Theorem pockthi 17065

Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 17064 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthi.p	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m	⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac	⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
pockthi.gt	⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
pockthi.mod	⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd	⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1

Assertion

Ref	Expression
pockthi	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthi.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		pockthi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
3		prmnn 16829	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
5		pockthi.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ
6	5	nnnn0i 12595	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
7		nnexpcl 14197	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11		pockthi.gt	. . . 4 ⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃↑𝐸))
13		pockthi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
14		pockthi.fac	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
15	1	nncni 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8	nncni 12326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℂ
17	15, 16	mulcomi 11298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · (𝑃↑𝐸)) = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
18	14, 17	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
19	18	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
20	13, 19	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1))
22		prmdvdsexpb 16872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
23	2, 5, 22	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24		pockthi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25		pockthi.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
26	25, 4	nnmulcli 12341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
27	24, 26	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
28	27	nncni 12326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30	28, 29, 13	mvrraddi 11555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
31	30	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑𝑀)
32	31	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁)
33		pockthi.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34		peano2nn 12328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ
36	13, 35	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
37	36	nnrei 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
38	27	nngt0i 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 𝑀
39	27	nnrei 12325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
40		1re 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
43	38, 42	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < (𝑀 + 1)
44	43, 13	breqtrri 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
45		1mod 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
46	37, 44, 45	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 mod 𝑁) = 1
47	33, 46	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = 1
48	32, 47	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
49		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
50	25	nncni 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
51	4	nncni 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
52	50, 51	mulcomi 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
53	30, 24, 52	3eqtrri 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
54	36	nncni 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
55	54, 29	subcli 11615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
56	4	nnne0i 12359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 ≠ 0
57	55, 51, 50, 56	divmuli 12052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
58	53, 57	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
59	49, 58	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
60	59	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑𝐺))
61	60	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑𝐺) − 1))
62	61	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁))
63		pockthi.gcd	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
64	62, 63	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
65		pockthi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
66	65	nnzi 12701	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
67		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
68	67	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
69	68	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
70		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
71	70	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
72	71	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
73	72	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
74	69, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
75	74	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
76	66, 75	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
77	48, 64, 76	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
78	23, 77	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
79	78	rgen 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
80	79	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
81	9, 10, 12, 21, 80	pockthg 17064	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
82	1, 81	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674   mod cmo 13989  ↑cexp 14184   ∥ cdvds 16402   gcd cgcd 16644  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-odz 16922  df-phi 16923  df-pc 16995

This theorem is used by:  1259prm  17294  2503prm  17298  4001prm  17303