Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bgoldbachlt 46079
Description: The binary Goldbach conjecture is valid for small even numbers (i.e. for all even numbers less than or equal to a fixed big ๐‘š). This is verified for m = 4 x 10^18 by Oliveira e Silva, see ax-bgbltosilva 46076. (Contributed by AV, 3-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›

Proof of Theorem bgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 4nn 12243 . . 3 4 โˆˆ โ„•
2 10nn 12641 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
3 1nn0 12436 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•0
4 8nn0 12443 . . . . 5 8 โˆˆ โ„•0
53, 4deccl 12640 . . . 4 18 โˆˆ โ„•0
6 nnexpcl 13987 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 18 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘18) โˆˆ โ„•)
72, 5, 6mp2an 691 . . 3 (10โ†‘18) โˆˆ โ„•
81, 7nnmulcli 12185 . 2 (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„•
9 id 22 . . 3 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„•)
10 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โ†” (4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
11 breq2 5114 . . . . . . . 8 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))))
1211anbi2d 630 . . . . . . 7 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))))
1312imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ) โ†” ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
1413ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
1510, 14anbi12d 632 . . . 4 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )) โ†” ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))))
1615adantl 483 . . 3 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ (((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )) โ†” ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))))
17 nnre 12167 . . . . 5 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„)
1817leidd 11728 . . . 4 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Even )
20 simprl 770 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ 4 < ๐‘›)
21 evenz 45896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ Even โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2221zred 12614 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Even โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
23 ltle 11250 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
2422, 17, 23syl2anr 598 . . . . . . . . 9 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
2524a1d 25 . . . . . . . 8 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ (4 < ๐‘› โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))))
2625imp32 420 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))
27 ax-bgbltosilva 46076 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Even โˆง 4 < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )
2819, 20, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )
2928ex 414 . . . . 5 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
3029ralrimiva 3144 . . . 4 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
3118, 30jca 513 . . 3 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
329, 16, 31rspcedvd 3586 . 2 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
338, 32ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  4c4 12217  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  โ†‘cexp 13974   Even ceven 45890   GoldbachEven cgbe 46011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-bgbltosilva 46076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-even 45892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator