Theorem pockthi 15989

Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 15988 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthi.p	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m	⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac	⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
pockthi.gt	⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
pockthi.mod	⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd	⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1

Assertion

Ref	Expression
pockthi	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthi.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		pockthi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
3		prmnn 15767	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
5		pockthi.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ
6	5	nnnn0i 11634	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
7		nnexpcl 13174	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 683	. . . 4 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11		pockthi.gt	. . . 4 ⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃↑𝐸))
13		pockthi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
14		pockthi.fac	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
15	1	nncni 11368	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8	nncni 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℂ
17	15, 16	mulcomi 10372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · (𝑃↑𝐸)) = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
18	14, 17	eqtri 2849	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
19	18	oveq1i 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
20	13, 19	eqtri 2849	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1))
22		prmdvdsexpb 15806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
23	2, 5, 22	mp3an23 1581	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24	13	eqcomi 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
25		pockthi.m	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
26		pockthi.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
27	26, 4	nnmulcli 11384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
28	25, 27	eqeltri 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
29		peano2nn 11371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ
31	13, 30	eqeltri 2902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
32	31	nncni 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
34	28	nncni 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
35	32, 33, 34	subadd2i 10697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 1) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑁)
36	24, 35	mpbir 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
37	36	oveq2i 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑𝑀)
38	37	oveq1i 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁)
39		pockthi.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
40	31	nnrei 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
41	28	nngt0i 11397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 𝑀
42	28	nnrei 11367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
43		1re 10363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		ltaddpos2 10850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
45	42, 43, 44	mp2an 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
46	41, 45	mpbi 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < (𝑀 + 1)
47	46, 13	breqtrri 4902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
48		1mod 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
49	40, 47, 48	mp2an 683	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 mod 𝑁) = 1
50	39, 49	eqtri 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = 1
51	38, 50	eqtri 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
52		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
53	26	nncni 11368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
54	4	nncni 11368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
55	53, 54	mulcomi 10372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
56	36, 25, 55	3eqtrri 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
57	32, 33	subcli 10685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
58	4	nnne0i 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 ≠ 0
59	57, 54, 53, 58	divmuli 11112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
60	56, 59	mpbir 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
61	52, 60	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
62	61	oveq2d 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑𝐺))
63	62	oveq1d 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑𝐺) − 1))
64	63	oveq1d 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁))
65		pockthi.gcd	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
66	64, 65	syl6eq 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
67		pockthi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
68	67	nnzi 11736	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
69		oveq1 6917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
70	69	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
71	70	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
72		oveq1 6917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
73	72	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
74	73	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
75	74	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
76	71, 75	anbi12d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
77	76	rspcev 3526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
78	68, 77	mpan 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
79	51, 66, 78	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
80	23, 79	syl6bi 245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
81	80	rgen 3131	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
83	9, 10, 12, 21, 82	pockthg 15988	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
84	1, 83	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℕcn 11357  ℕ₀cn0 11625  ℤcz 11711   mod cmo 12970  ↑cexp 13161   ∥ cdvds 15364   gcd cgcd 15596  ℙcprime 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-odz 15848  df-phi 15849  df-pc 15920

This theorem is referenced by:  1259prm  16215  2503prm  16219  4001prm  16224