MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthi 16786
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number ๐‘ to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16785 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
pockthi.g ๐บ โˆˆ โ„•
pockthi.m ๐‘€ = (๐บ ยท ๐‘ƒ)
pockthi.n ๐‘ = (๐‘€ + 1)
pockthi.d ๐ท โˆˆ โ„•
pockthi.e ๐ธ โˆˆ โ„•
pockthi.a ๐ด โˆˆ โ„•
pockthi.fac ๐‘€ = (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
pockthi.gt ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ)
pockthi.mod ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
pockthi.gcd (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 ๐ท โˆˆ โ„•
2 pockthi.p . . . . . 6 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
3 prmnn 16557 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•
5 pockthi.e . . . . . 6 ๐ธ โˆˆ โ„•
65nnnn0i 12428 . . . . 5 ๐ธ โˆˆ โ„•0
7 nnexpcl 13987 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ธ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•)
84, 6, 7mp2an 691 . . . 4 (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•
98a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•)
10 id 22 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
11 pockthi.gt . . . 4 ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ)
1211a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
13 pockthi.n . . . . 5 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 ๐‘€ = (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
151nncni 12170 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„‚
168nncni 12170 . . . . . . . 8 (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„‚
1715, 16mulcomi 11170 . . . . . . 7 (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท)
1814, 17eqtri 2765 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท)
1918oveq1i 7372 . . . . 5 (๐‘€ + 1) = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1)
2013, 19eqtri 2765 . . . 4 ๐‘ = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1))
22 prmdvdsexpb 16599 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ƒ))
232, 5, 22mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ƒ))
24 pockthi.m . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ = (๐บ ยท ๐‘ƒ)
25 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . 14 ๐บ โˆˆ โ„•
2625, 4nnmulcli 12185 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•
2724, 26eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ โˆˆ โ„•
2827nncni 12170 . . . . . . . . . . 11 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
29 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
3028, 29, 13mvrraddi 11425 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆ’ 1) = ๐‘€
3130oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐ดโ†‘๐‘€)
3231oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘)
33 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
34 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•
3613, 35eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ โˆˆ โ„•
3736nnrei 12169 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ โ„
3827nngt0i 12199 . . . . . . . . . . . 12 0 < ๐‘€
3927nnrei 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ โˆˆ โ„
40 1re 11162 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„
41 ltaddpos2 11653 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1)))
4239, 40, 41mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (0 < ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1))
4338, 42mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 1 < (๐‘€ + 1)
4443, 13breqtrri 5137 . . . . . . . . . 10 1 < ๐‘
45 1mod 13815 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
4637, 44, 45mp2an 691 . . . . . . . . 9 (1 mod ๐‘) = 1
4733, 46eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = 1
4832, 47eqtri 2765 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1
49 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ))
5025nncni 12170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐บ โˆˆ โ„‚
514nncni 12170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
5250, 51mulcomi 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐บ)
5330, 24, 523eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ ยท ๐บ) = (๐‘ โˆ’ 1)
5436nncni 12170 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ โˆˆ โ„‚
5554, 29subcli 11484 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
564nnne0i 12200 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ƒ โ‰  0
5755, 51, 50, 56divmuli 11916 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ) = ๐บ โ†” (๐‘ƒ ยท ๐บ) = (๐‘ โˆ’ 1))
5853, 57mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ) = ๐บ
5949, 58eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ) = ๐บ)
6059oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) = (๐ดโ†‘๐บ))
6160oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1))
6261oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘))
63 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
6462, 63eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
65 pockthi.a . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•
6665nnzi 12534 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„ค
67 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘))
6968eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1))
70 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)))
7170oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1))
7271oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘))
7372eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1 โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7469, 73anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
7574rspcev 3584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7666, 75mpan 689 . . . . . . 7 ((((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7748, 64, 76sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7823, 77syl6bi 253 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
7978rgen 3067 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
8079a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
819, 10, 12, 21, 80pockthg 16785 . 2 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
821, 81ax-mp 5 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  1259prm  17015  2503prm  17019  4001prm  17024
  Copyright terms: Public domain W3C validator