MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pockthi 16844
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number ๐‘ to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16843 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
pockthi.g ๐บ โˆˆ โ„•
pockthi.m ๐‘€ = (๐บ ยท ๐‘ƒ)
pockthi.n ๐‘ = (๐‘€ + 1)
pockthi.d ๐ท โˆˆ โ„•
pockthi.e ๐ธ โˆˆ โ„•
pockthi.a ๐ด โˆˆ โ„•
pockthi.fac ๐‘€ = (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
pockthi.gt ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ)
pockthi.mod ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
pockthi.gcd (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 ๐ท โˆˆ โ„•
2 pockthi.p . . . . . 6 ๐‘ƒ โˆˆ โ„™
3 prmnn 16615 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•
5 pockthi.e . . . . . 6 ๐ธ โˆˆ โ„•
65nnnn0i 12484 . . . . 5 ๐ธ โˆˆ โ„•0
7 nnexpcl 14044 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ธ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•)
84, 6, 7mp2an 688 . . . 4 (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•
98a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„•)
10 id 22 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
11 pockthi.gt . . . 4 ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ)
1211a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท < (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
13 pockthi.n . . . . 5 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 ๐‘€ = (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ))
151nncni 12226 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„‚
168nncni 12226 . . . . . . . 8 (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โˆˆ โ„‚
1715, 16mulcomi 11226 . . . . . . 7 (๐ท ยท (๐‘ƒโ†‘๐ธ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท)
1814, 17eqtri 2758 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท)
1918oveq1i 7421 . . . . 5 (๐‘€ + 1) = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1)
2013, 19eqtri 2758 . . . 4 ๐‘ = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = (((๐‘ƒโ†‘๐ธ) ยท ๐ท) + 1))
22 prmdvdsexpb 16657 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ƒ))
232, 5, 22mp3an23 1451 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ƒ))
24 pockthi.m . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ = (๐บ ยท ๐‘ƒ)
25 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . 14 ๐บ โˆˆ โ„•
2625, 4nnmulcli 12241 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•
2724, 26eqeltri 2827 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘€ โˆˆ โ„•
2827nncni 12226 . . . . . . . . . . 11 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
29 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
3028, 29, 13mvrraddi 11481 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆ’ 1) = ๐‘€
3130oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐ดโ†‘๐‘€)
3231oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘)
33 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
34 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•)
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„•
3613, 35eqeltri 2827 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ โˆˆ โ„•
3736nnrei 12225 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ โ„
3827nngt0i 12255 . . . . . . . . . . . 12 0 < ๐‘€
3927nnrei 12225 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘€ โˆˆ โ„
40 1re 11218 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„
41 ltaddpos2 11709 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1)))
4239, 40, 41mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (0 < ๐‘€ โ†” 1 < (๐‘€ + 1))
4338, 42mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 1 < (๐‘€ + 1)
4443, 13breqtrri 5174 . . . . . . . . . 10 1 < ๐‘
45 1mod 13872 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (1 mod ๐‘) = 1)
4637, 44, 45mp2an 688 . . . . . . . . 9 (1 mod ๐‘) = 1
4733, 46eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((๐ดโ†‘๐‘€) mod ๐‘) = 1
4832, 47eqtri 2758 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1
49 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ) = ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ))
5025nncni 12226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐บ โˆˆ โ„‚
514nncni 12226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
5250, 51mulcomi 11226 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐บ)
5330, 24, 523eqtrri 2763 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ ยท ๐บ) = (๐‘ โˆ’ 1)
5436nncni 12226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ โˆˆ โ„‚
5554, 29subcli 11540 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
564nnne0i 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ƒ โ‰  0
5755, 51, 50, 56divmuli 11972 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ) = ๐บ โ†” (๐‘ƒ ยท ๐บ) = (๐‘ โˆ’ 1))
5853, 57mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ƒ) = ๐บ
5949, 58eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ) = ๐บ)
6059oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) = (๐ดโ†‘๐บ))
6160oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1))
6261oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘))
63 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐บ) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
6462, 63eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
65 pockthi.a . . . . . . . . 9 ๐ด โˆˆ โ„•
6665nnzi 12590 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„ค
67 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
6867oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘))
6968eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1))
70 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)))
7170oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1))
7271oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘))
7372eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1 โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7469, 73anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†” (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
7574rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7666, 75mpan 686 . . . . . . 7 ((((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7748, 64, 76sylancr 585 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
7823, 77syl6bi 252 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
7978rgen 3061 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))
8079a1i 11 . . 3 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„™ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐ธ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฆโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
819, 10, 12, 21, 80pockthg 16843 . 2 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
821, 81ax-mp 5 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16702  df-phi 16703  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  1259prm  17073  2503prm  17077  4001prm  17082
  Copyright terms: Public domain W3C validator