basellem8  27289  basellem9  27290  efnnfsumcl  27304  efchtdvds  27360  mumullem1  27380  mumullem2  27381  fsumdvdscom  27386  dvdsflf1o  27388  chtublem  27412  pcbcctr  27477  bclbnd  27481  bposlem1  27485  bposlem2  27486  bposlem3  27487  bposlem4  27488  bposlem5  27489  bposlem6  27490  lgseisenlem1  27576  lgseisenlem2  27577  lgseisenlem3  27578  lgseisenlem4  27579  lgsquadlem1  27581  lgsquadlem2  27582  chebbnd1lem1  27670  chebbnd1lem3  27672  dchrisumlem1  27690  mulogsum  27733  pntrsumo1  27766  pntrsumbnd  27767  ostth2lem1  27819  subfaclim  35701  jm2.17a  43728  jm2.17b  43729  jm2.17c  43730  acongrep  43748  acongeq  43751  jm2.27a  43773  jm2.27c  43775