MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthi 16836
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16835 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
pockthi.gt 𝐷 < (𝑃𝐸)
pockthi.mod ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 𝐷 ∈ ℕ
2 pockthi.p . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
3 prmnn 16607 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
5 pockthi.e . . . . . 6 𝐸 ∈ ℕ
65nnnn0i 12476 . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
7 nnexpcl 14036 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 689 . . . 4 (𝑃𝐸) ∈ ℕ
98a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
10 id 22 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11 pockthi.gt . . . 4 𝐷 < (𝑃𝐸)
1211a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃𝐸))
13 pockthi.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
151nncni 12218 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
168nncni 12218 . . . . . . . 8 (𝑃𝐸) ∈ ℂ
1715, 16mulcomi 11218 . . . . . . 7 (𝐷 · (𝑃𝐸)) = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1814, 17eqtri 2752 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1918oveq1i 7411 . . . . 5 (𝑀 + 1) = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2013, 19eqtri 2752 . . . 4 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1))
22 prmdvdsexpb 16649 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
232, 5, 22mp3an23 1449 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24 pockthi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 ∈ ℕ
2625, 4nnmulcli 12233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
2724, 26eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℕ
2827nncni 12218 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℂ
29 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3028, 29, 13mvrraddi 11473 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = 𝑀
3130oveq2i 7412 . . . . . . . . 9 (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴𝑀)
3231oveq1i 7411 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴𝑀) mod 𝑁)
33 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34 peano2nn 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 + 1) ∈ ℕ
3613, 35eqeltri 2821 . . . . . . . . . . 11 𝑁 ∈ ℕ
3736nnrei 12217 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
3827nngt0i 12247 . . . . . . . . . . . 12 0 < 𝑀
3927nnrei 12217 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℝ
40 1re 11210 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
41 ltaddpos2 11701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
4239, 40, 41mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
4338, 42mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 1 < (𝑀 + 1)
4443, 13breqtrri 5165 . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
45 1mod 13864 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4637, 44, 45mp2an 689 . . . . . . . . 9 (1 mod 𝑁) = 1
4733, 46eqtri 2752 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = 1
4832, 47eqtri 2752 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
49 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
5025nncni 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 ∈ ℂ
514nncni 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 ∈ ℂ
5250, 51mulcomi 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
5330, 24, 523eqtrri 2757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
5436nncni 12218 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 ∈ ℂ
5554, 29subcli 11532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
564nnne0i 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 ≠ 0
5755, 51, 50, 56divmuli 11964 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
5853, 57mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
5949, 58eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
6059oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴𝐺))
6160oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴𝐺) − 1))
6261oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁))
63 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
6462, 63eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
65 pockthi.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ
6665nnzi 12582 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
67 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
6867oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
6968eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
70 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
7170oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
7271oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
7372eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7469, 73anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7574rspcev 3604 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7666, 75mpan 687 . . . . . . 7 ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7748, 64, 76sylancr 586 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7823, 77syl6bi 253 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7978rgen 3055 . . . 4 𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8079a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
819, 10, 12, 21, 80pockthg 16835 . 2 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
821, 81ax-mp 5 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554   mod cmo 13830  cexp 14023  cdvds 16193   gcd cgcd 16431  cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766
This theorem is referenced by:  1259prm  17065  2503prm  17069  4001prm  17074
  Copyright terms: Public domain W3C validator