Theorem nnmulcl 11649

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.) Remove dependency on ax-mulcom 10590 and ax-mulass 10592. (Revised by Steven Nguyen, 24-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
2	1	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5	4	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
11	10	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13		nnre 11632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
14		ax-1rid 10596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
16	15	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
17	13, 16	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18		nnaddcl 11648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20		nncn 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
21		nncn 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
22		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		adddi 10615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
24	22, 23	mp3an3 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
25	20, 21, 24	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
26	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
28	27	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
29	25, 28	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
30	29	eleq1d 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
31	19, 30	syl5ibr 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
32	31	exp4b 434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
33	32	pm2.43b 55	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
34	33	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
35	3, 6, 9, 12, 17, 34	nnind 11643	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
36	35	impcom 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-addass 10591  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626

This theorem is referenced by:  nnmulcli  11650  nnmtmip  11651  nndivtr  11672  nnmulcld  11678  nn0mulcl  11921  qaddcl  12352  qmulcl  12354  modmulnn  13252  nnexpcl  13438  nnsqcl  13489  expmulnbnd  13592  faccl  13639  facdiv  13643  faclbnd3  13648  faclbnd4lem3  13651  faclbnd5  13654  bcrpcl  13664  trirecip  15210  fprodnncl  15301  nnrisefaccl  15365  lcmgcdlem  15940  lcmgcdnn  15945  pcmptcl  16217  prmreclem1  16242  prmreclem6  16247  4sqlem12  16282  vdwlem3  16309  vdwlem9  16315  vdwlem10  16316  mulgnnass  18254  ovolunlem1a  24100  ovolunlem1  24101  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  elqaalem2  24916  elqaalem3  24917  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  log2ublem2  25533  log2ub  25535  basellem1  25666  basellem2  25667  basellem3  25668  basellem4  25669  basellem5  25670  basellem6  25671  basellem7  25672  basellem8  25673  basellem9  25674  efnnfsumcl  25688  efchtdvds  25744  mumullem1  25764  mumullem2  25765  fsumdvdscom  25770  dvdsflf1o  25772  chtublem  25795  pcbcctr  25860  bclbnd  25864  bposlem1  25868  bposlem2  25869  bposlem3  25870  bposlem4  25871  bposlem5  25872  bposlem6  25873  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgseisenlem3  25961  lgseisenlem4  25962  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  chebbnd1lem1  26053  chebbnd1lem3  26055  dchrisumlem1  26073  mulogsum  26116  pntrsumo1  26149  pntrsumbnd  26150  ostth2lem1  26202  subfaclim  32548  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  acongrep  39921  acongeq  39924  jm2.27a  39946  jm2.27c  39948