Theorem pockthi 16869

Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16868 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthi.p	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m	⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac	⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
pockthi.gt	⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
pockthi.mod	⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd	⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1

Assertion

Ref	Expression
pockthi	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthi.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		pockthi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
3		prmnn 16634	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
5		pockthi.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ
6	5	nnnn0i 12436	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
7		nnexpcl 14027	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11		pockthi.gt	. . . 4 ⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃↑𝐸))
13		pockthi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
14		pockthi.fac	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
15	1	nncni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8	nncni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℂ
17	15, 16	mulcomi 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · (𝑃↑𝐸)) = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
18	14, 17	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
19	18	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
20	13, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1))
22		prmdvdsexpb 16677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
23	2, 5, 22	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24		pockthi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25		pockthi.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
26	25, 4	nnmulcli 12190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
27	24, 26	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
28	27	nncni 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30	28, 29, 13	mvrraddi 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
31	30	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑𝑀)
32	31	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁)
33		pockthi.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34		peano2nn 12177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ
36	13, 35	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
37	36	nnrei 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
38	27	nngt0i 12207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 𝑀
39	27	nnrei 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
40		1re 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
43	38, 42	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < (𝑀 + 1)
44	43, 13	breqtrri 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
45		1mod 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
46	37, 44, 45	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 mod 𝑁) = 1
47	33, 46	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = 1
48	32, 47	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
49		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
50	25	nncni 12175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
51	4	nncni 12175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
52	50, 51	mulcomi 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
53	30, 24, 52	3eqtrri 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
54	36	nncni 12175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
55	54, 29	subcli 11461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
56	4	nnne0i 12208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 ≠ 0
57	55, 51, 50, 56	divmuli 11900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
58	53, 57	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
59	49, 58	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
60	59	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑𝐺))
61	60	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑𝐺) − 1))
62	61	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁))
63		pockthi.gcd	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
64	62, 63	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
65		pockthi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
66	65	nnzi 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
67		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
68	67	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
69	68	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
70		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
71	70	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
72	71	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
73	72	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
74	69, 73	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
75	74	rspcev 3565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
76	66, 75	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
77	48, 64, 76	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
78	23, 77	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
79	78	rgen 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
80	79	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
81	9, 10, 12, 21, 80	pockthg 16868	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
82	1, 81	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515   mod cmo 13819  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-odz 16726  df-phi 16727  df-pc 16799

This theorem is referenced by:  1259prm  17097  2503prm  17101  4001prm  17106