Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bgoldbachlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bgoldbachlt 46779
Description: The binary Goldbach conjecture is valid for small even numbers (i.e. for all even numbers less than or equal to a fixed big ๐‘š). This is verified for m = 4 x 10^18 by Oliveira e Silva, see ax-bgbltosilva 46776. (Contributed by AV, 3-Aug-2020.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbachlt โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘›

Proof of Theorem bgoldbachlt
StepHypRef Expression
1 4nn 12299 . . 3 4 โˆˆ โ„•
2 10nn 12697 . . . 4 10 โˆˆ โ„•
3 1nn0 12492 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•0
4 8nn0 12499 . . . . 5 8 โˆˆ โ„•0
53, 4deccl 12696 . . . 4 18 โˆˆ โ„•0
6 nnexpcl 14044 . . . 4 ((10 โˆˆ โ„• โˆง 18 โˆˆ โ„•0) โ†’ (10โ†‘18) โˆˆ โ„•)
72, 5, 6mp2an 688 . . 3 (10โ†‘18) โˆˆ โ„•
81, 7nnmulcli 12241 . 2 (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„•
9 id 22 . . 3 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„•)
10 breq2 5151 . . . . 5 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โ†” (4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
11 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (๐‘› < ๐‘š โ†” ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))))
1211anbi2d 627 . . . . . . 7 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†” (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))))
1312imbi1d 340 . . . . . 6 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ) โ†” ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
1413ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
1510, 14anbi12d 629 . . . 4 (๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ (((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )) โ†” ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))))
1615adantl 480 . . 3 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š = (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ (((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )) โ†” ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))))
17 nnre 12223 . . . . 5 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„)
1817leidd 11784 . . . 4 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ (4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))
19 simplr 765 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ Even )
20 simprl 767 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ 4 < ๐‘›)
21 evenz 46596 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ Even โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2221zred 12670 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ Even โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
23 ltle 11306 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
2422, 17, 23syl2anr 595 . . . . . . . . 9 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))))
2524a1d 25 . . . . . . . 8 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ (4 < ๐‘› โ†’ (๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))))
2625imp32 417 . . . . . . 7 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)))
27 ax-bgbltosilva 46776 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ Even โˆง 4 < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )
2819, 20, 26, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โˆง (4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )
2928ex 411 . . . . 5 (((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ Even ) โ†’ ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
3029ralrimiva 3144 . . . 4 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
3118, 30jca 510 . . 3 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค (4 ยท (10โ†‘18)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < (4 ยท (10โ†‘18))) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
329, 16, 31rspcedvd 3613 . 2 ((4 ยท (10โ†‘18)) โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven )))
338, 32ax-mp 5 1 โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((4 ยท (10โ†‘18)) โ‰ค ๐‘š โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ Even ((4 < ๐‘› โˆง ๐‘› < ๐‘š) โ†’ ๐‘› โˆˆ GoldbachEven ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  4c4 12273  8c8 12277  โ„•0cn0 12476  cdc 12681  โ†‘cexp 14031   Even ceven 46590   GoldbachEven cgbe 46711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-bgbltosilva 46776
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-even 46592
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator