Theorem pockthi 16836

Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16835 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pockthi.p	⊢ 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m	⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac	⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
pockthi.gt	⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
pockthi.mod	⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd	⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1

Assertion

Ref	Expression
pockthi	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthi.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ
2		pockthi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ ℙ
3		prmnn 16607	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ
5		pockthi.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ
6	5	nnnn0i 12476	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
7		nnexpcl 14036	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃↑𝐸) ∈ ℕ)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11		pockthi.gt	. . . 4 ⊢ 𝐷 < (𝑃↑𝐸)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃↑𝐸))
13		pockthi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
14		pockthi.fac	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐷 · (𝑃↑𝐸))
15	1	nncni 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	8	nncni 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃↑𝐸) ∈ ℂ
17	15, 16	mulcomi 11218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 · (𝑃↑𝐸)) = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
18	14, 17	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑃↑𝐸) · 𝐷)
19	18	oveq1i 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
20	13, 19	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃↑𝐸) · 𝐷) + 1))
22		prmdvdsexpb 16649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
23	2, 5, 22	mp3an23 1449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24		pockthi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25		pockthi.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ
26	25, 4	nnmulcli 12233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
27	24, 26	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
28	27	nncni 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30	28, 29, 13	mvrraddi 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
31	30	oveq2i 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑𝑀)
32	31	oveq1i 7411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁)
33		pockthi.mod	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34		peano2nn 12220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
35	27, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ
36	13, 35	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
37	36	nnrei 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
38	27	nngt0i 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 𝑀
39	27	nnrei 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
40		1re 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		ltaddpos2 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
43	38, 42	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < (𝑀 + 1)
44	43, 13	breqtrri 5165	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
45		1mod 13864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
46	37, 44, 45	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 mod 𝑁) = 1
47	33, 46	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑𝑀) mod 𝑁) = 1
48	32, 47	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
49		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
50	25	nncni 12218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
51	4	nncni 12218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
52	50, 51	mulcomi 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
53	30, 24, 52	3eqtrri 2757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
54	36	nncni 12218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
55	54, 29	subcli 11532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 − 1) ∈ ℂ
56	4	nnne0i 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 ≠ 0
57	55, 51, 50, 56	divmuli 11964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
58	53, 57	mpbir 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
59	49, 58	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
60	59	oveq2d 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑𝐺))
61	60	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑𝐺) − 1))
62	61	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁))
63		pockthi.gcd	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
64	62, 63	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
65		pockthi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
66	65	nnzi 12582	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
67		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
68	67	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
69	68	eqeq1d 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
70		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
71	70	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
72	71	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
73	72	eqeq1d 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
74	69, 73	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
75	74	rspcev 3604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
76	66, 75	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
77	48, 64, 76	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
78	23, 77	syl6bi 253	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
79	78	rgen 3055	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
80	79	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃↑𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
81	9, 10, 12, 21, 80	pockthg 16835	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
82	1, 81	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554   mod cmo 13830  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766

This theorem is referenced by:  1259prm  17065  2503prm  17069  4001prm  17074